Mathématiques en première STI2D (France)

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{{Cours
  | idfaculté   = mathématiques
  | département = [[Département:Analyse|Analyse]]&lt;br/&gt;[[Département:Algèbre|Algèbre]]&lt;br/&gt;[[Département:Géométrie|Géométrie]]&lt;br/&gt;[[Département:Statistique et probabilités|Statistique et probabilités]]
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    <title>Discussion:Mathématiques en première STI2D (France)</title>
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      <text bytes="857" sha1="b71rdxjixscumgwt1u05x1xczz5t7zs" xml:space="preserve">Cette page est une entrée secondaire destinée aux élèves de première STI, elle a pour but de les orienter vers les pages de la faculté de mathématique qui les concernent. Pour cette raison, il est déconseillé de lui créer des sous-pages, et ce pour respecter les conventions de nommage de la wikiversité.
[[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] &lt;sup&gt;&lt;small&gt; &amp;#91;[[Discussion Utilisateur:Nicostella|discut]]&amp;#93;&lt;/small&gt;&lt;/sup&gt; 12 juillet 2007 à 20:50 (UTC)
:Pourquoi ne pas mettre cette explication dans la présentation de la leçon ? {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 12 juillet 2007 à 21:03 (UTC)

ok !
[[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] &lt;sup&gt;&lt;small&gt; &amp;#91;[[Discussion Utilisateur:Nicostella|discut]]&amp;#93;&lt;/small&gt;&lt;/sup&gt; 12 juillet 2007 à 21:06 (UTC)</text>
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    <title>Catégorie:Mathématiques en première STI2D (France)</title>
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      <comment>Eric.LEWIN a déplacé la page [[Catégorie:Mathématiques en première STI2D]] vers [[Catégorie:Mathématiques en première STI2D (France)]] : Manque le(s) pays concerné(s)</comment>
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[[Catégorie:Première STI2D (France)]]</text>
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    <title>Introduction à l'électrostatique/Loi de Coulomb</title>
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      <text bytes="3932" sha1="edso445bwvzag5sm18n6uv89rvcj9no" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Introduction/]]
  | suivant   = 
  | numéro    = 2
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}}

[[Fichier:Balance de Charles Augustin de Coulomb.png|Balance de torsion de Coulomb|thumb]]
C'est Charles de Coulomb qui, à l'aide d'une balance de torsion, a énoncé le premier la loi physique exprimant la force qui s'exerce entre deux charges électriques.

{{Citation
 | titre = Loi de Coulomb
 | contenu = L'intensité de la [[force]] électrostatique entre deux charges est proportionnelle au produit des deux charges et est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux charges.}}

Pour prendre en compte les phénomènes de répulsion et d'attraction, on a donc attribué un '''signe''' aux deux types de charges découverts par du Fay :
* l'« électricité résineuse » s'est vue attribuée aux charges '''négatives'''
* l'« électricité vitreuse » s'est vue attribuée aux charges '''positives'''

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Signe du produit de deux charges électriques
| colspan = &quot;2&quot; rowspan=&quot;2&quot;|
| colspan=&quot;2&quot; align=&quot;center&quot;| '''Charge 2'''
|-
| width=&quot;30&quot; align=&quot;center&quot; | + 
| width=&quot;30&quot; align=&quot;center&quot; | -
|-
| rowspan=&quot;2&quot; | '''Charge 1'''
| width=&quot;30&quot; align=&quot;center&quot; | + 
| align=&quot;center&quot; | +
| align=&quot;center&quot; | -
|-
| align=&quot;center&quot; | - 
| align=&quot;center&quot; | - 
| align=&quot;center&quot; | +
|}
&lt;/div&gt;

[[Fichier:Elechargepm.svg|150px|right]]
[[Fichier:Elechargepp.svg|150px|right]]

Ainsi, avec la règle des signes :
* deux charges de même type se comportent de la même manière : elles se repoussent, qu’il s'agisse de deux charges négatives ou de deux charges positives (produit positif)
* deux charges de types différents s'attirent (produit négatif)

Ce comportement a donné naissance à la formule de la loi de Coulomb :

{{Théorème
 | titre = Loi de Coulomb : formule
 | contenu = Entre deux charges électriques ''q'' et ''q''' séparées par une distance ''d'' s'exerce une [[force]] (électrostatique) d'intensité &lt;math&gt;F=k_C~\frac{q\times q'}{d^2}&lt;/math&gt;

Dans cette formule :
* les charges électriques ''q'' et ''q''' s'expriment en '''coulombs''' (sans la majuscule). Le coulomb est l'unité de charge électrique, en l'honneur de Charles de Coulomb.
* la distance ''d'' s'exprime en mètres
* la [[force]] ''F'' s'exprime en newtons. Chacune des deux charges exerce l'une sur l'autre une force de même intensité ; selon le signe des charges, elles s'attirent ou se repoussent.
* la constante k&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt; est appelée '''constante de Coulomb''' et vaut environ &lt;math&gt;9\cdot 10^9&lt;/math&gt; en unités du système international.
}}
* Si &lt;math&gt;q\,q'&gt;0&lt;/math&gt;
:[[Fichier:Coulomb force repulsion.svg|400px]]
* Si &lt;math&gt;q\,q'&lt;0&lt;/math&gt;
:[[Fichier:Coulomb force attraction.svg|400px]]


{{Théorème
 | titre = Généralisation de cette loi?
 | contenu = Soient deux ensembles de charges électriques ponctuelles (''q&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'') et (''q'&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;'') séparées par des distances ''d&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;'', la [[force]] électrostatique résultante serait la somme vectorielle des [[Force|forces]] ''F&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;'' qu'exercerait une charge de l'une des deux familles sur une charge de l'autre famille.

Et si les ensembles de charges sont continues (au lieu de charges ponctuelles),
la sommation devient une intégrale de vecteurs infimes ''dF''; ou en dérivant deux fois, une sur la variable q (de la fonction F) et une sur q': ''d²F'' , de valeur &lt;math&gt;||d^2F||=k_C~\frac{dq\times dq'}{d^2}&lt;/math&gt; 
}}

dq et dq', pourraient être une décomposition surfacique (q(s).dS, une décomposition volumique (q(v).dV) une décomposition longitudinale, ou une autre décomposition.
La décomposition peut être double (d²q=q(s).d²S, q(x,y).dx.dy...)
ou triple (d{{exp|3}}q=q(v).d{{exp|3}}V, q(x,y,z).dx.dy.dz ...)

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Introduction/]]
  | suivant   = 
}}</text>
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    <title>Équation du troisième degré/Présentation de la leçon</title>
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        <username>Ziv</username>
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      </contributor>
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      <comment>([[c:GR|GR]])  [[File:Cardano.jpg]] → [[File:Gerolamo Cardano, self-portrait (1501–1576).jpg]] [[c:COM:FR#FR2|Criterion 2]] · More precise and not just a meaningless one word name</comment>
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[[Fichier:Gerolamo Cardano, self-portrait (1501–1576).jpg|thumb|left|Autoportrait de [[w:Jérôme Cardan|Gerolamo Cardano]] (1501-1576).|upright=0.7]]
Cette leçon étudie les fonctions et les équations du troisième degré. Les équations du troisième degré sont solubles à l'aide de méthodes générales qui nécessitent l’utilisation des nombres complexes (non réels) contrairement aux équations de degré un ou deux. Il est donc particulièrement recommandé, avant d’aborder cette leçon, d’avoir une bonne connaissance de la théorie des nombres complexes.

{{AutoCat}}</text>
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    <title>Russe/Grammaire/Alphabet/Prononciation</title>
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        <username>~2026-56729-05</username>
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      <comment>Fix de la position du bloc</comment>
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{{Chapitre
  | niveau      = 2
  | titre       = Alphabet et prononciation
  | titre_leçon = L'alphabet russe, prononciation et écriture
  | idfaculté = langues
  | leçon       = [[../|L'alphabet russe, prononciation et écriture]]
  | numéro      = 1
  | précédent   = [[../|Sommaire]]
  | suivant     = [[../Écriture|L'écriture]]
}}

== L'alphabet russe  ==
{| style=&quot;float:right; margin: 5px 0px 5px 5px; padding: 3px; width:20em; background:#D3FFCD; border:1px solid #339933;&quot;
|-----
| {{centrer|'''L'alphabet russe lu'''}}
|-----
| {{centrer|[[Fichier:russian alphabet.ogg]]}}
|}

Le russe s'écrit avec une version de l’[[Russe/Grammaire/Alphabet|alphabet cyrillique]] comportant 33 lettres. Il ressemble à certains égards beaucoup à l'alphabet grec. La difficulté est que certaines lettres n'ont pas la prononciation à laquelle on pourrait s'attendre en français.

Le tableau suivant présente les majuscules et leur équivalent orthographié selon les usages français 
 
{| border=&quot;0&quot; rules=&quot;all&quot; style=&quot;border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF&quot;
|- align=&quot;center&quot; bgcolor=&quot;#cccccc&quot;
! Majuscule || Minuscule || Nom || Prononciation&lt;br /&gt;([[Alphabet phonétique international|API]]) || Prononciation&lt;br /&gt;(français) || Translittération &lt;br /&gt; (norme [[w:ISO 9|ISO 9]]) || transcriptions&lt;br /&gt;(français)
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:А|А]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | а || ''a'' || [a] || a || a || a
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Б|Б]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | б || ''be'' || [b] ~ {{APIb|[bʲ]}} || b || b || b
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:В|В]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | в || ''ve'' || [v] ~ {{APIb|[vʲ]}} || v || v || v
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Г|Г]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | г || ''ge'' || [g] ~ {{APIb|[gʲ]}} || gu dur || g || g
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Д|Д]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | д || ''de'' || [d] ~ {{APIb|[dʲ]}} || d || d || d
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Е|Е]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | е || ''je'' || {{APIb|[ʲɛ]}} || yé || e || e, ie, ye
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ё|Ё]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ё || ''jo'' || {{APIb|[ʲo]}} || yo || ë || ë, o, yo
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ж|Ж]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ж || ''že'' || {{APIb|[ʒ]}} || j || ž (ou zh)|| j
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:З|З]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | з || ''ze'' || [z] ~ {{APIb|[zʲ]}} || z || z || z
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:И|И]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | и || ''i'' || [i] || i dur || i || i
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Й|Й]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | й || ''i bref''&lt;br /&gt; &lt;small&gt;и краткое&lt;/small&gt; || [j] || ï comme dans bonsaï || j || y
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:К|К]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | к || ''ka'' || [k] ~ {{APIb|[kʲ]}} || k || k || k
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Л|Л]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | л || ''el'' || {{APIb|[ɫ] ~ [ʎ]}} || l à prononcer la langue entre les dents. || l || l
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:М|М]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | м || ''em'' || {{APIb|[m] ~ [mʲ]}} || m || m || m
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Н|Н]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | н || ''en'' || {{APIb|[n] ~ [nʲ]}} || n || n || n
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:О|О]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | о || ''o'' || [o] || o fermé || o || o
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:П|П]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | п || ''pe'' || [p] ~ {{APIb|[pʲ]}} || p || p || p
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Р|Р]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | р || ''er'' || [r] ~ {{APIb|[rʲ]}} || r roulé || r || r
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:С|С]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | с || ''es'' || [s] ~ {{APIb|[sʲ]}} || s dur || s || s
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Т|Т]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | т || ''te'' || [t] ~ {{APIb|[tʲ]}} || t || t || t
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:У|У]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | у || ''u'' || [u] || ou || u || ou, u
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ф|Ф]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ф || ''ef'' || [f] ~ {{APIb|[fʲ]}} || f || f || f
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Х|Х]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | х || ''ha'' || [x] ~ {{APIb|[xʲ]}} || ''cʼh'' breton, ''ch'' allemand, ''kh'' arabe, ''j'' espagnol || h || h, kh, x
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ц|Ц]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ц || ''ce'' || {{APIb|[t͡s]}} || ts || c || ts
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ч|Ч]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ч || ''če'' || {{APIb|[t͡ʃʲ]}} || tch || č (ou ch) || tch
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ш|Ш]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ш || ''ša'' || {{APIb|[ʃ]}} || ch || š (ou sh) || ch
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Щ|Щ]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | щ || ''šča'' || {{APIb|[ʃʲt͡ʃʲ]}} || ch ''mouillé'' (chtch) || ŝ (ou shch) || chtch, shh
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ъ|Ъ]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ъ || ''signe dur'' &lt;br /&gt; &lt;small&gt;твёрдый знак&lt;/small&gt; || - [palat.] || ''muet'' || &quot; ||
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ы|Ы]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ы || y&lt;br /&gt;&lt;small&gt;(''jery'', еры)&lt;/small&gt; || {{APIb|[ɨ]}} || i tendu, comme le &quot;oui&quot; français sauf que le &quot;ou&quot; se prononce peu  || y || y
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ь|Ь]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ь || ''signe mou''&lt;br /&gt; &lt;small&gt;мягкий знак&lt;/small&gt; || + [palat.] || ''muet'' || ’ || '
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Э|Э]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | э || ''è renversé''&lt;br /&gt;&lt;small&gt;э оборотное&lt;/small&gt; || {{APIb|[ɛ]}} || è || è || e
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Ю|Ю]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | ю || ju || {{APIb|[ʲu]}} || iou || û || iou, ju, you, yu
|-
| align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | [[w:Я|Я]] || align=&quot;center&quot; style=&quot;font-size:large&quot; | я || ja || {{APIb|[ʲa]}} || ya || â || ia, ja, ya
|}

=== Comparaison avec l'alphabet français  ===

==== Similitudes ====
А, О, К, М, Т se prononcent comme leurs lettres correspondantes en français.

Attention ! En minuscule, on écrira : а, о, к, м, т. Notez la différence pour les consonnes : les minuscules sont des &quot;mini-majuscules&quot;.

==== Faux-amis ====
Certaines lettres s'écrivent comme en alphabet latin, mais n'ont pas la même prononciation.
{| class=&quot;wikitable&quot;
!La lettre russe...
!se prononce...
!et non pas...
|-
|В
|v
|b (bé)
|-
|Е
|yè
|euh
|-
|Ё
|yo
|e tréma
|-
|З
|z
|trois
|-
|И
|i
|N (à l'envers)
|-
|Й
|y (comme 
dans yoyo)
|N (à l'envers,
avec un chapeau)
|-
|Н
|n
|h (hache)
|-
|Р
|r
|p (pé)
|-
|С
|s
|k (cé)
|-
|У
|ou
|y (i grec)
|-
|Х
|h expiré 
|(ixe)
|-
|Я
|ya
|R (à l'envers)
|}

=== Voyelle dure et voyelle molle  ===
Il y a dix voyelles formant deux groupes de cinq : les voyelles &quot;dures&quot; et les voyelles &quot;molles&quot;. À chaque voyelle dure correspond une voyelle molle (et ''vice versa''). Une voyelle dure est le son seul, une voyelle molle est le même son, mais précédé du son &quot;yeu&quot;, ce qu'on pourrait approximer en français français par la lettre y (a/ya, o/yo, etc;).
{| class=&quot;wikitable&quot;
! colspan=&quot;2&quot; | Voyelle dure !! colspan=&quot;2&quot; | Voyelle molle
|-
!&lt;small&gt;Lettre&lt;/small&gt;
!&lt;small&gt;Prononciation&lt;/small&gt;
!&lt;small&gt;Lettre&lt;/small&gt;
!&lt;small&gt;Prononciation&lt;/small&gt;
|-
|A
|a {{APIb|[a]}}
|Я 
|ya {{APIb|[ʲa]}}
|-
|Э
|è {{APIb|[ɛ]}}
|E
|yè {{APIb|[ʲɛ]}}
|-
|Ы
|y {{APIb|[ɨ]}}
|И
|i [i]
|-
|O
|o [o]
|Ё
|yo {{APIb|[ʲo]}}
|-
|У
|ou {{APIb|[u]}}
|Ю
|you {{APIb|[ʲu]}}
|}

Si le principe se comprend rapidement pour la plupart des voyelles, le cas du ы/и est plus particulier. En français, le son du ы (dur) n'existe pas. Ainsi, une des caractéristiques de l'&quot;accent français&quot; en russe est donc de prononcer tous les ы (durs) comme des и (mous). Il conviendra d'y faire très attention lors de sa prononciation. À faire avec la bouche, le son {{APIb|[ɨ]}} est plus proche de la déglutition que du sourire d'un [i] français.

La consonne précédant une voyelle molle sera &quot;mouillée&quot; contrairement à une consonne précédant une voyelle dure. 
Les voyelles ''я'' et ''ю'' ne s'écrivent pas après les consonnes ''ш'', ''ж'', ''щ'', ''ч'', ''г'', ''х'', ''к'' et ''ц'' ; il faut alors les remplacer par les voyelles ''а'' et ''у''. La voyelle ''ы'' ne s'écrit pas après les consonnes ''ш'', ''ж'', ''ч'' et ''щ''. Le ''и'' suivant ces consonnes est alors prononcé comme le ''ы''.

=== Consonnes ===

==== Correspondances ====
En comparant les sons des lettres de l'alphabet français, on trouve à chaque fois une lettre cyrillique correspondante.
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Français
|B
|C
|D
|F
|G
|H
|J
|K
|L
|M
|N
|P
|Q
|R
|S
|T
|V
|W
|X
|Y
|Z
|-
!Russe
|Б
|К (С)
|Д
|Ф
|Г (Ж)
|Х
|Ж
|К
|Л
|М
|Н
|П
|К
|Р
|С
|Т
|В
|В
|КС, ГЗ
|Й
|З
|}
Les consonnes qui en français se prononcent différemment devant une voyelle sont entre parenthèses.

Le cas du W est un peu spécial. S'il se prononce comme dans &quot;wagon&quot;, ce sera un В russe (&quot;вагон&quot;). S'il se prononce comme dans &quot;boogie-woogie&quot;, alors il n'y a pas de son exactement correspondant en russe (on parlera de &quot;буги-вуги&quot;).

==== &quot;Nouvelles&quot; consonnes  ====
Les autres consonnes de l'alphabet cyrillique qui n'ont pas de correspondance quasi-immédiate avec le français sont les suivantes :
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Lettre
!Phonétique
!Prononciation (français)
|-
|Х
|[x] ~ {{APIb|[xʲ]}}
|''cʼh'' breton, ''ch'' allemand, ''kh'' arabe, ''j'' espagnol
|-
|Ц
|{{APIb|[t͡s]}}
|ts
|-
|Ч
|{{APIb|[t͡ʃʲ]}}
|tch
|-
|Ш
|{{APIb|[ʃ]}}
|ch
|-
|Щ
|{{APIb|[ʃʲt͡ʃʲ]}}
|ch ''mouillé'' (chtch)
|}
Remarquons que, dans l'ordre alphabétique, elles se succèdent. Remarquons aussi que trois d'entre-elles nous sont en réalité très familières ou facilement accessibles (Ц, Ч, Ш).

Ultimement, les vrais &quot;nouvelles&quot; consonnes de cet alphabet sont le Х et le Щ, dont il faudra travailler attentivement la prononciation.

=== Signe mou et signe dur  ===

==== Signe dur  ====
Le signe dur (ъ) ne s'utilise quasiment plus. Autrefois, il était mis à la fin de tous les mots qui ne se terminaient pas par un signe mou. Mais depuis 1917, cette lettre superflue a été supprimée dans tous les cas non-ambigus. Elle a été conservée dans certains mots.

{{Traduction
|langue1=ru
|align=left
|Он об&lt;u&gt;ъ&lt;/u&gt;яснил.
|Il a expliqué.}}

==== Signe mou  ====
Le signe mou (ь), lui fait en sorte que la consonne qui précède soit mouillée. On mouille une consonne en rapprochant la langue du palais lors de la prononciation, on parle aussi de palatalisation. Contrairement au signe dur, on l'utilise très souvent en russe, notamment sous la forme ть et ль.

Pour prononcer ль, imaginez le mot français &quot;lier&quot;, prononcé d'un seul trait. Remarquez en le prononçant que votre langue frotte le palais. Efforcez vous désormais de séparer le début du mot &quot;lier&quot; et sa fin, le seul son formé par &quot;er&quot;. Ne faites pas de diérèse de type &quot;li-yer&quot;, décomposez vraiment le mot en deux. Ce début s'écrit ль.

== Prononciation ==
L'alphabet russe a une prononciation assez directe : globalement, à une lettre correspond un son. Il n'y a pas de combinaison de lettres audacieuses faisant se prononcer &quot;oiseau&quot; comme &quot;wazo&quot; en français. Ceci est particulièrement vrai pour les consonnes.

Néanmoins, il existe de nombreux principes euphoniques.  

=== Accentuation ===
Contrairement au français, le russe est une langue accentuée. C'est-à-dire, certaines syllabes sont prononcées pendant plus longtemps que les autres et l'intonation les fait prononcer plus fort que les autres syllabes. 

L'accentuation ne connaît pas de règle générale. Même des mots de la même famille peuvent avoir des accents à des positions différentes. L'accent peut aussi varier selon le cas, la conjugaison, etc. Il faudra apprendre selon chaque mot l'accent qui lui correspond.

Notez que, ici et dans le reste de ce cours, on donnera les règles d'accentuation propres à l'accent russe du Sud. C'est-à-dire, l'accent russe tel qu'on l'entend à Moscou, à Saint-Pétersbourg, à la télé. Mais certaines populations russes ont des accents complètement différents. C'est un peu comme en France il existe l'accent marseillais, toulousain et le parisien, par exemple. Ici, on se contentera d'enseigner &quot;l'accent parisien&quot; russe, c'est-à-dire le plus courant. 

Vous n'êtes pas obligé d'avoir une accentuation parfaite dès le départ : c'est extrêmement difficile. Cependant, essayez peu à peu d'affiner votre prononciation au fur et à mesure de votre apprentissage. N'hésitez pas à lire à voix haute ou à répéter des phrases que prononcent des russophones.

==== Les voyelles  ====
Certaines voyelles ne se prononcent pas de la même façon en fonction de si elles sont accentuées ou non :
* Le &quot;е&quot; accentué se prononce &quot;ié&quot;, alors que sans l'accentuation, il se prononce &quot;i&quot;.
* Le &quot;o&quot; accentué se prononce &quot;o&quot; (fermé), alors que sans l'accentuation, il se prononce &quot;a&quot;.
Exemple : молок'''о''' (le lait), dont l'accent est sur la dernière syllabe, se prononce malako, bien qu'il &quot;s'écrive&quot; moloko. 

Parce que la prononciation sera alors assez différente de l'écriture, il est très bon d'apprendre un mot et son accent tonique simultanément. De plus, certains mots ne se distinguent que par leur accent.

Exemple :
* з'''а'''мок, qui se prononce zamak, signifie &quot;le château&quot;
* зам'''о'''к, qui se prononce zamok, signifie &quot;la serrure&quot;

=== En fin de mot  ===
En fin de mot, les consonnes deviennent des consonnes sourdes, comme en allemand par exemple. La prononciation change alors :
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Lettre !! Prononciation en fin de mot
|-
|Б
|П
|-
|В
|Ф
|-
|Г
|К
|-
|Д
|Т
|-
|З
|С
|}
C'est pour cette raison, par exemple, qu'on transcrit le nom de la vodka [[w:Poliakov_(vodka)|Poliakov]], mais qu'on prononce le v comme un f (''Poliakoff''). Et que d'autre fois, on transcrit directement le f, comme dans [[w:Smirnoff|Smirnoff]]. {{Traductions
|langue1=ru
|titre=Exemples
|align=left
|масштаб 
|mass-chtap (l’échelle)
|Ульянов 
|oulianoff (Oulianov, le nom de famille de [[w:Lénine|Lénine]])
|творог 
|tvorok (le fromage blanc, [[w:Fromage blanc|spécialité fromagère russe]])
|бутеброд 
|bouterbrot (mot emprunté à l'allemand pour désigner un sandwich)
|газ 
|gass (le gaz, très présent en Russie)
}}

=== Particularités de prononciation  ===
* Les voyelles &quot;я&quot; et &quot;ю&quot; ne s'écrivent pas après les consonnes &quot;ш&quot;, &quot;ж&quot;, &quot;щ&quot;, &quot;ч&quot;, &quot;г&quot;, &quot;х&quot;, &quot;к&quot; et &quot;ц&quot; ; il faut alors les remplacer par les voyelles &quot;а&quot; et &quot;у&quot;.
* La voyelle &quot;ы&quot; ne s'écrit pas après les consonnes &quot;ш&quot;, &quot;ж&quot;, &quot;ч&quot; et &quot;щ&quot;. Le &quot;и&quot; suivant ces consonnes est alors prononcé comme le &quot;ы&quot;.
* Après &quot;ж&quot; ou &quot;ц&quot;, le &quot;е&quot; se prononce &quot;э&quot;.
* La combinaison de lettres &quot;гк&quot; se prononce &quot;хк&quot;.
* Le &quot;г&quot; placé entre &quot;e&quot; et &quot;o&quot; ou entre &quot;o&quot; et &quot;o&quot; se prononce &quot;в&quot;.
* Le &quot;x&quot; à prononcer comme un &quot;ch&quot; allemand dans &quot;machen&quot; ou comme la &quot;jota&quot; espagnole dans &quot;jamón&quot; se prononce comme un &quot;ch&quot; français lorsqu'il est suivie d'une voyelle molle.
* Les &quot;е&quot; et les &quot;я&quot; non accentués se prononcent &quot;и&quot;.
* Le &quot;о&quot; non accentué se prononce &quot;а&quot;.

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      <timestamp>2026-10-23T08:21:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Marvoir</username>
        <id>1746</id>
      </contributor>
      <comment>/* Problème 2 */ Ajouté un point 5°. La suite pour bientôt.</comment>
      <origin>987629</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11409" sha1="kbjd8tlyhmao1lgqai7qr0ec84dxd8y" xml:space="preserve">{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 33
  | chapitre  = [[../../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives/]]
  | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]]
  | suivant   = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]]
  | niveau    = 13
}}

== Problème 1  ==
Soit ''k'' un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins ''k'' éléments, soit ''x'' un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; le stabilisateur de ''x'' dans G. Pour tout élément ''g'' de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; et tout élément ''y'' de X-{x}, ''gy'' appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où ''gy'' correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :&lt;br /&gt;
1° l'action de G sur X est k-transitive;&lt;br /&gt;
2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; sur X-{x} est (k-1)-transitive.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Supposons 1° et prouvons 2°.&lt;br /&gt;
Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; sur X - {x} est (k-1)-transitive.&lt;br /&gt;
Soient a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., a&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt; (resp. b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., b&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt;) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément ''g'' de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; tel que
:ga&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ga&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt;.
Cela revient à prouver qu’il existe un élément ''g'' de G tel que
:ga&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ga&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt; et gx = x.
Or cela est bien vrai, puisque a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., a&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt;, x sont ''k'' différents éléments de X, que b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., b&lt;sub&gt;k-1&lt;/sub&gt;, x sont eux aussi ''k'' différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°.

Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.&lt;br /&gt;
Soient a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; (resp. b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément ''g'' de G tel que
:(thèse 1) ga&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ga&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;.
D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément ''h'' de G tel que
:(2) ha&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = x.
De même, il existe un élément h' de G tel que
:(3) h'b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = x.
Les k-1 éléments ha&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., ha&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; de X sont distincts entre eux et distincts de ha&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, autrement dit de ''x''. Donc ha&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., ha&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; sont k-1 différents éléments de X - {x}.&lt;br /&gt;
De même, h'b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., h'b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; sont k-1 différents éléments de X - {x}.&lt;br /&gt;
Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément ''f'' de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; tel que
:fha&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = h'b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., fha&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; = h'b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;,
ce qui peut s'écire
:h'&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;fha&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., h'&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;fha&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;.
Donc si nous posons g = h'&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; f h, nous avons
:(4) g a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., g a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;.
De plus, g a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = h'&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; f h a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,
d'où, d’après (2),
:g a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = h'&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; f x.
Comme ''f'' appartient à G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, cela revient à
:g a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = h'&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; x,
ou encore, d’après (3), à
:ga&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;.
Joint à (4), cela prouve la thèse (1).
}}
Remarques. 1° L'énoncé de ce problème revient à dire que si ''k'' est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins ''k'' éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément ''x'' de X, G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; désigne le stabilisateur de ''x'' dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :&lt;br /&gt;
a) l'action de G sur X est k-transitive;&lt;br /&gt;
b) l'action de G sur X est transitive et pour tout élément ''x'' de X, l'action de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; sur X - {x} est (k-1)-transitive;&lt;br /&gt;
c) l'action de G sur X est transitive et il existe un élément ''x'' de X tel que l'action de G&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt; sur X - {x} soit (k-1)-transitive.&lt;br /&gt;
2° Selon D.J.S. Robinson&lt;ref&gt;D.J.S. Robinson, ''A Course in th Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, p. 193.&lt;/ref&gt;, l'énoncé qui précède est fondamental et permet de nombreux raisonnements par récurrence.

== Problème 2 ==
On va prouver que si un groupe G opère transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments, si ''x'' est un élément de E, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :&lt;/br&gt;
a) l'opération de G sur E est primitive;&lt;/br&gt;
b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.&lt;/br&gt;
(Rappelons que dans le chapitre [[../../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], nous avons défini un sous-groupe maximal d'un groupe G comme un sous-groupe ''propre'' M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe L de G tel que M &lt; L &lt; G.)

1° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soit B un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. Prouver que pour tout élément ''g'' de G, g.B est un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soit B un bloc, soit ''g'' un élément de G; prouvons que g.B est un bloc.&lt;/br&gt;
Pour cela, il s'agit de prouver que
:pour tout élément ''h'' de G, &lt;math&gt;h.(g.B) \cap g.B&lt;/math&gt; est vide ou &lt;math&gt;h.(g.B) = g.B&lt;/math&gt;
Cette thèse revient à dire que pour tout élément ''h'' de G,
:(g{{exp|-1}}hg B)&lt;math&gt;\cap B&lt;/math&gt; est vide ou (g{{exp|-1}}hg) B = B,
ce qui est vrai, puisque B est un bloc.&lt;/br&gt;
Nous avons donc prouvé que si B est un bloc, alors, pour tout élément ''g'' de G, gB est un bloc.&lt;/br&gt;
Pour un élément ''g'' donné de G, l'application
:&lt;math&gt;E \rightarrow E : x \mapsto gx&lt;/math&gt;
est une permutation de E (voir le chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]), donc
:&lt;math&gt;\vert g.B \vert = \vert B \vert&lt;/math&gt;
et, d'autre part, la relation gB = E équivaut à la relation B = E, donc si B est un bloc non trivial, g.B en est un lui aussi.
}}

2° Soit G un groupe opérant transitivement et non primitivement sur un ensemble E, soit ''x'' un élément de E. Prouver que l'opération de G sur E admet un bloc non trivial qui comprend ''x''.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Puisque, par hypothèse, l'opération de G sur E est transitive et non primitive, nous pouvons choisir un bloc non trivial B pour cette opération. Alors B est non vide, donc nous pouvons choisir un élément ''b'' de B. Puisque l'opération de G sur E est supposée transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que gb = x. Alors ''gB'' comprend ''x'' et, d'après le point 1°, est un bloc non trivial, ce qui prouve le point 2°.
}}

3° Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non vide de cette opération. Désignons par &lt;math&gt;StS_G (B)&lt;/math&gt; le stabilisateur strict de B dans G (défini au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]). (La notation &lt;math&gt;StS_G (B)&lt;/math&gt; n'est pas standard.) Prouver que l'application &lt;math&gt;StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b&lt;/math&gt; (application qui est évidemment correctement définie) est une opération transitive de &lt;math&gt;StS_G (B)&lt;/math&gt; sur B.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soient &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;b_2&lt;/math&gt; des éléments de B. Puisque B est supposé non vide, il s'agit de prouver
:(thèse 1) qu'il existe un élément ''s'' de &lt;math&gt;StS_G (B)&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;s b_1 = b_2&lt;/math&gt;.
Puisque, par hypothèse de l'énoncé, l'opération de G sur E est transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que
:(2) &lt;math&gt;g b_1 = b_2&lt;/math&gt;.
Alors &lt;math&gt;b_2&lt;/math&gt; appartient à &lt;math&gt;B \cap gB&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;B \cap gB&lt;/math&gt; est non vide, donc, puisque B est un bloc pour l'opération de G sur E, gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à &lt;math&gt;StS_G (B)&lt;/math&gt;. Donc le résultat (2) prouve la thèse (1) (avec ''s'' = ''g'').
}}

4° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que &lt;math&gt;G_x \leq H&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;G_x&lt;/math&gt; désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Prouver que H.x est un bloc pour l'opération considérée de G sur E.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soit ''k'' un élément de G tel que
:(hyp. 1) &lt;math&gt;H.x \cap k.(H.x)&lt;/math&gt; soit non vide.
Pour prouver l'énoncé, nous avons à prouver que
:(thèse 2) &lt;math&gt;H.x = k.(H.x)&lt;/math&gt;.
Il suffit évidemment de prouver que
:(thèse 3) ''k'' appartient à H.
L'hypothèse (1) revient à dire qu'il existe des éléments h, h' de H tels que
:kh'.x = h.x,
d'où
:h{{exp|-1}}kh'.x = x,
:h{{exp|-1}}kh’ &lt;math&gt;\in G_x&lt;/math&gt;.
D'après l'hypothèse &lt;math&gt;G_x \leq H&lt;/math&gt; de l'énoncé, nous avons donc
:h{{exp|-1}}kh’ &lt;math&gt;\in H&lt;/math&gt;,
d'où &lt;math&gt;k \in H&lt;/math&gt;, ce qui prouve notre thèse (3) et donc l'énoncé.
}}

5° Au problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant :
:Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que G.x = H.x; alors &lt;math&gt;H G_x = G&lt;/math&gt; (où &lt;math&gt;G_x&lt;/math&gt; désigne le stabilisateur de ''x'' dans G).&lt;/br&gt;
À l'aide de cet énoncé et du point 4° du présent exercice, prouver l'énoncé suivant :
:Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que &lt;math&gt;G_x &lt; H &lt; G&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;G_x&lt;/math&gt; désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Alors H.x est un bloc non trivial pour l'opération considérée de G sur E.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
D'après le point 4°, H.x est un bloc.&lt;/br&gt;
Puisque, par hypothèse, &lt;math&gt;G_x &lt; H&lt;/math&gt;, il y a au moins un élément de H qui ne fixe pas ''x'', donc H.x comprend au moins un élément de E autre que ''x''. Joint au fait que H.x comprend 1.x = x, cela montre que
:&lt;math&gt;\vert H.x \vert \geq 2.&lt;/math&gt;
Pour prouver que H.x est un bloc non trivial, il reste donc à prouver que
:(thèse 1) &lt;math&gt;H.x \neq E&lt;/math&gt;.
Supposons que, par absurde, on ait
:(hyp. 2) H.x = E.
Alors, puisque G.x contient H.x, on a évidemment G.x = E et donc (toujours d'après l'hypothèse 2)
:H.x = G.x,
donc, d'après le problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], qui a été rappelé plus haut,
:(3) &lt;math&gt;H G_x = G&lt;/math&gt;.
Puisque, par hypothèse de l'énoncé, &lt;math&gt;G_x&lt;/math&gt; est contenu dans H, le membre gauche de (3) est égal à H, donc H = G, ce qui contredit l'hypothèse H &lt; G de l'énoncé. Donc notre hypothèse (2) est absurde, donc H.x &lt; E, ce qui prouve la thèse (1). Comme on l'a vu, l'énoncé en résulte.  
}}

La suite pour bientôt.

== Références ==
&lt;references/&gt;


{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]]
  | suivant   = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]]
}}</text>
      <sha1>kbjd8tlyhmao1lgqai7qr0ec84dxd8y</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule de torsion</title>
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      <id>987625</id>
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      <timestamp>2026-10-23T04:48:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » */</comment>
      <origin>987625</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="132669" sha1="cemh0webmesdi4r73pc157mdwq0netw" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 7
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.&lt;/center&gt;

== Notion de fil de torsion ==

{{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » &lt;ref name=&quot;torsion&quot;&gt; Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » &lt;ref name=&quot;longitudinal&quot;&gt; C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.&lt;/ref&gt; et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, &lt;u&gt;on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension&lt;/u&gt; de « &lt;u&gt;fil sans torsion&lt;/u&gt; » ;

[[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]]
{{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; 

{{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir figure supérieure ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir figure inférieure ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;soit &lt;u&gt;le fil reste en l'état&lt;/u&gt; c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un &lt;u&gt;fil sans torsion&lt;/u&gt; », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;soit &lt;u&gt;le fil se détord&lt;/u&gt; ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à une rotation des brins dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » &lt;ref name=&quot;évolution de la torsion&quot;&gt; Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en valeur absolue&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».&lt;/ref&gt;, il s'agit alors d'« un &lt;u&gt;fil de torsion&lt;/u&gt; ».

== Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil ==

=== Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ===

{{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » &lt;ref name=&quot;choix de solide&quot;&gt; Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le fil de torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «&lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; étudié, puis 

{{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «&lt;math&gt;\;\alpha_0\;&lt;/math&gt;» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-dessous représenté à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}sur ce schéma, «&lt;math&gt;\;A_0B_0\;&lt;/math&gt;», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait l'extrémité fixe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;donc l'extrémité {{Nobr|mobile&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi 
* de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; ou 
* de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\alpha_0\;&lt;/math&gt;» étant la valeur de «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant initial &lt;math&gt;\,t = 0\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; de la tige aux fils&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; figurent sur le schéma : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celles du fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; et couple de torsion de moment &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction couple moment&quot;&gt; Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;», c'est évidemment à rectifier &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celle du « fil sans torsion inférieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;orientation du fil de torsion&quot;&gt; Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.&lt;/ref&gt; » définit aussi le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» des angles dans le plan horizontal passant par &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, l'angle de torsion «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; sur le schéma ci-dessus est «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot;&gt; Plus exactement dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» si l'angle de torsion est «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|33}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si l'angle de torsion est «&lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont le vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» est colinéaire et « de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot; width=&quot;100%&quot;  
|{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sous la forme &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans lequel «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,&lt;/math&gt; est toujours de signe contraire à l'angle de torsion &lt;math&gt;\,\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
|}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le vecteur moment du couple de torsion «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,&lt;/math&gt; pour éviter la confusion avec une force, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple  «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, point d'attache du fil au solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «&lt;math&gt;\;\vec{T}_{\text{sup}}\;&lt;/math&gt;» dont le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «&lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt;», l'angle de torsion «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; sur le schéma ci-dessus étant «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt; dont le vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;» est colinéaire et « de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,&lt;/math&gt; tous deux notés &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion ===

{{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'angle de torsion &lt;math&gt;\,\alpha(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; », le « cœfficient de proportionnalité étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», « de valeur absolue notée &lt;math&gt;\,C &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et appelée « &lt;u&gt;constante de torsion du fil&lt;/u&gt; » soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» s’exprimant en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;&lt;/math&gt;» ou simplement en «&lt;math&gt;\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;rad unité non physique&quot;&gt; On rappelle que le «&lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt;» n'étant pas une unité physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais une unité mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion ===

{{Al|5}}En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» d'un fil cylindrique de longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», de diamètre «&lt;math&gt;\;d\;&lt;/math&gt;» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] &lt;ref name=&quot;Coulomb&quot;&gt; '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;module de cisaillement&quot;&gt; Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot;&gt; Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «&lt;math&gt;\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;E\,&lt;/math&gt; [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\nu\;&lt;/math&gt; [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «&lt;math&gt;\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,&lt;/math&gt; est la contrainte imposée en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,F\,&lt;/math&gt; étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire &lt;math&gt;\,S\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,&lt;/math&gt; l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] &lt;math&gt;\,E\,&lt;/math&gt; s'exprime donc en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt; ; quelques exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar&lt;/math&gt; ; 
{{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «&lt;math&gt;\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;&lt;/math&gt;» de valeur toujours «&lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0,5\;&lt;/math&gt;» et souvent «&lt;math&gt;\;\simeq 0,3\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «&lt;math&gt;\;\simeq 0\;&lt;/math&gt;» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «&lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «&lt;math&gt;\;-1\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;étonnant non !&lt;math&gt;\big)\big\}&lt;/math&gt; ; quelques exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,\nu_{\text{acier}} = 0,30&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,\nu_{W} = 0,19\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50&lt;/math&gt; ;
{{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] &lt;math&gt;\,E\,&lt;/math&gt; et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] &lt;math&gt;\,\nu\,&lt;/math&gt; des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;
{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C}\;&lt;/math&gt;» d'un fil cylindrique de longueur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;», de diamètre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d}\;&lt;/math&gt;» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «&lt;math&gt;\;N \cdot m^{-2} = Pa\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C}\;&lt;/math&gt;» }}se calcule par «&lt;math&gt;\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemples&lt;/u&gt; : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,0\;m\;&lt;/math&gt; et de même diamètre &lt;math&gt;\;d = 0,20\;mm&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier «&lt;math&gt;\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» nécessite un couple de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}moment «&lt;math&gt;\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt; relativement faible &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une grande sensibilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène «&lt;math&gt;\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}nécessite un couple de moment «&lt;math&gt;\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,&lt;/math&gt; approximativement deux fois plus grand que le précédent &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une sensibilité &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}approximativement deux fois plus faible que le précédent&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc «&lt;math&gt;\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un couple de moment «&lt;math&gt;\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,&lt;/math&gt; quasi nul &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une très faible sensibilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le fil peut être considéré sans torsion »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Présentation du pendule de torsion (non amorti) ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur est fixe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;position servant de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «&lt;math&gt;\;2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt; de «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;» est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt; de «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) ==

=== Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion ===

{{Al|5}}La tige étant homogène, de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{tige}}\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{tige}}&lt;/math&gt;, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de celle-ci s’écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{masselotte}}&lt;/math&gt;, de rayon &lt;math&gt;\,R_{\text{masselotte}}\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}&lt;/math&gt;, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\; \parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de la masselotte considérée et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de révolution de cette dernière &lt;ref name=&quot;axe de révolution de la masselotte&quot;&gt; L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].&lt;/ref&gt; s’écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; à la distance &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » &lt;ref name=&quot;théorème de Huygens&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;disjoint&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.&lt;/ref&gt; on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des fils de torsion soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;».

=== Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) ===

{{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;précision sur la C.I.&quot;&gt; Nous supposerons que &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1\,&lt;/math&gt; de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1&lt;/math&gt;, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; fois à l'instant &lt;math&gt;\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,\searrow&lt;/math&gt;, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant &lt;math&gt;\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_0}\,&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\;\theta_1}&lt;/math&gt;, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui est bien ce que nous avons considéré&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide &lt;ref name=&quot;justification de la position d'équilibre&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_1}\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;}}position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par son abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; par son abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot;&gt; Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide « tige + masses » &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, un couple de torsion de moment }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide « tige + masses » &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, un couple de torsion de moment }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, compte-tenu du fait que « les autres actions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot;&gt; C.-à-d. le poids de la tige appliqué en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, celui de chaque masselotte lequel est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion&quot;&gt; Initialement quand «&lt;math&gt;\;\theta_1 &lt; \theta_0 &lt; 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «&lt;math&gt;\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;- C\;\theta_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;»}} de valeur absolue &lt;math&gt;\,C\;\theta_0\,&lt;/math&gt; plus grande que le précédent car &lt;math&gt;\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] &gt; 0\,&lt;/math&gt; on en déduit une rotation initiale dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si initialement on imposait «&lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «&lt;math&gt;\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] &lt; 0\;&lt;/math&gt;» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «&lt;math&gt;\;- C\;\theta_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», la valeur absolue du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,C\;\theta_0\,&lt;/math&gt; étant plus grande que celle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 &gt; 0&lt;/math&gt;, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en fait il ne dépend que du placement de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; le sens initial de rotation est le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;», il serait le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si on choisissait &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\theta_1\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot;&gt; Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil inférieur sans &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou avec&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; torsion.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot; /&gt;, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot; /&gt;, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«&lt;math&gt;\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;».

== Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation ==

&lt;center&gt;Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/center&gt;
=== Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) ===

{{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; déterminée précédemment «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; déterminée précédemment «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit &gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;».

=== Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » ===

{{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une &lt;u&gt;équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;/u&gt; à excitation constante &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique non amorti&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre à excitation constante]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; est la solution forcée &lt;math&gt;\,\theta_{\text{forcée}}\,&lt;/math&gt; de l'équation différentielle hétérogène &lt;ref name=&quot;forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide &lt;ref&gt; Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,k\,&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\,2\;C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\omega_0}\;&lt;/math&gt;» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme&quot;&gt; La solution libre pourrait encore être écrite selon «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ou du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; se déterminant à l’aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta_1 + A = \theta_0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;A = \theta_0 - \theta_1\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,B\;\omega_0 = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vitesse angulaire&quot;&gt; En effet la vitesse angulaire à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; se calcule selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;B = 0\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec ces C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; « abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot;&gt; La solution transitoire «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,&lt;/math&gt; quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} \nearrow\,&lt;/math&gt; ce qui est réalisé &lt;br&gt;{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; }}en écartant les masselottes de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,x \nearrow\big)\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; }}quand la constante de torsion des fils &lt;math&gt;\,C \searrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand }}&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;comme «&lt;math&gt;\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dépendance de la constante de torison&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot;&gt; Ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;}}matériau composant le fil de torsion &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,d\,&lt;/math&gt; son diamètre et &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; sa longueur, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;C \searrow\;&lt;/math&gt;» quand le diamètre du fil «&lt;math&gt;\;d \searrow\;&lt;/math&gt;» ou quand sa longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} \nearrow\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C \searrow}\;&lt;/math&gt;» }}quand le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot; /&gt; du matériau composant le fil &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C \searrow}\;&lt;/math&gt;» quand }}«&lt;math&gt;\;G \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;cas d'un module de Coulomb tendant vers 0&quot;&gt; Ainsi, avec un [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du matériau très faible &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple en choisissant du caoutchouc&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,G \rightarrow 0&lt;/math&gt;, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]&lt;math&gt;\big\}\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on notera l’&lt;u&gt;isochronisme des oscillations&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;isochronisme d'un oscillateur&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemple numérique&lt;/u&gt; : Considérant un fil d'acier de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;, de diamètre &lt;math&gt;\,d = 0,50\;mm\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l} = 0,50\;m&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier }}sa constante de torsion &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; est évaluée à &lt;math&gt;\,C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{tige}} = 100\;g&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle &lt;math&gt;\,m_{\text{masselotte}} = 150\;g&lt;/math&gt;, de rayon &lt;math&gt;\,R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{masselotte}} = 3,0\;cm&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué de deux masselottes }}positionnées symétriquement, de part et d'autre de &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, à la distance &lt;math&gt;\,x = 10\;cm&lt;/math&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\,&lt;/math&gt; d'après le caractère additif du moment d'inertie &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice&quot;/&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de Huygens&quot; /&gt; donnant numériquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) =} &lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; est évalué selon &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C}}\,&lt;/math&gt; est évalué selon }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\,&lt;/math&gt; soit numériquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}&lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}on en déduit la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot; /&gt; puis la période propre d'oscillation «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;&lt;/math&gt;», suivi de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, on en déduit }}la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; se détermine par &lt;math&gt;\,\alpha(0) = \alpha_0\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,A = \alpha_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|25}}avec &lt;math&gt;\,\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\,&lt;/math&gt; {{Al|7}}&lt;math&gt;\,\color{transparent}{B}\,&lt;/math&gt;{{Transparent| se détermine }}par &lt;math&gt;\,\dot{\alpha}(0) = 0\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,B\;\omega_0 = 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,B = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}&lt;math&gt;\big(\!&lt;/math&gt;numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\,&lt;/math&gt; par rapport à celle déterminée hors remarque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(\!}&lt;/math&gt;}}soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}on en déduit la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot; /&gt; puis la période propre d'oscillation «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;», suivi de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, on en déduit }}la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}&lt;math&gt;\big(\!&lt;/math&gt;numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(\!}&lt;/math&gt;}}soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)&lt;/math&gt;.

== Complément, pendule de torsion amorti ==

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les fils de torsion supérieur et inférieur &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan de la figure ne peuvent y être représentés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;]]

=== Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti ===

[[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|left|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]]
{{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou autre matériau&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; positionnées perpendiculairement à leur déplacement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; voir figure ci-contre à droite en vue de dessus.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut faire un « enregistrement » &lt;ref&gt; Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.&lt;/ref&gt; par oscilloscope numérique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la}} position angulaire &lt;math&gt;\,\theta = \theta_1\,&lt;/math&gt; correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;u&gt;Description de l'interfaçage&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.S.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;alimentation stabilisée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci &lt;ref name=&quot;limitation du courant délivré par l'A.S.&quot;&gt; Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l'A.S. pour éviter l'électrolyse de la solution.&lt;/ref&gt;, une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode est solidaire de la tige ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode mobile solidaire du pendule et la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l,angle de rotation du pendule par rapport à sa position d,équilibre soit «&lt;math&gt;\;\theta(t) - \theta_1\;&lt;/math&gt;».
{{clr}}
=== Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes ===

{{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou dans un liquide plus ou moins visqueux &lt;ref&gt; À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; immobile&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible &lt;ref name=&quot;condition des faibles vitesses&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; situé à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,h\,&lt;/math&gt; constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\,kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide &lt;math&gt;\,\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\,&lt;/math&gt; de l'air vers la {{Nobr|glycérine&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} ainsi que de la densité de ce dernier &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_i}(t)\,&lt;/math&gt; le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur de base cylindro-polaire lié au point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; orienté par le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; de la base. 
&lt;br&gt;{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\rho_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de rotation, chaque point &lt;math&gt;\,M_{i,\,1}\,&lt;/math&gt; de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; ayant un symétrique &lt;math&gt;\,M_{i,\,2}\,&lt;/math&gt; de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces &lt;ref name=&quot;couple&quot;&gt; Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire &lt;ref name=&quot;somme de couple&quot;&gt; En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui est le cas ici&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; le nombre de points matériels de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification du moment scalaire d'un couple de deux forces&quot;&gt; Les deux forces de frottement fluide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\,&lt;/math&gt; opposées tendent à faire tourner le couple &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dans le même sens ;&lt;br&gt;{{Al|3}}notant &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; valeur commune qui est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; si le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; se fait dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; s'il se fait dans le sens &lt;math&gt;\,-&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le bras de levier de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\,&lt;/math&gt; et celui de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) = 2\;r_i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(r_i\,&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale commune de &lt;math&gt;\,M_{i,\,1}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,M_{i,\,2}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; s'écrivant selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;H\;&lt;/math&gt; une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et &lt;br&gt;{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.&lt;/center&gt;
=== Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti ===

{{Al|5}}L'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que « }}supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; sont &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que « }}respectivement &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence paramètres&quot;&gt; Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que }}« les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis&quot;&gt; C.-à-d. le poids de la tige appliqué en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, celui de chaque ailette lequel est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}nous conduit à «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire nous conduit à }}«&lt;math&gt;\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» à résoudre avec les mêmes C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; que celles du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire nous conduit à }}paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre &lt;ref name=&quot;comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion&quot; /&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», soit enfin, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}en normalisant, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}c.-à-d. l'équation différentielle d'un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique amorti&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;oscillateur harmonique amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple &lt;math&gt;\,m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, }}on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; avec le moment d'inertie de la tige par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, on peut assimiler }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, }}l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti se réécrit «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Réduction canonique&lt;/u&gt; : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir &lt;ref name=&quot;réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la constante de raideur &lt;math&gt;\,k\,&lt;/math&gt; du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils &lt;math&gt;\,2\;C&lt;/math&gt;, la masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\,&lt;/math&gt; de la tige par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et l'allongement total du ressort &lt;math&gt;\,x'\,&lt;/math&gt; par l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de la tige.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la pulsation propre du pendule «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\bigg\{&lt;/math&gt;dont on déduit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le cœfficient d'amortissement du pendule «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}le facteur de qualité du pendule «&lt;math&gt;\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution de l'équation différentielle&lt;/u&gt; : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre à excitation constante, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «&lt;math&gt;\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation caractéristique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre homogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de &lt;math&gt;\,\sigma\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résolution de l'équation caractéristique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre homogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre pseudo-périodique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)|σ &lt; 1 (faible amortissement)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;pseudo-périodique&lt;/u&gt; de « pseudo-pulsation &lt;math&gt;\,\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;» correspondant à une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}« pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,&gt; \mathcal{T}_0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Bigg[\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}étant la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big(\!&lt;/math&gt;la pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'écartant d’autant plus de la &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}période propre &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; que le cœfficient d’amortissement &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; se rapproche de &lt;math&gt;\,1\big)&lt;/math&gt;, la forme de la solution libre étant &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varphi\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma = 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre apériodique critique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;apériodique critique&lt;/u&gt; de forme «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}\;&lt;/math&gt; la solution libre est apériodique critique de forme «}}&lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre apériodique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)|σ &gt; 1 (fort amortissement)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;apériodique&lt;/u&gt; de forme &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}\;&lt;/math&gt; la solution libre est apériodique de forme «}}&lt;math&gt;\,A_{+}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A_{-}\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de &lt;math&gt;\,\sigma\big)&lt;/math&gt;, la forme suivante : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &lt; 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime pseudo-périodique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varphi\,&lt;/math&gt; se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un &lt;u&gt;amortissement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;amortissement exponentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;de constante de temps&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}&lt;/math&gt;, la pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,&lt;/math&gt; des pseudo-oscillations &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0 =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\,&lt;/math&gt; période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti&lt;math&gt;\Bigg]\,&lt;/math&gt; étant d'autant plus grande que &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; est proche de sa valeur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}critique &lt;math&gt;\,\sigma_c = 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma = 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime apériodique critique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}&lt;/math&gt; }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un &lt;u&gt;un retour direct&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;à la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;retour direct dans la mesure où la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse est &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &gt; 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime apériodique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A_{+}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A_{-}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}traduisant un &lt;u&gt;un retour direct à la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;retour direct si la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse est &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\big]&lt;/math&gt;, ce retour &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; est grand.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Diagrammes temporelles de position angulaire&lt;/u&gt; : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}[[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|(d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}à condition de remplacer &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : à condition de remplacer }}&lt;math&gt;\,u_C(0^{-}) = 0\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(0^{-}) = \theta_0 &gt; \theta_1\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : à condition de remplacer }}&lt;math&gt;\,u_C(\infty) = E = 1\;V\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(\infty) = \theta_1&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <comment>/* Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » */</comment>
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      <text bytes="132669" sha1="ja33unaa2ngrimk2gizv6xa04g58oia" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 7
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.&lt;/center&gt;

== Notion de fil de torsion ==

{{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » &lt;ref name=&quot;torsion&quot;&gt; Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » &lt;ref name=&quot;longitudinal&quot;&gt; C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.&lt;/ref&gt; et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, &lt;u&gt;on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension&lt;/u&gt; de « &lt;u&gt;fil sans torsion&lt;/u&gt; » ;

[[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]]
{{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; 

{{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir figure supérieure ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir figure inférieure ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;soit &lt;u&gt;le fil reste en l'état&lt;/u&gt; c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un &lt;u&gt;fil sans torsion&lt;/u&gt; », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;soit &lt;u&gt;le fil se détord&lt;/u&gt; ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à une rotation des brins dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » &lt;ref name=&quot;évolution de la torsion&quot;&gt; Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en valeur absolue&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».&lt;/ref&gt;, il s'agit alors d'« un &lt;u&gt;fil de torsion&lt;/u&gt; ».

== Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil ==

=== Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ===

{{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » &lt;ref name=&quot;choix de solide&quot;&gt; Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le fil de torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «&lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; étudié, puis 

{{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «&lt;math&gt;\;\alpha_0\;&lt;/math&gt;» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-dessous représenté à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}sur ce schéma, «&lt;math&gt;\;A_0B_0\;&lt;/math&gt;», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait l'extrémité fixe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;donc l'extrémité {{Nobr|mobile&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi 
* de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; ou 
* de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\alpha_0\;&lt;/math&gt;» étant la valeur de «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant initial &lt;math&gt;\,t = 0\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; de la tige aux fils&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; figurent sur le schéma : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celles du fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; et couple de torsion de moment &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction couple moment&quot;&gt; Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;», c'est évidemment à rectifier &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celle du « fil sans torsion inférieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;orientation du fil de torsion&quot;&gt; Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.&lt;/ref&gt; » définit aussi le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» des angles dans le plan horizontal passant par &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, l'angle de torsion «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; sur le schéma ci-dessus est «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot;&gt; Plus exactement dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» si l'angle de torsion est «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|34}}{{Transparent|Plus exactement}}dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si l'angle de torsion est «&lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont le vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» est colinéaire et « de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot; width=&quot;100%&quot;  
|{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sous la forme &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans lequel «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,&lt;/math&gt; est toujours de signe contraire à l'angle de torsion &lt;math&gt;\,\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
|}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le vecteur moment du couple de torsion «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,&lt;/math&gt; pour éviter la confusion avec une force, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple  «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, point d'attache du fil au solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «&lt;math&gt;\;\vec{T}_{\text{sup}}\;&lt;/math&gt;» dont le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «&lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt;», l'angle de torsion «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; sur le schéma ci-dessus étant «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt; dont le vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;» est colinéaire et « de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,&lt;/math&gt; tous deux notés &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion ===

{{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'angle de torsion &lt;math&gt;\,\alpha(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; », le « cœfficient de proportionnalité étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», « de valeur absolue notée &lt;math&gt;\,C &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et appelée « &lt;u&gt;constante de torsion du fil&lt;/u&gt; » soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» s’exprimant en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;&lt;/math&gt;» ou simplement en «&lt;math&gt;\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;rad unité non physique&quot;&gt; On rappelle que le «&lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt;» n'étant pas une unité physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais une unité mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion ===

{{Al|5}}En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» d'un fil cylindrique de longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», de diamètre «&lt;math&gt;\;d\;&lt;/math&gt;» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] &lt;ref name=&quot;Coulomb&quot;&gt; '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;module de cisaillement&quot;&gt; Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot;&gt; Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «&lt;math&gt;\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;E\,&lt;/math&gt; [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\nu\;&lt;/math&gt; [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «&lt;math&gt;\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,&lt;/math&gt; est la contrainte imposée en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,F\,&lt;/math&gt; étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire &lt;math&gt;\,S\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,&lt;/math&gt; l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] &lt;math&gt;\,E\,&lt;/math&gt; s'exprime donc en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt; ; quelques exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar&lt;/math&gt; ; 
{{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «&lt;math&gt;\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;&lt;/math&gt;» de valeur toujours «&lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0,5\;&lt;/math&gt;» et souvent «&lt;math&gt;\;\simeq 0,3\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «&lt;math&gt;\;\simeq 0\;&lt;/math&gt;» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «&lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «&lt;math&gt;\;-1\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;étonnant non !&lt;math&gt;\big)\big\}&lt;/math&gt; ; quelques exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,\nu_{\text{acier}} = 0,30&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,\nu_{W} = 0,19\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50&lt;/math&gt; ;
{{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] &lt;math&gt;\,E\,&lt;/math&gt; et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] &lt;math&gt;\,\nu\,&lt;/math&gt; des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;
{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C}\;&lt;/math&gt;» d'un fil cylindrique de longueur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;», de diamètre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d}\;&lt;/math&gt;» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «&lt;math&gt;\;N \cdot m^{-2} = Pa\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C}\;&lt;/math&gt;» }}se calcule par «&lt;math&gt;\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemples&lt;/u&gt; : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,0\;m\;&lt;/math&gt; et de même diamètre &lt;math&gt;\;d = 0,20\;mm&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier «&lt;math&gt;\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» nécessite un couple de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}moment «&lt;math&gt;\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt; relativement faible &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une grande sensibilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène «&lt;math&gt;\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}nécessite un couple de moment «&lt;math&gt;\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,&lt;/math&gt; approximativement deux fois plus grand que le précédent &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une sensibilité &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}approximativement deux fois plus faible que le précédent&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc «&lt;math&gt;\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un couple de moment «&lt;math&gt;\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,&lt;/math&gt; quasi nul &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une très faible sensibilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le fil peut être considéré sans torsion »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Présentation du pendule de torsion (non amorti) ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur est fixe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;position servant de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «&lt;math&gt;\;2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt; de «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;» est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt; de «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) ==

=== Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion ===

{{Al|5}}La tige étant homogène, de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{tige}}\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{tige}}&lt;/math&gt;, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de celle-ci s’écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{masselotte}}&lt;/math&gt;, de rayon &lt;math&gt;\,R_{\text{masselotte}}\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}&lt;/math&gt;, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\; \parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de la masselotte considérée et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de révolution de cette dernière &lt;ref name=&quot;axe de révolution de la masselotte&quot;&gt; L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].&lt;/ref&gt; s’écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; à la distance &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » &lt;ref name=&quot;théorème de Huygens&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;disjoint&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.&lt;/ref&gt; on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des fils de torsion soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;».

=== Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) ===

{{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;précision sur la C.I.&quot;&gt; Nous supposerons que &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1\,&lt;/math&gt; de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1&lt;/math&gt;, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; fois à l'instant &lt;math&gt;\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,\searrow&lt;/math&gt;, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant &lt;math&gt;\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_0}\,&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\;\theta_1}&lt;/math&gt;, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui est bien ce que nous avons considéré&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide &lt;ref name=&quot;justification de la position d'équilibre&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_1}\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;}}position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par son abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; par son abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot;&gt; Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide « tige + masses » &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, un couple de torsion de moment }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide « tige + masses » &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, un couple de torsion de moment }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, compte-tenu du fait que « les autres actions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot;&gt; C.-à-d. le poids de la tige appliqué en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, celui de chaque masselotte lequel est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion&quot;&gt; Initialement quand «&lt;math&gt;\;\theta_1 &lt; \theta_0 &lt; 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «&lt;math&gt;\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;- C\;\theta_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;»}} de valeur absolue &lt;math&gt;\,C\;\theta_0\,&lt;/math&gt; plus grande que le précédent car &lt;math&gt;\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] &gt; 0\,&lt;/math&gt; on en déduit une rotation initiale dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si initialement on imposait «&lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «&lt;math&gt;\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] &lt; 0\;&lt;/math&gt;» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «&lt;math&gt;\;- C\;\theta_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», la valeur absolue du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,C\;\theta_0\,&lt;/math&gt; étant plus grande que celle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 &gt; 0&lt;/math&gt;, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en fait il ne dépend que du placement de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; le sens initial de rotation est le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;», il serait le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si on choisissait &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\theta_1\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot;&gt; Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil inférieur sans &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou avec&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; torsion.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot; /&gt;, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot; /&gt;, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«&lt;math&gt;\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;».

== Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation ==

&lt;center&gt;Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/center&gt;
=== Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) ===

{{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; déterminée précédemment «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; déterminée précédemment «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit &gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;».

=== Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » ===

{{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une &lt;u&gt;équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;/u&gt; à excitation constante &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique non amorti&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre à excitation constante]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; est la solution forcée &lt;math&gt;\,\theta_{\text{forcée}}\,&lt;/math&gt; de l'équation différentielle hétérogène &lt;ref name=&quot;forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide &lt;ref&gt; Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,k\,&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\,2\;C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\omega_0}\;&lt;/math&gt;» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme&quot;&gt; La solution libre pourrait encore être écrite selon «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ou du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; se déterminant à l’aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta_1 + A = \theta_0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;A = \theta_0 - \theta_1\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,B\;\omega_0 = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vitesse angulaire&quot;&gt; En effet la vitesse angulaire à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; se calcule selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;B = 0\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec ces C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; « abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot;&gt; La solution transitoire «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,&lt;/math&gt; quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} \nearrow\,&lt;/math&gt; ce qui est réalisé &lt;br&gt;{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; }}en écartant les masselottes de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,x \nearrow\big)\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; }}quand la constante de torsion des fils &lt;math&gt;\,C \searrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand }}&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;comme «&lt;math&gt;\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dépendance de la constante de torison&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot;&gt; Ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;}}matériau composant le fil de torsion &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,d\,&lt;/math&gt; son diamètre et &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; sa longueur, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;C \searrow\;&lt;/math&gt;» quand le diamètre du fil «&lt;math&gt;\;d \searrow\;&lt;/math&gt;» ou quand sa longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} \nearrow\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C \searrow}\;&lt;/math&gt;» }}quand le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot; /&gt; du matériau composant le fil &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C \searrow}\;&lt;/math&gt;» quand }}«&lt;math&gt;\;G \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;cas d'un module de Coulomb tendant vers 0&quot;&gt; Ainsi, avec un [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du matériau très faible &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple en choisissant du caoutchouc&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,G \rightarrow 0&lt;/math&gt;, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]&lt;math&gt;\big\}\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on notera l’&lt;u&gt;isochronisme des oscillations&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;isochronisme d'un oscillateur&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemple numérique&lt;/u&gt; : Considérant un fil d'acier de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;, de diamètre &lt;math&gt;\,d = 0,50\;mm\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l} = 0,50\;m&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier }}sa constante de torsion &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; est évaluée à &lt;math&gt;\,C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{tige}} = 100\;g&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle &lt;math&gt;\,m_{\text{masselotte}} = 150\;g&lt;/math&gt;, de rayon &lt;math&gt;\,R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{masselotte}} = 3,0\;cm&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué de deux masselottes }}positionnées symétriquement, de part et d'autre de &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, à la distance &lt;math&gt;\,x = 10\;cm&lt;/math&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\,&lt;/math&gt; d'après le caractère additif du moment d'inertie &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice&quot;/&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de Huygens&quot; /&gt; donnant numériquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) =} &lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; est évalué selon &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C}}\,&lt;/math&gt; est évalué selon }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\,&lt;/math&gt; soit numériquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}&lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}on en déduit la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot; /&gt; puis la période propre d'oscillation «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;&lt;/math&gt;», suivi de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, on en déduit }}la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; se détermine par &lt;math&gt;\,\alpha(0) = \alpha_0\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,A = \alpha_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|25}}avec &lt;math&gt;\,\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\,&lt;/math&gt; {{Al|7}}&lt;math&gt;\,\color{transparent}{B}\,&lt;/math&gt;{{Transparent| se détermine }}par &lt;math&gt;\,\dot{\alpha}(0) = 0\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,B\;\omega_0 = 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,B = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}&lt;math&gt;\big(\!&lt;/math&gt;numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\,&lt;/math&gt; par rapport à celle déterminée hors remarque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(\!}&lt;/math&gt;}}soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}on en déduit la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot; /&gt; puis la période propre d'oscillation «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;», suivi de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, on en déduit }}la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}&lt;math&gt;\big(\!&lt;/math&gt;numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(\!}&lt;/math&gt;}}soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)&lt;/math&gt;.

== Complément, pendule de torsion amorti ==

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les fils de torsion supérieur et inférieur &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan de la figure ne peuvent y être représentés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;]]

=== Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti ===

[[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|left|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]]
{{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou autre matériau&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; positionnées perpendiculairement à leur déplacement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; voir figure ci-contre à droite en vue de dessus.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut faire un « enregistrement » &lt;ref&gt; Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.&lt;/ref&gt; par oscilloscope numérique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la}} position angulaire &lt;math&gt;\,\theta = \theta_1\,&lt;/math&gt; correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;u&gt;Description de l'interfaçage&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.S.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;alimentation stabilisée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci &lt;ref name=&quot;limitation du courant délivré par l'A.S.&quot;&gt; Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l'A.S. pour éviter l'électrolyse de la solution.&lt;/ref&gt;, une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode est solidaire de la tige ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode mobile solidaire du pendule et la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l,angle de rotation du pendule par rapport à sa position d,équilibre soit «&lt;math&gt;\;\theta(t) - \theta_1\;&lt;/math&gt;».
{{clr}}
=== Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes ===

{{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou dans un liquide plus ou moins visqueux &lt;ref&gt; À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; immobile&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible &lt;ref name=&quot;condition des faibles vitesses&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; situé à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,h\,&lt;/math&gt; constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\,kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide &lt;math&gt;\,\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\,&lt;/math&gt; de l'air vers la {{Nobr|glycérine&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} ainsi que de la densité de ce dernier &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_i}(t)\,&lt;/math&gt; le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur de base cylindro-polaire lié au point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; orienté par le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; de la base. 
&lt;br&gt;{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\rho_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de rotation, chaque point &lt;math&gt;\,M_{i,\,1}\,&lt;/math&gt; de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; ayant un symétrique &lt;math&gt;\,M_{i,\,2}\,&lt;/math&gt; de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces &lt;ref name=&quot;couple&quot;&gt; Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire &lt;ref name=&quot;somme de couple&quot;&gt; En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui est le cas ici&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; le nombre de points matériels de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification du moment scalaire d'un couple de deux forces&quot;&gt; Les deux forces de frottement fluide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\,&lt;/math&gt; opposées tendent à faire tourner le couple &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dans le même sens ;&lt;br&gt;{{Al|3}}notant &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; valeur commune qui est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; si le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; se fait dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; s'il se fait dans le sens &lt;math&gt;\,-&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le bras de levier de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\,&lt;/math&gt; et celui de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) = 2\;r_i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(r_i\,&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale commune de &lt;math&gt;\,M_{i,\,1}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,M_{i,\,2}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; s'écrivant selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;H\;&lt;/math&gt; une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et &lt;br&gt;{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.&lt;/center&gt;
=== Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti ===

{{Al|5}}L'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que « }}supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; sont &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que « }}respectivement &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence paramètres&quot;&gt; Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que }}« les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis&quot;&gt; C.-à-d. le poids de la tige appliqué en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, celui de chaque ailette lequel est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}nous conduit à «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire nous conduit à }}«&lt;math&gt;\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» à résoudre avec les mêmes C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; que celles du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire nous conduit à }}paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre &lt;ref name=&quot;comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion&quot; /&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», soit enfin, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}en normalisant, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}c.-à-d. l'équation différentielle d'un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique amorti&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;oscillateur harmonique amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple &lt;math&gt;\,m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, }}on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; avec le moment d'inertie de la tige par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, on peut assimiler }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, }}l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti se réécrit «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Réduction canonique&lt;/u&gt; : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir &lt;ref name=&quot;réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la constante de raideur &lt;math&gt;\,k\,&lt;/math&gt; du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils &lt;math&gt;\,2\;C&lt;/math&gt;, la masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\,&lt;/math&gt; de la tige par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et l'allongement total du ressort &lt;math&gt;\,x'\,&lt;/math&gt; par l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de la tige.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la pulsation propre du pendule «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\bigg\{&lt;/math&gt;dont on déduit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le cœfficient d'amortissement du pendule «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}le facteur de qualité du pendule «&lt;math&gt;\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution de l'équation différentielle&lt;/u&gt; : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre à excitation constante, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «&lt;math&gt;\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation caractéristique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre homogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de &lt;math&gt;\,\sigma\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résolution de l'équation caractéristique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre homogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre pseudo-périodique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)|σ &lt; 1 (faible amortissement)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;pseudo-périodique&lt;/u&gt; de « pseudo-pulsation &lt;math&gt;\,\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;» correspondant à une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}« pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,&gt; \mathcal{T}_0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Bigg[\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}étant la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big(\!&lt;/math&gt;la pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'écartant d’autant plus de la &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}période propre &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; que le cœfficient d’amortissement &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; se rapproche de &lt;math&gt;\,1\big)&lt;/math&gt;, la forme de la solution libre étant &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varphi\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma = 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre apériodique critique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;apériodique critique&lt;/u&gt; de forme «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}\;&lt;/math&gt; la solution libre est apériodique critique de forme «}}&lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre apériodique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)|σ &gt; 1 (fort amortissement)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;apériodique&lt;/u&gt; de forme &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}\;&lt;/math&gt; la solution libre est apériodique de forme «}}&lt;math&gt;\,A_{+}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A_{-}\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de &lt;math&gt;\,\sigma\big)&lt;/math&gt;, la forme suivante : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &lt; 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime pseudo-périodique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varphi\,&lt;/math&gt; se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un &lt;u&gt;amortissement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;amortissement exponentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;de constante de temps&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}&lt;/math&gt;, la pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,&lt;/math&gt; des pseudo-oscillations &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0 =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\,&lt;/math&gt; période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti&lt;math&gt;\Bigg]\,&lt;/math&gt; étant d'autant plus grande que &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; est proche de sa valeur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}critique &lt;math&gt;\,\sigma_c = 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma = 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime apériodique critique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}&lt;/math&gt; }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un &lt;u&gt;un retour direct&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;à la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;retour direct dans la mesure où la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse est &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &gt; 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime apériodique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A_{+}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A_{-}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}traduisant un &lt;u&gt;un retour direct à la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;retour direct si la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse est &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\big]&lt;/math&gt;, ce retour &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; est grand.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Diagrammes temporelles de position angulaire&lt;/u&gt; : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}[[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|(d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}à condition de remplacer &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : à condition de remplacer }}&lt;math&gt;\,u_C(0^{-}) = 0\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(0^{-}) = \theta_0 &gt; \theta_1\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : à condition de remplacer }}&lt;math&gt;\,u_C(\infty) = E = 1\;V\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(\infty) = \theta_1&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie]]
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      <comment>/* Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » */</comment>
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      <text bytes="132670" sha1="r31iwb18ic91ss9unij9u412b0anwp9" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 7
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe/]]
  | suivant   = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.&lt;/center&gt;

== Notion de fil de torsion ==

{{Al|5}}Les fils introduits jusqu'à présent ne travaillaient qu'à la tension sans faire intervenir la « torsion » &lt;ref name=&quot;torsion&quot;&gt; Une torsion est la déformation donnée à un corps allongé par une rotation différentielle transversale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;différentielle signifiant que l'angle de rotation dépend de la position longitudinale de la partie subissant la torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l'action qu'ils exercent sur les corps auxquels ils sont attachés était purement « longitudinale » &lt;ref name=&quot;longitudinal&quot;&gt; C.-à-d. que l'action était représentée par une force dont le support a pour direction celle du fil au point d'attache.&lt;/ref&gt; et pour les distinguer des « fils de torsion » que nous allons introduire maintenant, &lt;u&gt;on qualifie ces fils ne travaillant qu'à la tension&lt;/u&gt; de « &lt;u&gt;fil sans torsion&lt;/u&gt; » ;

[[File:Torsion d'un fil.png|thumb|left|Schémas de définition de la torsion d'un fil]]
{{Al|5}}pour différencier un « fil sans torsion » d'un « fil de torsion », on pose le fil légèrement tendu sur un plan horizontal sans aucune action rotatoire déformante de façon à ce qu'il suive une ligne rectiligne et soit « non tordu » ; 

{{Al|5}}sur la surface latérale du « fil légèrement tendu et non tordu » on peut repérer une génératrice du tuyau cylindrique représentant la surface latérale du fil, cette génératrice est rectiligne dans la mesure où le fil est non tordu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir figure supérieure ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}bloquant une extrémité du fil et exerçant une action de torsion dans un sens choisi comme sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» à l'autre extrémité, on constate d'une part que la génératrice prend la forme d'une hélice plus ou moins allongée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir figure inférieure ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et d'autre part, quand on lâche l'extrémité tordue sans lui communiquer de vitesse initiale, deux cas limites peuvent se présenter : &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;soit &lt;u&gt;le fil reste en l'état&lt;/u&gt; c.-à-d. tordu sans reprendre son état initial, il s'agit alors d’« un &lt;u&gt;fil sans torsion&lt;/u&gt; », c.-à-d. les fils utilisés jusqu'à présent, &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;soit &lt;u&gt;le fil se détord&lt;/u&gt; ce qu'on observe par le fait que l'extrémité tordue dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» ainsi que tous les brins intermédiaires tordus dans le même sens de façon différentielle jusqu'à l’extrémité fixe subissent une diminution de déformation transversale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à une rotation des brins dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; également de façon différentielle « jusqu'à ce que le fil reprenne son état initial » &lt;ref name=&quot;évolution de la torsion&quot;&gt; Usuellement la torsion différentielle des brins du fil se poursuit dans le sens opposé jusqu'à une torsion maximale dans le sens « – » à partir de laquelle le fil se détord de nouveau vers l’état initial du fil en le dépassant vraisemblablement pour atteindre une torsion maximale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en valeur absolue&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» moindre que la torsion initiale et, après quelques cycles de torsions de plus en plus amorties dans un sens et dans l'autre, le fil reprend son état initial « non tordu ».&lt;/ref&gt;, il s'agit alors d'« un &lt;u&gt;fil de torsion&lt;/u&gt; ».

== Couple exercé par le fil de torsion sur le solide auquel il est fixé, constante de torsion du fil ==

=== Actions d’un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la « résultante des actions de translation exercées par le fil » et couple de torsion du fil défini par le « moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil » ===

{{Al|5}}Reprenons le fil de torsion du paragraphe précédent en le mettant vertical avec l'extrémité supérieure maintenue fixe et l'extrémité inférieure reliée au « solide » &lt;ref name=&quot;choix de solide&quot;&gt; Le solide ici étant une tige horizontale fixée en son centre sur laquelle peuvent coulisser, de chaque côté du point de fixation, des masselottes, la position de ces dernières fixant la valeur du moment d'inertie du solide relativement à l'axe de rotation &lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le fil de torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on relie ce dernier par un fil sans torsion à un point situé au-dessous, dans le prolongement du fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;l'intérêt de prendre un fil sans torsion est qu'il ne joue aucun rôle dans la rotation du solide et par suite sa présence peut être négligée lors de l'étude de cette dernière&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}pour éviter le balancement transversal du solide, on peut également remplacer le fil inférieur sans torsion par un fil de torsion identique au fil supérieur mais il faut alors tenir compte de l'action de ce fil inférieur sur la rotation du solide, action identique à celle du fil supérieur et par suite penser à mettre un facteur «&lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» devant l'action d'un des fils de torsion pour tenir compte de l'action des deux fils de torsion &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; étudié, puis 

{{Al|5}}exerçons une torsion initiale d'un angle «&lt;math&gt;\;\alpha_0\;&lt;/math&gt;» sur l'extrémité inférieure reliée au solide, ce dernier étant lâché sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-dessous représenté à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; avec liaison inférieure du solide par un fil sans torsion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}sur ce schéma, «&lt;math&gt;\;A_0B_0\;&lt;/math&gt;», représenté en tiretés, est la position du solide quand le fil de torsion supérieur n'est pas tordu servant de position de référence pour repérer l'angle de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \widehat{\left\lbrace \overrightarrow{A_0B_0}\,,\,\overrightarrow{AB}(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion d'un fil est toujours défini relativement à une extrémité de référence &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en fait l'extrémité fixe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il mesure l'angle que fait l'autre extrémité tordue &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;donc l'extrémité {{Nobr|mobile&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt;}} par rapport à cette extrémité de référence, le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» de mesure correspondant à l'orientation du fil de torsion peut être choisi 
* de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;exemple du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Notion_de_fil_de_torsion|notion de fil de torsion]] » ou exemple de l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; ou 
* de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;exemple du fil de torsion supérieur du schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\alpha_0\;&lt;/math&gt;» étant la valeur de «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant initial &lt;math&gt;\,t = 0\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}seules les actions des fils sur le solide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;représenté sans ajout des éventuelles masselottes situées de part et d'autre du point d'attache &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; de la tige aux fils&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; figurent sur le schéma : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celles du fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; et couple de torsion de moment &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction couple moment&quot;&gt; Attention : certains auteurs confondent « le couple » et « le moment vectoriel du couple » en écrivant par exemple « couple de torsion &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;», c'est évidemment à rectifier &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|seules les}}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;celle du « fil sans torsion inférieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;tension du fil &lt;math&gt;\,\vec{T}_{\text{inf}}\big]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Si le fil inférieur est un fil de torsion identique au fil supérieur il y aurait en plus un couple de torsion identique à celui du fil supérieur à savoir de moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le fil de torsion supérieur orienté par le vecteur unitaire ascendant «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;orientation du fil de torsion&quot;&gt; Vecteur unitaire orienté de l'extrémité mobile vers l'extrémité fixe.&lt;/ref&gt; » définit aussi le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» des angles dans le plan horizontal passant par &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, l'angle de torsion «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; sur le schéma ci-dessus est «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» correspondant à une génératrice de la surface latérale du fil tordue selon une « hélice gauche » &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|28}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le fil se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot;&gt; Plus exactement dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» si l'angle de torsion est «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|34}}{{Transparent|Plus exactement }}dans le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si l'angle de torsion est «&lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le vecteur moment du couple de torsion est alors colinéaire et de même sens que &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont le vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» est colinéaire et « de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt;.
{| class=&quot;wikitable&quot; width=&quot;100%&quot;  
|{{Al|5}}Le vecteur moment du couple de torsion «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché s'explicite partiellement, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, sous la forme &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans lequel «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,&lt;/math&gt; est toujours de signe contraire à l'angle de torsion &lt;math&gt;\,\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
|}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le vecteur moment du couple de torsion «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» que le fil de torsion supérieur exerce sur le solide auquel il est accroché n'est pas représenté par un vecteur colinéaire et de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,&lt;/math&gt; pour éviter la confusion avec une force, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on représente le couple de torsion par le sens de rotation dont il serait la cause s'il agissait seul en indiquant à côté de cette flèche incurvée le nom du vecteur moment du couple  «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir}} sur le schéma ci-dessus, la flèche incurvée étant positionnée autour de &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, point d'attache du fil au solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : Le fil de torsion supérieur exerce aussi sur le solide une force de tension «&lt;math&gt;\;\vec{T}_{\text{sup}}\;&lt;/math&gt;» dont le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; étant nul n'a aucune influence sur une éventuelle rotation du solide dans le plan horizontal.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : Si le fil sans torsion inférieur est remplacé par un fil de torsion fixé à son extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; et tel que les deux fils de torsion soient simultanément non tordus quand «&lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt;», l'angle de torsion «&lt;math&gt;\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; sur le schéma ci-dessus étant «&lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» correspond à une génératrice de la surface latérale du fil de torsion inférieur tordue selon une « hélice droite » &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant le symétrique par rapport au plan horizontal passant par &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le fil inférieur se détordant par une action modélisée par un couple de torsion agissant sur le solide dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt; dont le vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;» est colinéaire et « de sens contraire à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;condition du sens moins&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c'est en fait le même couple de torsion donc le même vecteur moment soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}\,&lt;/math&gt; tous deux notés &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil en fonction de l'angle de torsion « α(t) », notion de constante de torsion « C » du fil de torsion ===

{{Al|5}}Expérimentalement on constate, en restant dans le domaine des torsions modérées, que «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l'angle de torsion &lt;math&gt;\,\alpha(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; », le « cœfficient de proportionnalité étant &lt;math&gt;\,&lt; 0\;&lt;/math&gt;», « de valeur absolue notée &lt;math&gt;\,C &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et appelée « &lt;u&gt;constante de torsion du fil&lt;/u&gt; » soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t)\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma}_{\text{tors}}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» s’exprimant en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot rad^{-1}\;&lt;/math&gt;» ou simplement en «&lt;math&gt;\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;rad unité non physique&quot;&gt; On rappelle que le «&lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt;» n'étant pas une unité physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une unité résultant du choix de conventions qui auraient pu être autres&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais une unité mathématique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une unité résultant de la définition même de la grandeur à mesurer, donc intangible&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; il est inutile de la rappeler au sein d'une unité construite à partir d'unités physiques et mathématiques &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Complément, « dépendance » de la constante de torsion d’un fil de torsion ===

{{Al|5}}En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» d'un fil cylindrique de longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», de diamètre «&lt;math&gt;\;d\;&lt;/math&gt;» et de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] ou [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] &lt;ref name=&quot;Coulomb&quot;&gt; '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;module de cisaillement&quot;&gt; Ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]].&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot;&gt; Le [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] est une caractéristique propre à chaque matériau, dans le cas d'un matériau isotrope il se calcule par «&lt;math&gt;\;G = \dfrac{E}{2 \left( 1 + \nu \right)}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;E\,&lt;/math&gt; [[w:Module_d'Young|module de Young]] du matériau &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou [[w:Module_d'Young|module d’élasticité longitudinale]] ou encore [[w:Module_d'Young|module de traction]]&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\nu\;&lt;/math&gt; [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le [[w:Module_d'Young|module de Young]] d'un matériau est défini par «&lt;math&gt;\;E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{F}{S}\,&lt;/math&gt; est la contrainte imposée en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,F\,&lt;/math&gt; étant la force agissant perpendiculairement à la surface d'aire &lt;math&gt;\,S\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\varepsilon = \dfrac{\Delta \mathit{l}}{\mathit{l}}\,&lt;/math&gt; l'allongement relatif sans unité », le [[w:Module_d'Young|module de Young]] &lt;math&gt;\,E\,&lt;/math&gt; s'exprime donc en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt; ; quelques exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,E_{\text{acier}} = 210\;GPa = 2,1\;Mbar&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,E_{W} = 357\;GPa = 3,57\;Mbar\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,E_{\text{caoutchouc}} = 1,5\;GPa = 15\;kbar&lt;/math&gt; ; 
{{Al|3}}le [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] d’un matériau est défini par «&lt;math&gt;\;\nu = \dfrac{\text{contraction transversale unitaire}}{\text{allongement axial unitaire}} = \dfrac{\dfrac{d_0 - d}{d_0}}{\dfrac{\mathit{l} - \mathit{l}_0}{\mathit{l}_0}}\;&lt;/math&gt;» de valeur toujours «&lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0,5\;&lt;/math&gt;» et souvent «&lt;math&gt;\;\simeq 0,3\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;remarque : on a pu fabriquer des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «&lt;math&gt;\;\simeq 0\;&lt;/math&gt;» correspondant à l'absence de contraction transversale accompagnant un allongement axial, et même des matériaux de [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] «&lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les}} matériaux étant alors qualifiés d'« [[w:Auxétisme|auxétiques]] », la limite inférieure des [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficients de Poisson]] de tels matériaux étant de nos jours «&lt;math&gt;\;-1\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; correspondant à une dilatation transversale accompagnant un allongement axial &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;étonnant non !&lt;math&gt;\big)\big\}&lt;/math&gt; ; quelques exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,\nu_{\text{acier}} = 0,30&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,\nu_{W} = 0,19\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,\nu_{\text{caoutchouc}} = 0,50&lt;/math&gt; ;
{{Al|3}}des valeurs du [[w:Module_d'Young|module de Young]] &lt;math&gt;\,E\,&lt;/math&gt; et du [[w:Cœfficient_de_Poisson#Définition|cœfficient de Poisson]] &lt;math&gt;\,\nu\,&lt;/math&gt; des trois exemples précédemment choisis on en déduit celles du [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] pour ces exemples :
* l'acier &lt;math&gt;\,G_{\text{acier}} = \dfrac{E_{\text{acier}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{acier}} \right)} = \dfrac{210\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,30 \right)} \simeq 81\;GPa&lt;/math&gt;,
* le tungstène &lt;math&gt;\,G_{W} = \dfrac{E_{W}}{2 \left( 1 + \nu_{W} \right)} = \dfrac{357\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,19 \right)} \simeq 150\;GPa&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à l'un des plus grands [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et
* le caoutchouc &lt;math&gt;\,G_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{E_{\text{caoutchouc}}}{2 \left( 1 + \nu_{\text{caoutchouc}} \right)} = \dfrac{1,5\;GPa}{2 \times \left( 1 + 0,50 \right)} \simeq 0,5\;GPa&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à l'un des plus faibles [[w:Module_de_cisaillement|modules de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;
{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' est un physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module de Young]] en sciences des matériaux et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes de Young]] en optique ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Siméon_Denis_Poisson|Siméon Denis Poisson]] (1781 - 1840)''' est un mathématicien, géomètre et physicien français : son œuvre est immense touchant beaucoup de branches des mathématiques et de la physique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;dans ce domaine, contribution essentielle concernant l'électricité et le magnétisme&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|18}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C}\;&lt;/math&gt;» d'un fil cylindrique de longueur «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathit{l}}\;&lt;/math&gt;», de diamètre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{d}\;&lt;/math&gt;» et de module d'élasticité transversale ou module de Coulomb }}s’exprimant en «&lt;math&gt;\;N \cdot m^{-2} = Pa\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|En théorie la constante de torsion «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C}\;&lt;/math&gt;» }}se calcule par «&lt;math&gt;\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemples&lt;/u&gt; : considérons un fil cylindrique, homogène, constitué de matière différente mais de même longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,0\;m\;&lt;/math&gt; et de même diamètre &lt;math&gt;\;d = 0,20\;mm&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}la valeur de la constante de torsion du fil suivant la nature du matériau le composant est : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier «&lt;math&gt;\;C_{\text{acier}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{acier}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 81\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{\text{acier}} \simeq 2,0\;10^{-4}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin sensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» nécessite un couple de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en acier &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}moment «&lt;math&gt;\;2,0\;10^{-5}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt; relativement faible &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une grande sensibilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais assez grand pour ne pas être considéré comme nul »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène «&lt;math&gt;\;C_{W} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{W} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 150\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{W} \simeq 3,8\;10^{-4}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin un peu moins sensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}nécessite un couple de moment «&lt;math&gt;\;3,8\;10^{-5}\;N \cdot m\,&lt;/math&gt; approximativement deux fois plus grand que le précédent &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une sensibilité &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en tungstène &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}approximativement deux fois plus faible que le précédent&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc «&lt;math&gt;\;C_{\text{caoutchouc}} = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G_{\text{caoutchouc}} \simeq \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,20\;10^{-3} \right)^4}{1,0} \times 0,5\;10^9\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt; soit «&lt;math&gt;\;C_{\text{caoutchouc}} \simeq 1,3\;10^{-6}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc }}&lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;valeur correspondant à un fil fin quasi insensible à la torsion car un angle de torsion &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; de valeur absolue «&lt;math&gt;\;0,1\;rad \simeq 6\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» nécessite &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemples : considérons un fil cylindrique, &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;pour un fil en caoutchouc &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un couple de moment «&lt;math&gt;\;1,3\;10^{-7}\;N \cdot m\,&lt;/math&gt; quasi nul &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;d'où une très faible sensibilité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le fil peut être considéré sans torsion »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Présentation du pendule de torsion (non amorti) ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|400px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}Ci-contre un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» avec positionnement de deux masselottes apparemment identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » plus haut dans le chapitre, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}seule l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur est fixe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;position servant de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement seule }}l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «&lt;math&gt;\;2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement le solide }}adopte, après quelques oscillations, une position d’équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement }}en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt; de «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » plus haut dans le chapitre car «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;» est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en serait de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur du schéma du paragraphe précité&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion supérieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;/&gt; de «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil - bis&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur }}exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}}&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, le fil de torsion inférieur exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments }}vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|contrairement en effet, la somme des vecteurs moments vérifiant }}le solide est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) ==

=== Moment d’inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe des fils de torsion ===

{{Al|5}}La tige étant homogène, de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{tige}}\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{tige}}&lt;/math&gt;, le moment d’inertie par rapport à un axe médiatrice &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de celle-ci s’écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_linéique_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}chaque masselotte étant un cylindre homogène, de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{masselotte}}&lt;/math&gt;, de rayon &lt;math&gt;\,R_{\text{masselotte}}\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{masselotte}}&lt;/math&gt;, le moment d’inertie de chacune d'elle par rapport à un axe &lt;math&gt;\,\Delta_G\; \parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, passant par le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de la masselotte considérée et &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de révolution de cette dernière &lt;ref name=&quot;axe de révolution de la masselotte&quot;&gt; L'axe de la révolution de la masselotte cylindrique étant matérialisé par la tige du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]].&lt;/ref&gt; s’écrit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{4}\;m_{\text{masselotte}}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;m_{\text{masselotte}}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Exemples_de_solides_homogènes_modélisés_par_un_milieu_continu_d'expansion_tridimensionnelle_finie|exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;on rappelle que cette connaissance est hors programme de physique de P.C.S.I., elle devrait donc être fournie &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou au moins la méthode pour la trouver devrait l'être&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; de chaque masselotte étant situé de part et d’autre de &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; à la distance &lt;math&gt;\,x&lt;/math&gt;, le moment d’inertie de chaque masselotte par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; se détermine par utilisation du « théorème de Huygens » &lt;ref name=&quot;théorème de Huygens&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_«_théorème_de_Huygens_»|complément : théorème de Huygens]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' ou '''[[w:Christian_Huygens|Huyghens]]''' est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \text{masselotte} \right) + m_{\text{masselotte}}\;x^2\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}finalement le moment d'inertie autour d'un même axe étant une grandeur additive &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Ceci signifiant que le moment d'inertie d'un ensemble &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;disjoint&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de solides autour d'un même axe est la somme des moments d'inertie de chaque solide autour de cet axe.&lt;/ref&gt; on en déduit l'expression du moment d'inertie du solide « tige + masselottes » relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des fils de torsion soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2} + 2\;m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;».

=== Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti) ===

{{Al|5}}Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masselottes » égale à &lt;math&gt;\,\theta_0 &gt; \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;précision sur la C.I.&quot;&gt; Nous supposerons que &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1\,&lt;/math&gt; de façon à ce que le fil de torsion supérieur reste tordu initialement dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre, ceci ayant pour conséquence que ce fil est toujours tordu dans le même sens quel que soit &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons }}si &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1&lt;/math&gt;, le fil de torsion supérieur serait tordu initialement dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre, le sens de torsion de ce fil s'inversant une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; fois à l'instant &lt;math&gt;\,t_{\text{inv. tors. sup., 1}}\,&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 1}}) = 2\;\theta_1\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,\searrow&lt;/math&gt;, instant à partir duquel ce fil resterait tordu dans le même sens que celui qu'il prend à l'équilibre jusqu'à l'instant &lt;math&gt;\,t_{\text{inv. tors. sup., 2}}\,&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\,\theta(t_{\text{inv. tors. sup., 2}}) = 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; à partir duquel ce fil serait de nouveau tordu dans le sens contraire de celui qu'il prend à l'équilibre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Nous supposerons si &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_0}\,&lt;/math&gt; était &lt;math&gt;\,\color{transparent}{&gt;}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{2\;\theta_1}&lt;/math&gt;, }} nous ne présentons pas d'exposé dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; hypothèse, le résultat de l'équation différentielle obtenu restant le même dans la mesure où la notion de torsion d'un fil est algébrique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui est bien ce que nous avons considéré&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion }}où &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide &lt;ref name=&quot;justification de la position d'équilibre&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;toutes ces abscisses angulaires étant repérées par rapport à la &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion où &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta_1}\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire d'équilibre du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;}}position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par son abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant le solide « tige + masselottes » à l’instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; par son abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure }}torsion inférieur&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot;&gt; Voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide « tige + masses » &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil supérieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 2\;\theta_1}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, un couple de torsion de moment }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide « tige + masses » &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle repérant &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'angle de torsion du fil inférieur étant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{=}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) - 0 = \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, un couple de torsion de moment }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, compte-tenu du fait que « les autres actions &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle }}extérieures appliquées au solide sont toutes de moment scalaire nulles » &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot;&gt; C.-à-d. le poids de la tige appliqué en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, celui de chaque masselotte lequel est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion&quot;&gt; Initialement quand «&lt;math&gt;\;\theta_1 &lt; \theta_0 &lt; 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur étant à cet instant «&lt;math&gt;\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;- C\;\theta_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;»}} de valeur absolue &lt;math&gt;\,C\;\theta_0\,&lt;/math&gt; plus grande que le précédent car &lt;math&gt;\,C\;\theta_0 - \left\lbrace - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] \right\rbrace = 2\;C \left[ \theta_0 - \theta_1 \right] &gt; 0\,&lt;/math&gt; on en déduit une rotation initiale dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si initialement on imposait «&lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», le moment scalaire du couple de torsion du fil supérieur aurait été à cet instant «&lt;math&gt;\;- C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] &lt; 0\;&lt;/math&gt;» et celui du couple de torsion du fil inférieur au même instant «&lt;math&gt;\;- C\;\theta_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», la valeur absolue du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,C\;\theta_0\,&lt;/math&gt; étant plus grande que celle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\,C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]\,&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\,C\;\theta_0 - C \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right] = 2\;C\;\theta_1 &gt; 0&lt;/math&gt;, on en déduirait encore une rotation initiale dans le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}nous voyons que le sens de rotation initiale est indépendant du placement de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\,2\;\theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;en fait il ne dépend que du placement de &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; et comme &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,&gt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; le sens initial de rotation est le sens «&lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt;», il serait le sens «&lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt;» si on choisissait &lt;math&gt;\,\theta_0 &lt;\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\theta_1\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Il s'agit de déterminer l'équation différentielle l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot;&gt; Abscisse angulaire repérée par rapport à la position de l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur laquelle est aussi celle de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil inférieur sans &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou avec&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; torsion.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation de moment scalaire non nul relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation }}est celle du fil supérieur &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot; /&gt;, l'angle de torsion de ce dernier étant à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, la seule action de rotation est celle du fil supérieur, }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation de moment scalaire non nul relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation }}sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures&quot; /&gt;, l'angle de torsion du fil supérieur ou inférieur étant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, l'angle de torsion du fil }}«&lt;math&gt;\;\alpha(t) - 0 = \alpha(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de l'angle de torsion&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, les actions de rotation sont celle du fil supérieur et celle du fil inférieur, }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\;\alpha(t)\;&lt;/math&gt;» à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + masselottes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore «&lt;math&gt;\;-2\;C\;\alpha(t) = J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt;» et finalement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, l'application du }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;».

== Pendule de torsion (non amorti) : oscillateur harmonique non amorti de rotation ==

&lt;center&gt;Ce paragraphe est traité avec le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] décrit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/center&gt;
=== Forme normalisée de l'équation différentielle en « θ(t) » du pendule de torsion (non amorti) ===

{{Al|5}}Nous avons établi prédéemment l'équation différentielle du mouvement du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Nous avons établi prédéemment }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant les deux membres par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; déterminée précédemment «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|Mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; déterminée précédemment «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\;\ddot{\alpha}(t) + 2\;C\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;mise en équation du mouvement du pendule de torsion non amorti - bis&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}nous en déduisons sa forme normalisée en divisant par &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; soit &gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;».

=== Conséquence « le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation » ===

{{Al|5}}L'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}étant une &lt;u&gt;équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants positifs du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;/u&gt; à excitation constante &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}est effectivement celle d'un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique non amorti&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_{\text{libre}}(t) + \theta_{\text{forcée}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre à excitation constante]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on vérifie que &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; est la solution forcée &lt;math&gt;\,\theta_{\text{forcée}}\,&lt;/math&gt; de l'équation différentielle hétérogène &lt;ref name=&quot;forme de solution d'un oscillateur harmonique non amorti&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_1\,&lt;/math&gt; représentant l'abscisse angulaire de la position d’équilibre du solide &lt;ref&gt; Celle autour de laquelle oscille le solide et que l'on obtiendrait au final dans l'hypothèse de frottements.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Mise_en_équation|mise en équation]] (sous forme canonique) » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », &lt;math&gt;\,k\,&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\,2\;C&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\omega_0}\;&lt;/math&gt;» }}la solution libre de l'équation différentielle de ce dernier s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{libre}}(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;solution libre d'un oscillateur harmonique non amorti, autre forme&quot;&gt; La solution libre pourrait encore être écrite selon «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A'\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;» mais ce choix est maladroit quand la vitesse angulaire initiale est nulle.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#But_recherché_pour_résoudre_une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ou_du_deuxième_ordre_hétérogène|but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ou du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène]] (solution générale de l'équation hétérogène) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; se déterminant à l’aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta_1 + A = \theta_0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;A = \theta_0 - \theta_1\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée on en déduit la forme de la solution transitoire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\theta(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,B\;\omega_0 = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;vitesse angulaire&quot;&gt; En effet la vitesse angulaire à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; se calcule selon &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'où «&lt;math&gt;\;B = 0\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec ces C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; « abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\,\theta_0\,&lt;/math&gt; et absence de vitesse angulaire initiale » s'écrit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la loi horaire de position angulaire du pendule de torsion &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot;&gt; La solution transitoire «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( \theta_0 - \theta_1 \right)\; \cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; ne tenant pas compte de l’amortissement réel du pendule nécessiterait d’être « corrigée » &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en effet cette solution transitoire ne peut représenter la réalité car elle correspond à une oscillation autour de la position d’équilibre d'abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\alpha_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; sans que {{Nobr|celle-ci}} ne soit atteinte à demeure au bout d’un temps fini comme c’est nécessairement le cas dans la réalité&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais cette correction n’est pas explicitement indiquée dans le programme de physique de P.C.S.I. ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois nous la voyons en complément au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » plus bas dans ce chapitre, cela ne présentant pas plus de difficulté que la présentation de l'amortissement d'un pendule élastique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}la période propre d’oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «}}&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 \nearrow\,&lt;/math&gt; quand le moment d’inertie du solide « tige + masselottes » &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} \nearrow\,&lt;/math&gt; ce qui est réalisé &lt;br&gt;{{Al|34}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; }}en écartant les masselottes de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,x \nearrow\big)\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; }}quand la constante de torsion des fils &lt;math&gt;\,C \searrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand }}&lt;math&gt;\,\bigg[&lt;/math&gt;comme «&lt;math&gt;\;C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;dépendance de la constante de torison&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Complément,_«_dépendance_»_de_la_constante_de_torsion_d’un_fil_de_torsion|complément : dépendance de la constante de torsion d'un fil de torsion]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot;&gt; Ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;}}matériau composant le fil de torsion &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,d\,&lt;/math&gt; son diamètre et &lt;math&gt;\,\mathit{l}\,&lt;/math&gt; sa longueur, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;C \searrow\;&lt;/math&gt;» quand le diamètre du fil «&lt;math&gt;\;d \searrow\;&lt;/math&gt;» ou quand sa longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} \nearrow\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C \searrow}\;&lt;/math&gt;» }}quand le [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot; /&gt; du matériau composant le fil &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée la période propre d’oscillation du pendule de torsion s'en déduit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{T}_0 \nearrow}\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\bigg[}&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{C \searrow}\;&lt;/math&gt;» quand }}«&lt;math&gt;\;G \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;cas d'un module de Coulomb tendant vers 0&quot;&gt; Ainsi, avec un [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou [[w:Module_de_cisaillement|module de cisaillement]] ou encore [[w:Module_de_cisaillement|module de Coulomb]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du matériau très faible &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple en choisissant du caoutchouc&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; la constante de torsion également très faible entraîne une valeur de la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] très grande &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0 \rightarrow \infty\,&lt;/math&gt; quand &lt;math&gt;\,G \rightarrow 0&lt;/math&gt;, ce cas limite de mouvement de rotation infiniment lent correspond, en pratique, à une absence de mouvement, c.-à-d. à un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] inopérant &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un fil de caoutchouc considéré en pratique comme un fil sans torsion ne peut convenir pour construire un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]&lt;math&gt;\big\}\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'équation différentielle normalisée }}on notera l’&lt;u&gt;isochronisme des oscillations&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;isochronisme d'un oscillateur&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Définition_d'«_isochronisme_»_d'un_oscillateur|définition d'isochronisme d'un oscillateur]] » dans le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, cette propriété étant caractéristique de tout oscillateur harmonique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exemple numérique&lt;/u&gt; : Considérant un fil d'acier de [[w:Module_de_cisaillement|module d'élasticité transversale]] &lt;ref name=&quot;module de Coulomb&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G_{\text{acier}} = 81\;GPa\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;module d'élasticité transversale&quot; /&gt;, de diamètre &lt;math&gt;\,d = 0,50\;mm\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l} = 0,50\;m&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier }}sa constante de torsion &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; est évaluée à &lt;math&gt;\,C = \dfrac{\pi}{2}\;\dfrac{d^4}{\mathit{l}}\;G = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{\left( 0,50\;10^{-3} \right)^4}{0,50} \times 81\;10^9\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;C \simeq 1,59\;10^{-2}\;N \cdot m\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant }}un solide constitué d'une tige de masse &lt;math&gt;\,m_{\text{tige}} = 100\;g&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{tige}} = 30\;cm\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué }}de deux masselottes de masse individuelle &lt;math&gt;\,m_{\text{masselotte}} = 150\;g&lt;/math&gt;, de rayon &lt;math&gt;\,R_{\text{masselotte}} = 2,0\;cm\,&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\,\mathit{l}_{\text{masselotte}} = 3,0\;cm&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide constitué de deux masselottes }}positionnées symétriquement, de part et d'autre de &lt;math&gt;\,\Delta_C&lt;/math&gt;, à la distance &lt;math&gt;\,x = 10\;cm&lt;/math&gt;, d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right)\,&lt;/math&gt; d'après le caractère additif du moment d'inertie &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) = \dfrac{1}{12}\;m_{\text{tige}}\;\mathit{l}_{\text{tige}}^{\,2}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à une médiatrice&quot;/&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{0,10 \times \left( 0,30 \right)^2}{12} = 7,5\;10^{-4}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) = m_{\text{masselotte}} \left( \dfrac{1}{4}\;R_{\text{masselotte}}^{\,2} + \dfrac{1}{12}\;\mathit{l}_{\text{masselotte}}^{\,2} + x^2 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à un axe passant par G et perpendiculaire à son axe de révolution&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de Huygens&quot; /&gt; donnant numériquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) =} &lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,0,15 \times \left[ \dfrac{\left( 2,0\; 10^-2 \right)^2}{4} + \dfrac{\left( 3,0\; 10^-2 \right)^2}{12} + \left( 0,10 \right)^2 \right] \simeq 15,26\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt; d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide }}le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; est évalué selon &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) + 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{masselotte} \right) \simeq 7,5\;10^{-4} + 2 \times 15,26\;10^{-3}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un solide le moment d'inertie du solide &lt;math&gt;\,\color{transparent}{J_{\Delta_C}}\,&lt;/math&gt; est évalué selon }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C} \simeq 3,8\;10^{-3}\;kg \cdot m^2\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier }}la période propre d'oscillation du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]], lorsque les masselottes sont fixées sur la tige, est &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\,&lt;/math&gt; soit numériquement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}&lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{3,8\;10^{-3}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 2,17\;s\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Exemple numérique : Considérant un fil d'acier la période propre d'oscillation du pendule de torsion, }}en absence de masselottes &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}{2\;C}} \simeq 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{7,4\;10^{-4}}{2 \times 1,59\;10^{-2}}} \simeq 0,96\;s&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Dans l'hypothèse d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] relié à un fil de torsion supérieur et un fil sans torsion inférieur comme décrit dans le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}[[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|rotation exercées par le fil]] » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement, une abscisse angulaire initiale du solide « tige + masses » égale à &lt;math&gt;\,\alpha_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage angulaire par rapport à la position de l'extrémité supérieure du fil de torsion supérieur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse rotation exercées par le fil » plus haut dans ce chapitre avec, comme C.I. de lancement, }}un lâcher du solide « tige + masselottes » sans vitesse angulaire initiale, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est sans torsion, l'équation différentielle normalisée en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}on en déduit la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot; /&gt; puis la période propre d'oscillation «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{C}}\;&lt;/math&gt;», suivi de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, on en déduit }}la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\alpha(t) = A\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right)\,&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; se détermine par &lt;math&gt;\,\alpha(0) = \alpha_0\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,A = \alpha_0\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|25}}avec &lt;math&gt;\,\dot{\alpha}(t) = -A\;\omega_0\;\sin\! \left( \omega_0\;t \right) + B\;\omega_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\,&lt;/math&gt; {{Al|7}}&lt;math&gt;\,\color{transparent}{B}\,&lt;/math&gt;{{Transparent| se détermine }}par &lt;math&gt;\,\dot{\alpha}(0) = 0\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,B\;\omega_0 = 0\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,B = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}&lt;math&gt;\big(\!&lt;/math&gt;numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation est multipliée par &lt;math&gt;\,\sqrt{2}\,&lt;/math&gt; par rapport à celle déterminée hors remarque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(\!}&lt;/math&gt;}}soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17 \times \sqrt{2} \simeq 3,07\;s\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96 \times \sqrt{2} \simeq 1,36\;s\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse }}si le fil inférieur est avec torsion, l'équation différentielle normalisée en &lt;math&gt;\,\alpha(t)\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\ddot{\alpha}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}\;\alpha(t) = 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, }}on en déduit la pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;pulsation propre&quot; /&gt; puis la période propre d'oscillation «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;», suivi de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est avec torsion, on en déduit }}la loi horaire d'abscisse angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] «&lt;math&gt;\;\alpha(t) = \alpha_0\;\cos\! \left( \omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de loi horaire d'abscisse angulaire du pendule&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;correction nécessaire de la loi horaire de position&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, }}&lt;math&gt;\big(\!&lt;/math&gt;numériquement, avec le même fil de torsion, la période propre d'oscillation reste la même que celle déterminée hors remarque &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans l'hypothèse si le fil inférieur est sans torsion, &lt;math&gt;\color{transparent}{\big(\!}&lt;/math&gt;}}soit &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige + masselottes}} \simeq 2,17\;s\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_{0,\,\text{tige}} \simeq 0,96\;s\big)&lt;/math&gt;.

== Complément, pendule de torsion amorti ==

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|350px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les fils de torsion supérieur et inférieur &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan de la figure ne peuvent y être représentés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;]]

=== Modification du dispositif pour obtenir un pendule de torsion amorti ===

[[File:Interfaçage d'un pendule de torsion pour enregistrement.png|thumb|350px|left|Vue de dessus décrivant l'interfaçage d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] dans le but d'enregistrer la variation de la tension entre électrode mobile liée à la tige du pendule et l'électrode fixe repérant sa position d'équilibre]]
{{Al|5}}On reprend le dispositif représenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Présentation_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|présentation du pendule de torsion]] » en remplaçant les masselottes par des ailettes en carton &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou autre matériau&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; positionnées perpendiculairement à leur déplacement &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en position verticale parallèlement à la tige les supportant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; voir figure ci-contre à droite en vue de dessus.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut faire un « enregistrement » &lt;ref&gt; Méthode d’enregistrement également utilisable pour un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti.&lt;/ref&gt; par oscilloscope numérique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le balayage devant être très lent de façon ce que la durée de l'enregistrement soit de quelques dizaines de secondes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'aide d’un capteur transformant la position angulaire en tension électrique permanente {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la}} position angulaire &lt;math&gt;\,\theta = \theta_1\,&lt;/math&gt; correspondant à la position d'équilibre du pendule étant transformée en tension nulle&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'interfaçage au niveau du pendule est réalisé par un montage potentiométrique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; :

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;u&gt;Description de l'interfaçage&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; : une cuve contenant une solution conductrice est positionnée sous la tige, deux électrodes fixes aux bornes desquelles on impose une tension permanente engendrée par une alimentation stabilisée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;A.S.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;alimentation stabilisée&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; plongent dans la solution au-dessous des endroits extrêmes que les extrémités de la tige peuvent atteindre lors de toutes les oscillations envisageables de celle-ci &lt;ref name=&quot;limitation du courant délivré par l'A.S.&quot;&gt; Il est nécessaire de limiter le courant délivré par l'A.S. pour éviter l'électrolyse de la solution.&lt;/ref&gt;, une 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode fixe est positionnée sous la position d'équilibre du pendule et une 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode est solidaire de la tige ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Description de l'interfaçage : }}ainsi entre la 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode mobile solidaire du pendule et la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; électrode fixe positionnée en la position d'équilibre du pendule, on prélève une tension &lt;math&gt;\,\propto\,&lt;/math&gt; à l,angle de rotation du pendule par rapport à sa position d,équilibre soit «&lt;math&gt;\;\theta(t) - \theta_1\;&lt;/math&gt;».
{{clr}}
=== Couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l’intermédiaire des ailettes ===

{{Al|5}}Les ailettes se déplaçant perpendiculairement à leur surface plane dans l'air immobile &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou dans un liquide plus ou moins visqueux &lt;ref&gt; À condition d'ajouter, au-dessus de la cuve électrolytique, un récipient pouvant contenir le liquide et dans lequel les ailettes fixées sur la tige resteront partiellement immergées &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; immobile&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sont chacune soumises à des forces de frottement fluide que nous supposerons linéaires, la vitesse des ailettes dans le référentiel d'étude du mouvement du pendule restant faible &lt;ref name=&quot;condition des faibles vitesses&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] (de translation) » du chap&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l'adaptant aux mouvements de rotation autour d'un axe, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; situé à la distance orthogonale &lt;math&gt;\,r_i\,&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de rotation d'une ailette subissant la force de frottement fluide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}\!\left( M_i \right) = -h\;\vec{V}_{M_i}(t) = -h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_{\theta_i}(t)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,h\,&lt;/math&gt; constante positive &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\,kg \cdot s^{-1}\big)\,&lt;/math&gt; caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide &lt;math&gt;\,\big\{\eta_{\text{flu}} \nearrow\,&lt;/math&gt; de l'air vers la {{Nobr|glycérine&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} ainsi que de la densité de ce dernier &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_i}(t)\,&lt;/math&gt; le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur de base cylindro-polaire lié au point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; d'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; orienté par le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; de la base. 
&lt;br&gt;{{Al|3}}La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\,e\,&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\,z\,&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_i = 0\,&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\,z_s = e &gt; 0\,&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\,z \in \left] 0\,,\, e \right[\,&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{+}\,&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude &lt;math&gt;\,z^{-}\,&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\,Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \Sigma\,&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\,\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{couche}_z}\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\,z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\,Pa \cdot s\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\,Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\,\eta_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\,\rho_{\text{flu}}\,&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\,\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\rho_{\text{flu}}}\,&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\,m^2 \cdot s^{-1}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\,St\,&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\,1\,St =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la [[w:Géodésie|géodésie]]&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de [[w:Fluorescence|fluorescence]].&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}les ailettes étant disposées symétriquement relativement à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de rotation, chaque point &lt;math&gt;\,M_{i,\,1}\,&lt;/math&gt; de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; ayant un symétrique &lt;math&gt;\,M_{i,\,2}\,&lt;/math&gt; de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; de vecteurs vitesse opposés, on en déduit que ces deux points subissent des forces de frottement fluide opposées correspondant à un couple de forces &lt;ref name=&quot;couple&quot;&gt; Un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant ne l'est pas constitue un couple de forces &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définition d'un torseur couple]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'ensemble des deux ailettes subit l'action d'un couple de frottement fluide linéaire &lt;ref name=&quot;somme de couple&quot;&gt; En effet la somme de deux couples est un couple dans la mesure où les moments des couples ne sont pas opposés &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui est le cas ici&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, résultat qu'on peut aisément généraliser à un nombre fini de couples &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Somme_de_deux_couples|somme de deux couples]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est la somme des moments scalaires de chaque couple de forces de frottement s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; le nombre de points matériels de l'ailette &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\big]\,&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\; \left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification du moment scalaire d'un couple de deux forces&quot;&gt; Les deux forces de frottement fluide &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\,&lt;/math&gt; opposées tendent à faire tourner le couple &lt;math&gt;\,\left\lbrace M_{i,\,1}\,,\,M_{i,\,2} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; dans le même sens ;&lt;br&gt;{{Al|3}}notant &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\vec{u}_{\theta_{(1)}}\\ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;\vec{u}_{\theta_{(2)}}\end{array}\right\rbrace&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = - \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\\ \vec{u}_{\theta_{(2)}} = -\vec{u}_{\theta_{(1)}}\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; valeur commune qui est &lt;math&gt;\,&lt; 0\,&lt;/math&gt; si le mouvement à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; se fait dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,&gt; 0\,&lt;/math&gt; s'il se fait dans le sens &lt;math&gt;\,-&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le bras de levier de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\,&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right)\,&lt;/math&gt; et celui de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right)\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) = \dfrac{\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)}{2}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_C}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2}) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,1} \right) + \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,2})\;d \left( \Delta_C\,,\,M_{i,\,2} \right) = \overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1})\;\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, avec &lt;math&gt;\,\left( M_{i,\,1}M_{i,\,2} \right) = 2\;r_i&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(r_i\,&lt;/math&gt; étant la distance orthogonale commune de &lt;math&gt;\,M_{i,\,1}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,M_{i,\,2}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M_{i,\,1}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_i\;\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace -h\;r_i\;\dot{\theta}(t) \left( 2\;r_i \right) \right\rbrace = - \left\lbrace 2\;h \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} r_i^2 \right] \right\rbrace \;\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}un couple de frottement fluide linéaire s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; s'écrivant selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;H\;&lt;/math&gt; une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|50}}dépendant de la nature du matériau des ailettes, &lt;br&gt;{{Al|70}}{{Transparent|dépendant }}de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et &lt;br&gt;{{Al|51}}{{Transparent|dépendant }}du fluide sur lequel frottent les ailettes.&lt;/center&gt;
=== Mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti ===

{{Al|5}}L'application du théorème du moment cinétique scalaire au solide « tige + ailettes » par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}compte-tenu du fait que « les seules actions extérieures appliquées au solide de moment scalaire non nul sont celles des couples de torsion des fils &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que « }}supérieur et inférieur et du couple de frottement fluide linéaire dont les moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; sont &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que « }}respectivement &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence paramètres&quot;&gt; Les paramètres étant définis au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire compte-tenu du fait que }}« les autres actions extérieures appliquées au solide étant toutes de moment scalaire nulles » &lt;ref name=&quot;justification de la nullité des moments scalaires des autres actions extérieures - bis&quot;&gt; C.-à-d. le poids de la tige appliqué en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt;, celui de chaque ailette lequel est &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et les tensions des fils supérieur et inférieur également appliquées en &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}nous conduit à «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C} + \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot; /&gt; soit encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire nous conduit à }}«&lt;math&gt;\;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» à résoudre avec les mêmes C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; que celles du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire nous conduit à }}paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » plus haut dans ce chapitre &lt;ref name=&quot;comparaison des moments scalaires initiaux des couples de torsion&quot; /&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}en ordonnant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», soit enfin, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}en normalisant, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L'application du théorème du moment cinétique scalaire }}c.-à-d. l'équation différentielle d'un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique amorti&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;oscillateur harmonique amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : si les ailettes utilisées sont en carton, la masse de chacune d'elles restant faible par exemple &lt;math&gt;\,m_{\text{ailette}} \simeq 1,0\;g&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, }}on peut assimiler le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à l’axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; avec le moment d'inertie de la tige par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, on peut assimiler }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right) = J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right) \cancel{+\; 2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{ailette} \right)} \simeq J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : si les ailettes utilisées sont en carton, }}l'équation différentielle normalisée du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti se réécrit «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Réduction canonique&lt;/u&gt; : la réduction canonique de ce [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti nous conduit à définir &lt;ref name=&quot;réduction canonique d'un oscillateur harmonique amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Analogie_électromécanique_entre_le_P.E.V.A._lâché,_sans_vitesse_initiale,_de_la_position_de_repos_du_ressort,_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_et_le_dipôle_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension,_le_condensateur_étant_initialement_déchargé_et_la_bobine_(parfaite)_initialement_traversée_par_aucun_courant|analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la constante de raideur &lt;math&gt;\,k\,&lt;/math&gt; du ressort devant être remplacée par la constante de torsion des deux fils &lt;math&gt;\,2\;C&lt;/math&gt;, la masse &lt;math&gt;\,m\,&lt;/math&gt; du solide relié au ressort remplacée par le moment d'inertie &lt;math&gt;\,J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\,&lt;/math&gt; de la tige par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; et l'allongement total du ressort &lt;math&gt;\,x'\,&lt;/math&gt; par l'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; de la tige.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la pulsation propre du pendule «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\bigg\{&lt;/math&gt;dont on déduit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0 = \dfrac{2\;C}{\omega_0}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le cœfficient d'amortissement du pendule «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0} = \dfrac{H\;\omega_0}{4\;C} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}le facteur de qualité du pendule «&lt;math&gt;\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma} = \dfrac{J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;\omega_0}{H} = \dfrac{2\;C}{H\;\omega_0} = \dfrac{\sqrt{2\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} \right)\;C}}{H}\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : }}la réécriture de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti sous forme canonique «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Réduction canonique : la réécriture de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti sous forme canonique }}«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\theta}(t) + \omega_0^2\;\theta(t) = \omega_0^2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution de l'équation différentielle&lt;/u&gt; : celle-ci étant linéaire à cœfficients réels constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre à excitation constante, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}sa solution générale est la somme de la solution forcée et de la solution libre soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\theta_{\mathit{f}} + \theta_{\mathit{l}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution transitoire d'un oscillateur harmonique non amorti à excitation&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la solution forcée est la même que celle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti à savoir «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{f}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;solution forcée d'un oscillateur harmonique amorti à excitation constante&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Solution_forcée_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_hétérogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x),_dans_le_cas_d'une_excitation_constante|solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre hétérogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;la solution libre nécessite de résoudre l'équation caractéristique «&lt;math&gt;\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équation caractéristique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Recherche_de_la_solution_générale_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)|recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre homogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x)]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}cette résolution dépendant de la discussion suivante selon la valeur de &lt;math&gt;\,\sigma\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;résolution de l'équation caractéristique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_de_l'équation_caractéristique_de_l'équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_second_ordre_homogène_avec_terme_du_premier_ordre_en_f(x)_et_forme_de_la_solution_libre_réelle_de_cette_équation_différentielle|résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre homogène avec terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &lt; 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre pseudo-périodique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)|σ &lt; 1 (faible amortissement)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;pseudo-périodique&lt;/u&gt; de « pseudo-pulsation &lt;math&gt;\,\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;» correspondant à une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}« pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T} = \dfrac{2\;\pi}{\omega} = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,&gt; \mathcal{T}_0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Bigg[\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}étant la période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti&lt;math&gt;\Bigg]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big(\!&lt;/math&gt;la pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T}\,&lt;/math&gt; s'écartant d’autant plus de la &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}période propre &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0\,&lt;/math&gt; que le cœfficient d’amortissement &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; se rapproche de &lt;math&gt;\,1\big)&lt;/math&gt;, la forme de la solution libre étant &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varphi\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma = 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre apériodique critique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)|σ = 1 (amortissement critique)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;apériodique critique&lt;/u&gt; de forme «&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}\;&lt;/math&gt; la solution libre est apériodique critique de forme «}}&lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &gt; 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;solution libre apériodique&quot;&gt; Voir le paragraphe « solution libre de la réponse en tension u&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;(t) aux bornes du condensateur d'un R L C série dans le cas [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)|σ &gt; 1 (fort amortissement)]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la tension &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; devant être remplacée par l'élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; la solution libre est &lt;u&gt;apériodique&lt;/u&gt; de forme &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}\;&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\theta_{\mathit{l}}(t) = A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : sa solution générale est la somme &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}\;&lt;/math&gt; la solution libre est apériodique de forme «}}&lt;math&gt;\,A_{+}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A_{-}\,&lt;/math&gt; étant deux constantes réelles arbitraires ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : }}la solution transitoire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti prend donc, suivant le type de régime libre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de &lt;math&gt;\,\sigma\big)&lt;/math&gt;, la forme suivante : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &lt; 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime pseudo-périodique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A\,\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\cos\! \left( \omega\;t + \varphi \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\varphi\,&lt;/math&gt; se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime pseudo-périodique traduisant un &lt;u&gt;amortissement&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;exponentiel de la pseudo-amplitude des pseudo-oscillations autour de la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;amortissement exponentiel&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;de constante de temps&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\tau_{\text{amortis}} = \dfrac{1}{\sigma\;\omega_0} = \dfrac{2\;J_{\Delta_C}}{H}&lt;/math&gt;, la pseudo-période &lt;math&gt;\,\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}}\,&lt;/math&gt; des pseudo-oscillations &lt;math&gt;\Bigg[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{T}_0 =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_C\!\left( \text{tige} \right)}}{2\;C}}\,&lt;/math&gt; période propre du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] non amorti&lt;math&gt;\Bigg]\,&lt;/math&gt; étant d'autant plus grande que &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; est proche de sa valeur &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &lt; 1}&lt;/math&gt; }}critique &lt;math&gt;\,\sigma_c = 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\Big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\lim\limits_{\sigma\,\rightarrow\,1} \mathcal{T} = +\infty\Big)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma = 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime apériodique critique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + \left( A + B\;t \right)\,\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,B\,&lt;/math&gt; se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}&lt;/math&gt; }}la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique critique traduisant un &lt;u&gt;un retour direct&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma = 1}&lt;/math&gt; }}&lt;u&gt;à la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;retour direct dans la mesure où la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse est &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire }}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\sigma &gt; 1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;régime apériodique&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta(t) = \theta_1 + A_{+}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] + A_{-}\,\exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right]\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,A_{+}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,A_{-}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}se déterminant à l'aide des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, la loi horaire de position angulaire du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti dans son régime apériodique &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}traduisant un &lt;u&gt;un retour direct à la valeur d'équilibre&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\,\theta_{\text{éq}} = \theta_1&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;retour direct si la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse est &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\big]&lt;/math&gt;, ce retour &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Résolution de l'équation différentielle : la solution transitoire &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\sigma &gt; 1}&lt;/math&gt; }}se faisant plus lentement que lors d'un retour apériodique critique et ceci d'autant plus lentement que &lt;math&gt;\,\sigma\,&lt;/math&gt; est grand.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Diagrammes temporelles de position angulaire&lt;/u&gt; : ceux-ci sont de même allure que ceux déjà présentés au paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur]] &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}[[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Relevé_expérimental_de_l'évolution_temporelle_de_la_tension_aux_bornes_du_condensateur_avec_observation_de_sa_continuité_en_t_=_0|(d'un R L C série) avec observation de sa continuité en t = 0]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] » &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : }}à condition de remplacer &lt;math&gt;\,u_C(t)\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(t)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : à condition de remplacer }}&lt;math&gt;\,u_C(0^{-}) = 0\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(0^{-}) = \theta_0 &gt; \theta_1\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Diagrammes temporelles de position angulaire : à condition de remplacer }}&lt;math&gt;\,u_C(\infty) = E = 1\;V\,&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\,\theta(\infty) = \theta_1&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
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    <title>Spécialité Mathématiques en première générale (France)</title>
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{{Cours
  | idfaculté          =  mathématiques
  | département = [[Département:Analyse|Analyse]]&lt;br/&gt;[[Département:Algèbre|Algèbre]]&lt;br/&gt;[[Département:Géométrie|Géométrie]]&lt;br/&gt;[[Département:Statistique et probabilités|Statistique et probabilités]]
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    <title>Recherche:Atelier du Vivant</title>
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=== L'Atelier (du) Vivant est une activité de l'UMR [[LISIS]] animé par Lidia Chavinskaia, Julie Labatut, François Charrier. ===

==== Travaux en cours ====

* [[Recherche:Atelier du Vivant/Cartographie|Cartographie]]
* Ecriture collective de l'article &quot;Le vivant social et biologique : des concepts-frontières comme outils pratiques de l’interdisciplinarité entre les SHS et les sciences biologiques&quot; (titre de travail)

== Argumentaire ==
Il paraît dorénavant évident que le rapport au vivant au sein de notre société change et ce changement s’accélère et devient perceptible à plusieurs niveaux : social, politique, économique, scientifique, etc. De nombreux mouvements sociaux en faveur de la protection des espèces animales et végétales, revendiquent le changement de leur statut et de leurs droits dans la société. Les questions de protection de l’environnement et du droit des animaux intègrent activement les agendas politiques aussi bien localement qu’à l’international. Les entreprises, et en particulier des filières agro-alimentaires, se voient obligées d’adapter leurs stratégies aux nouvelles exigences sociétales vis-à-vis du traitement des animaux et des plantes. La gestion des risques sanitaires oblige à élargir leur cadrage en tenant compte de la transversalité et de la dynamique des vecteurs des maladies (concept « one health »). Les disciplines '''biologiques''' revoient leurs questions de recherche, leurs méthodes, leurs résultats.

La façon de voir, de penser et d’étudier les organismes vivants dans le périmètre propre de leurs corps laisse de plus en plus la place à l’approche interactionniste et relationnelle du vivant (cf., par exemple, Heams 2019). Le déterminisme génétique comme idéal du vivant prédictible s’assouplie avec les connaissances sur les mécanismes épigénétiques et laisse sa place à l’effet de l’environnement dans le sens très large du terme comme co-déterminant (rappelons-nous ici Lamarck) mais peu prédictible et peu saisissable avec les outils scientifiques développés jusqu’au là. Le vivant est décrit comme « anarchique » notamment dans les travaux du biologiste Jean-Jacques Kupiec (2017, 2019) qui questionne les outils et les méthodes de la biologie moderne. 

Dans les '''SHS''', le dépassement épistémologique des frontières de la société humaine est relativement récent. 

'''Animal studies''' (Kalof 2017) et plus récentes '''Plant studies''' (Woodward &amp; Lemmer 2019), champs d’études interdisciplinaires, explorent la relation respectivement homme-animal et homme-plante dans l’histoire et au travers des différentes pratiques sociétales. On y adopte une approche critique de l’anthropocentrisme et cherche à montrer « l’agency » des animaux et des plantes en tant qu’êtres sensibles et dotés d’intelligence.  

Dans le champ des « '''management and organization studies''' », on observe également une augmentation significative des travaux s’intéressant au vivant. Ces contributions ont participé à développer une pensée critique au-delà des concepts classiques dans ce champ disciplinaire tels que le développement durable ou la responsabilité sociale et environnementale des entreprises. Depuis les travaux sur les animaux de compagnie dans le Journal of Business Research en 2008, de nombreux numéros spéciaux et articles ont été produits, notamment dans les revues Organization et Organization Studies, autour du changement climatique, de l’Anthropocène, des animal studies, appelant cette communauté à adopter une « Earth-centered perspective » et à s’engager dans de nouvelles réflexions épistémologiques, ontologiques et méthodologiques autour du vivant. 

Si les '''STS''' '''(Science and Technology Studies)''' étaient précurseurs dans la prise en compte rationnelle des éléments non-humains dans les sciences humaines et sociales, le vivant (bios) en tant qu’actant à part entière dans les systèmes sociotechniques a eu relativement peu d’attention jusqu’à présent. Lorsque Bruno Latour (1988) écrit que Louis Pasteur en découvrant les microorganismes ''« recompose la société différemment'' », il appelle justement à penser notre société différemment, en tenant compte des éléments non-humains et en particulier d’autres organismes vivants. Il nous le rappelle et en 2020 à l’occasion de la pandémie : ''«… la définition classique de la société – les humains entre eux – n’a aucun sens. […] Une fois pris en compte tout le réseau dont il n’est qu’un maillon, le même virus n’agit pas de la même façon à Taïwan, Singapour, New York ou Paris.»''

Des cadres théoriques et la méthodologie analytique des STS sont appliqués aussi bien dans Animal et Plant studies que dans les Management and Organization studies. Mais le vivant en tant qu’objet systémique et systématique d’étude nous semble mériter plus d’attention en lien avec les pratiques scientifiques et technologiques, en particulier à l’heure actuelle où certains paradigmes et régimes de production de connaissances sur la vie sont en train d’évoluer. L’INRAE, organisme de recherche finalisée et appliquée, nous offre un terrain favorable pour observer et analyser ces évolutions en mettant en œuvre les changements épistémologiques nécessaires à ce tournant vers le vivant, notamment l’interdisciplinarité. La transition du paradigme productiviste au paradigme agroécologique où le vivant-objet (outil) laisse plus de place au vivant-sujet (acteur), apporte à la recherche de nouveaux enjeux, questions, méthodes, résultats, ouvertures et organisations (exemples : la génétique, l’expérimentation, transgénèse et biologie de synthèse…). 

Comment, par quel biais cognitif, le vivant se manifeste-t-il à nous? Que produit-il comme changement au sein de la société? Comment s’intègre-t-il dans les systèmes/réseaux/agencements socio(bio)techniques ? Comment cette intégration est vécue par d’autres acteurs ? Comment enfin penser le vivant non seulement dans son ontologie biologique mais aussi sociale ? ... Nos nombreux cas d'étude peuvent probablement éclairer ces questionnements si on les met à réflexion ensemble. 

=== Tentative de définition conceptuelle ===
''Le vivant'' par sa forme grammaticale (participe présent du verbe ''vivre'' transformé en substantif) traduit la volonté de concrétiser la notion trop abstraite de ''vie'' en lui procurant une forme d’agentivité. Ainsi, le vivant définit les manifestations de la vie contextualisées, situées, incarnées dans les pratiques et les imaginaires des acteurs. Mettre cette notion au centre d’un discours/projet signifie (i) d’admettre l’existence dans nos objets d’attention de ce que les biologistes eux-mêmes caractérisent comme complexe, incertain, imprédictible et même portant une certaine forme « d’anarchisme » (Heams 2019, Kupiec 2019, Hamant 2022), (ii) de  questionner les approches mécanistiques, déterministes et de ce point de vue réductionnistes des êtres et des phénomènes étudiés et/ou mis en utilisation et (iii) de tenir compte de leurs dimensions de dynamisme constant, d’incertitude ontologique (Callon 2014), de cyclicité, d’interactivité relationnelle tant biologique que sociale. 

== Bibliographie générale ==
'''&quot;Le Vivant&quot;'''

Boisseau, A., &amp; Tahar, M. (2022). Remettre à l’œuvre les processus du vivant. Repenser le lien de l’histoire humaine avec l’histoire naturelle: lectures croisées de Bergson et Ruyer. ''Rue Descartes'', ''101''(1), 23-39. &lt;nowiki&gt;https://shs.cairn.info/revue-rue-descartes-2022-1?lang=fr&lt;/nowiki&gt;

Fassin, D. (2000). Entre politiques du vivant et politiques de la vie : pour une anthropologie de la santé. ''Anthropologie et Sociétés'', ''24''(1), 95–116. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.7202/015638ar&lt;/nowiki&gt;

Hamant, O. (2022). ''La troisième voie du vivant''. Paris : Odile Jacob, 288 p.

Heams, T. (2019). Infavies. Le vivant sans frontières. Editions du Seuil, 192 p.

Kalof, L. (Éd.). (2017). ''The Oxford handbook of animal studies''. Oxford University Press.

Kupiec, J.-J. (2019). ''Et si le vivant était anarchique?'' Actes Sud, 256 p.

Lafontaine, C. (2021). ''Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant.'' Editions du Seuil

Latour, B. (1988). ''The pasteurization of France''. Harvard University Press.

Miquel, P. A. (1996). ''Le problème de la nouveauté dans l'évolution du vivant: de l'évolution créatrice de Bergson à la biologie contemporaine'' (Doctoral dissertation, Paris 10)

Morange, M.  (2012). Les secrets du vivant : Contre la pensée unique en biologie. La Découverte. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/dec.moran.2012.01&lt;/nowiki&gt;.

Passet, R.  (1995). L'Économique et Le Vivant. Economica. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/econo.passe.1996.01&lt;/nowiki&gt;.

Woodward, W., &amp; Lemmer, E. (2019). Introduction : Critical Plant Studies. ''Journal of Literary Studies'', ''35''(4), 23‑27. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1080/02564718.2019.1690804&lt;/nowiki&gt;

'''Interdisciplinarité SHS-Sciences biologiques:'''

Berlivet, L. (2018). « Chassez le naturel… » : Les sciences sociales aux prises avec le déterminisme biologique (note critique). ''Annales. Histoire, Sciences Sociales'', ''73''(2), 443‑473. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1017/ahss.2019.7&lt;/nowiki&gt;

Callon, M. (2014). Les incertitudes scientifiques et techniques constituent-elles une source possible de renouvellement de la vie démocratique ? In D. Vrancken (Éd.), ''Penser l’incertain'' (p. 29‑48). Les Presses de l’Université de Laval. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1515/9782763720746-004&lt;/nowiki&gt;

Cornu, P. (2023). Un historien en interdisciplinarité. Essai d’épistémologie située. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(1), 103‑109. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023016&lt;/nowiki&gt;

Dedeurwaerdere, T. (2023). ''Transdisciplinary Research, Sustainability, and Social Transformation : Governance and Knowledge Co-Production'' (1&lt;sup&gt;re&lt;/sup&gt; éd.). Routledge. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4324/9781032624297&lt;/nowiki&gt;

Demeulenaere, É. (2022). Trois expériences et un enseignement. De quelques inconforts de la recherche interdisciplinaire et participative autour d’enjeux de biodiversité. ''Tracés'', (#22), 97‑116. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4000/traces.14821&lt;/nowiki&gt;

Ducrot, C., Barrio, M. B., Boissy, A., Casabianca, F., Pinard-van Der Laan, M.-H., &amp; Maillet, I. (2021). Comment faciliter la construction et la conduite des projets interdisciplinaires : Retour d’expérience d’un programme de recherche sur la gestion intégrée de la santé des animaux en élevage. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 213‑222. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2021035&lt;/nowiki&gt;

Garin, P., Arpin, I., Barreteau, O., Caranta, C., Ducrot, C., Hannachi, M., &amp; Maillet, I. (2021). Réfléchir l’interdisciplinarité à INRAE. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 206‑212. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2021034&lt;/nowiki&gt;

Guillo, D. (2012). Les usages de la biologie en sciences sociales : Comparaison entre le naturalisme socio-anthropologique du dix-neuvième siècle et celui d’aujourd’hui. ''Revue européenne des sciences sociales'', ''50‑1'', 191‑226. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4000/ress.1194&lt;/nowiki&gt;

Hubert, B., &amp; Mathieu, N. (Éds.). (2016). ''Interdisciplinarités entre Natures et Sociétés''. Peter Lang B. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3726/978-3-0352-6633-7&lt;/nowiki&gt;

Newton, T. (2025). What Is Social Science? A Comparison with Biology. ''Sociological Theory'', ''43''(3), 238‑263. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1177/07352751251353197&lt;/nowiki&gt;

Nourrit-Lucas, D., Aleveque, G., Laurent, A., &amp; Libourel Rouge, T. (2023). L’interdisciplinarité dans tous ses états : Une approche complexe, floue et interalogique. ''Journal of Interdisciplinary Methodologies and Issues in Sciences'', ''Vol 11-Thinking...''(Issues), 11317. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.46298/jimis.11317&lt;/nowiki&gt;

Sanchez, W., Mamy, L., Pesce, S., &amp; Leenhardt, S. (2023). Pluridisciplinarité et interdisciplinarité au cœur de l’expertise scientifique collective INRAE et Ifremer sur les effets des produits phytopharmaceutiques sur la biodiversité et les services écosystémiques. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(2), 199‑206. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023038&lt;/nowiki&gt;

Star, S. L. (2010). Ceci n’est pas un objet-frontière ! : Réflexions sur l’origine d’un concept (M. B. Bah, Trad.). ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''4''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.009.0018&lt;/nowiki&gt;

Star, S. L., &amp; Griesemer, J. R. (1989). Institutional Ecology, « Translations » and Boundary Objects : Amateurs and Professionals in Berkeley’s Museum of Vertebrate Zoology, 1907-39. ''Social Studies of Science'', ''19''(3), 387‑420.

Trompette, P., &amp; Vinck, D. (2009). Retour sur la notion d’objet-frontière. ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''3''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.006.0005&lt;/nowiki&gt;

Unité et diversité du vivant. Réflexions pour un séminaire interdisciplinaire de l’Association NSS-Dialogues. (2023). ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(2), 263‑266. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023043&lt;/nowiki&gt;

Vinck, D. (2009). De l’objet intermédiaire à l’objet-frontière : Vers la prise en compte du travail d’équipement. ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''3''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.006.0051&lt;/nowiki&gt;
== Séances ==

=== Programme de séances 2026-2027 ===
1. Le mardi '''13 octobre 2026 de 14h à 16h,''' salle Marne (séance couplée entre l'Atelier Vivant et le Groupe de Travail innovation (GTI) du LISIS): 

* '''Lucas Brunet''' (sociologue, CR LISIS) : &quot;Construire avec les chauves souris&quot;: l'''&lt;nowiki/&gt;'intégration du vivant dans la conception des infrastructures urbaines'''. 
* Pendant cette séance, on fera un bref retour sur le '''Colloque de Cerisy &quot;Du souci du vivant à la fabrique des communs pour un grand réencastrement&quot;''' qui a eu lieu fin août-début septembre dernier.
*

2. Le mardi '''8 décembre 2026 de 14h à 16h,''' salle Seine (séance couplée entre l'Atelier Vivant et le GTI du LISIS):

* '''Bruno Turnheim''' (STS, DR LISIS) nous parlera de ses travaux autour des '''lianes''' et leurs significations qui dépassent leur nature biologique de plantes-parasites: « Penser les rapports aux choses vivantes : Perspectives recueillies au contact des lianes ».

3. Le mardi '''23 février 2027 de 14h à 16h,''' salle Marne: 

Nous entendront les présentations de 2 jeunes chercheurs et réfléchirons avec eux sur les enjeux des '''productions végétales face aux incertitudes des changements climatiques''':

* '''Alexis Boisseau''' (sociologue et philosophe, post-doc SADAPT) sur l'édition du génome dans la sélection de plantes)
* '''Sofiane El Ouartassi''' (doctorant en sciences de gestion au LEST), sur la gestion de la crise du scolyte dans les forêts publiques d’épicéa (sous réserve)

4. Le mardi '''30 mars 2027 de 14h à 16h,''' salle Marne:

Nous vous invitons à la séance la plus morbide de l'année, car nous parleront explicitement de '''la mise à mort et de la mortalité des animaux''' avec les intervenants suivants:

* '''Félix Jourdan''' (sociologue, MCF Agroparistech) nous présentera ses réflexions autour de l'abattage des animaux d'élevage
* '''Juliette Roger''' (vétérinaire épidémiologiste, post-doc à l'ANSES) parlera de son travail interdisciplinaire sur la surveillance de la mortalité dans la faune sauvage

5. Le '''15 juin 2027 de 14h à 16h,''' salle Marne (séance couplée entre l'Atelier Vivant et le GTI du LISIS):

* Pour conclure le programme de cette année académique, nous discuteront ensemble les enjeux des études du vivant à la lumière de '''&quot;Atlas Féral: histoires vraies et proliférantes des résistances aux infrastructures humaines&quot; d'Anna Tsing'''  
** Intervenants à préciser

=== Historique des séances ===

* &lt;u&gt;Juin 2023&lt;/u&gt;
** Evelyne Lhoste (STS, INRAE), et Davi Savietto (sciences animales, INRAE): LAPOESIE - projet transdisciplinaire analyse la faisabilité et la plus-value de l'association arboriculture-élevage de lapins en agriculture biologique (AB)
** Tasnime Adamji (doctorante en sociologie, INRAE) et Simon Fellous (écologue INRAE): TIS : insectes stériles comme lutte biologique

* &lt;u&gt;14 octobre 2023&lt;/u&gt;
** Céline Lafontaine (sociologue, professeure à l'Université de Montréal): &quot;Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant&quot;

* &lt;u&gt;5 décembre 2023&lt;/u&gt;
** Christian Ducrot (épidémiologiste, INRAE): reflexions méthodologiques sur le travail interdisciplinaire entre l'épidémiologie et les SHS

* &lt;u&gt;5 mars 2024&lt;/u&gt;
** Lidia Chavinskaia (STS, INRAE) et Vincent Ducrocq (génétique animale, INRAE): &quot;La Vache globale&quot;: retour sur l'expérience interdisciplinaire de la thèse entre SHS et génétique
** Alice Dupré la Tour (sciences de gestion, post-doctorante INRAE) et Alain Charcosset (génétique végétale, INRAE): entre l'agronomie et la génétique végétale

* &lt;u&gt;14 mai 2024&lt;/u&gt; - Approche systémique du vivant
** Pierre Cornu (historien, ENS Lyon et INRAE): histoire de l'approche systémique en sciences animales à l'INRAE
** Olivier Hamant (biologie végétale, ENS Lyon et INRAE): besoin de l'approche systémique en sciences végétales, discussion de son livre &quot;La troisième voie du vivant&quot;

* &lt;u&gt;2 juillet 2024&lt;/u&gt;
** Marc Barbier (sociologue, INRAE) et Séverine Bord (ingénieure statisticienne, INRAE): SOTIQUE projet collaboratif sur les tiques dans l’espace urbain
** Bilan de l'année

* &lt;u&gt;11 février 2025&lt;/u&gt;
** Baptiste Bedessem (sociologue, INRAE): recherche participative et transdisciplinaire en écologie de la vigne

* &lt;u&gt;1er avril 2025&lt;/u&gt;
** &quot;Le vivant versus le non-humain : regards croisés entre biologie et sociologie&quot;, Céline Lafontaine, Université Montréal, Thomas Heams, AgroParisTech, UMR GABI INRAE

== Parenthèses culturelles et artistiques ==

=== Expositions ===
[[Fichier:Velins.pdf|bordure|droite|170x170px]]
'''« Artistes au Muséum »''' (23 septembre 2026 - 7 mars 2027) à la Grande Galerie de l'Évolution.

https://www.mnhn.fr/fr/catalogue-exposition-artistes-au-museum-400-ans-d-art-et-de-science

Puisque l'art visuel a toujours été lié aux sciences naturelles et à leur volonté de représenter le monde objectivement (bonjour, &quot;Objectivity&quot; de L. Daston et P. Galison (2007)), de nombreux artistes accompagnent le Museum d'Histoire Naturelle depuis 400 ans.

Au delà de magnifiques velins qui représentent une vraie encyclopédie de la nature et d'autres oeuvres toutes aussi remarquables, des questions plus scientifiques et techniques y sont traitées. La couleur est-elle toujours nécessaire pour une représentation objective? Comment representer visuellement ce qui est déjà disparu? Comment mobiliser le savoir-faire local au service de la science occidentale? 

Et une belle touche finale de l'exposition: l'engagement des artistes aux côtés des scientifiques pour les causes du Vivant sur notre planète. Voir, notamment, le travail de Sarah Braeck (https://www.sarahbraeck.com/) en collaboration avec la chimiste des micro-organismes Soizic Prado (Professeure MNHN) sur les champignons marins capables de dégrader le plastique</text>
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      <text bytes="20106" sha1="kxbtafiic4lz54oef01gcxavc07zykh" xml:space="preserve">[[Fichier:Cowscape-1.jpg|vignette|Ce paysage surréaliste composé du le dos de vache Holstein (race bovine la plus industrialisée et mondialisée) dont la robe évoque les figures humaines, et des éléments de notre monde techno-industriel, illustre l'engagement interdisciplinaire de notre Atelier du Vivant pour mieux saisir les enchevêtrements socio-bio-techniques de l'Anthropocène(c)Lidia Chavinskaia]]

=== L'Atelier (du) Vivant est une activité de l'UMR [[LISIS]] animé par Lidia Chavinskaia, Julie Labatut, François Charrier. ===

==== Travaux en cours ====

* [[Recherche:Atelier du Vivant/Cartographie|Cartographie]]
* Ecriture collective de l'article &quot;Le vivant social et biologique : des concepts-frontières comme outils pratiques de l’interdisciplinarité entre les SHS et les sciences biologiques&quot; (titre de travail)

== Argumentaire ==
Il paraît dorénavant évident que le rapport au vivant au sein de notre société change et ce changement s’accélère et devient perceptible à plusieurs niveaux : social, politique, économique, scientifique, etc. De nombreux mouvements sociaux en faveur de la protection des espèces animales et végétales, revendiquent le changement de leur statut et de leurs droits dans la société. Les questions de protection de l’environnement et du droit des animaux intègrent activement les agendas politiques aussi bien localement qu’à l’international. Les entreprises, et en particulier des filières agro-alimentaires, se voient obligées d’adapter leurs stratégies aux nouvelles exigences sociétales vis-à-vis du traitement des animaux et des plantes. La gestion des risques sanitaires oblige à élargir leur cadrage en tenant compte de la transversalité et de la dynamique des vecteurs des maladies (concept « one health »). Les disciplines '''biologiques''' revoient leurs questions de recherche, leurs méthodes, leurs résultats.

La façon de voir, de penser et d’étudier les organismes vivants dans le périmètre propre de leurs corps laisse de plus en plus la place à l’approche interactionniste et relationnelle du vivant (cf., par exemple, Heams 2019). Le déterminisme génétique comme idéal du vivant prédictible s’assouplie avec les connaissances sur les mécanismes épigénétiques et laisse sa place à l’effet de l’environnement dans le sens très large du terme comme co-déterminant (rappelons-nous ici Lamarck) mais peu prédictible et peu saisissable avec les outils scientifiques développés jusqu’au là. Le vivant est décrit comme « anarchique » notamment dans les travaux du biologiste Jean-Jacques Kupiec (2017, 2019) qui questionne les outils et les méthodes de la biologie moderne. 

Dans les '''SHS''', le dépassement épistémologique des frontières de la société humaine est relativement récent. 

'''Animal studies''' (Kalof 2017) et plus récentes '''Plant studies''' (Woodward &amp; Lemmer 2019), champs d’études interdisciplinaires, explorent la relation respectivement homme-animal et homme-plante dans l’histoire et au travers des différentes pratiques sociétales. On y adopte une approche critique de l’anthropocentrisme et cherche à montrer « l’agency » des animaux et des plantes en tant qu’êtres sensibles et dotés d’intelligence.  

Dans le champ des « '''management and organization studies''' », on observe également une augmentation significative des travaux s’intéressant au vivant. Ces contributions ont participé à développer une pensée critique au-delà des concepts classiques dans ce champ disciplinaire tels que le développement durable ou la responsabilité sociale et environnementale des entreprises. Depuis les travaux sur les animaux de compagnie dans le Journal of Business Research en 2008, de nombreux numéros spéciaux et articles ont été produits, notamment dans les revues Organization et Organization Studies, autour du changement climatique, de l’Anthropocène, des animal studies, appelant cette communauté à adopter une « Earth-centered perspective » et à s’engager dans de nouvelles réflexions épistémologiques, ontologiques et méthodologiques autour du vivant. 

Si les '''STS''' '''(Science and Technology Studies)''' étaient précurseurs dans la prise en compte rationnelle des éléments non-humains dans les sciences humaines et sociales, le vivant (bios) en tant qu’actant à part entière dans les systèmes sociotechniques a eu relativement peu d’attention jusqu’à présent. Lorsque Bruno Latour (1988) écrit que Louis Pasteur en découvrant les microorganismes ''« recompose la société différemment'' », il appelle justement à penser notre société différemment, en tenant compte des éléments non-humains et en particulier d’autres organismes vivants. Il nous le rappelle et en 2020 à l’occasion de la pandémie : ''«… la définition classique de la société – les humains entre eux – n’a aucun sens. […] Une fois pris en compte tout le réseau dont il n’est qu’un maillon, le même virus n’agit pas de la même façon à Taïwan, Singapour, New York ou Paris.»''

Des cadres théoriques et la méthodologie analytique des STS sont appliqués aussi bien dans Animal et Plant studies que dans les Management and Organization studies. Mais le vivant en tant qu’objet systémique et systématique d’étude nous semble mériter plus d’attention en lien avec les pratiques scientifiques et technologiques, en particulier à l’heure actuelle où certains paradigmes et régimes de production de connaissances sur la vie sont en train d’évoluer. L’INRAE, organisme de recherche finalisée et appliquée, nous offre un terrain favorable pour observer et analyser ces évolutions en mettant en œuvre les changements épistémologiques nécessaires à ce tournant vers le vivant, notamment l’interdisciplinarité. La transition du paradigme productiviste au paradigme agroécologique où le vivant-objet (outil) laisse plus de place au vivant-sujet (acteur), apporte à la recherche de nouveaux enjeux, questions, méthodes, résultats, ouvertures et organisations (exemples : la génétique, l’expérimentation, transgénèse et biologie de synthèse…). 

Comment, par quel biais cognitif, le vivant se manifeste-t-il à nous? Que produit-il comme changement au sein de la société? Comment s’intègre-t-il dans les systèmes/réseaux/agencements socio(bio)techniques ? Comment cette intégration est vécue par d’autres acteurs ? Comment enfin penser le vivant non seulement dans son ontologie biologique mais aussi sociale ? ... Nos nombreux cas d'étude peuvent probablement éclairer ces questionnements si on les met à réflexion ensemble. 

=== Tentative de définition conceptuelle ===
''Le vivant'' par sa forme grammaticale (participe présent du verbe ''vivre'' transformé en substantif) traduit la volonté de concrétiser la notion trop abstraite de ''vie'' en lui procurant une forme d’agentivité. Ainsi, le vivant définit les manifestations de la vie contextualisées, situées, incarnées dans les pratiques et les imaginaires des acteurs. Mettre cette notion au centre d’un discours/projet signifie (i) d’admettre l’existence dans nos objets d’attention de ce que les biologistes eux-mêmes caractérisent comme complexe, incertain, imprédictible et même portant une certaine forme « d’anarchisme » (Heams 2019, Kupiec 2019, Hamant 2022), (ii) de  questionner les approches mécanistiques, déterministes et de ce point de vue réductionnistes des êtres et des phénomènes étudiés et/ou mis en utilisation et (iii) de tenir compte de leurs dimensions de dynamisme constant, d’incertitude ontologique (Callon 2014), de cyclicité, d’interactivité relationnelle tant biologique que sociale. 

== Bibliographie générale ==
'''&quot;Le Vivant&quot;'''

Boisseau, A., &amp; Tahar, M. (2022). Remettre à l’œuvre les processus du vivant. Repenser le lien de l’histoire humaine avec l’histoire naturelle: lectures croisées de Bergson et Ruyer. ''Rue Descartes'', ''101''(1), 23-39. &lt;nowiki&gt;https://shs.cairn.info/revue-rue-descartes-2022-1?lang=fr&lt;/nowiki&gt;

Fassin, D. (2000). Entre politiques du vivant et politiques de la vie : pour une anthropologie de la santé. ''Anthropologie et Sociétés'', ''24''(1), 95–116. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.7202/015638ar&lt;/nowiki&gt;

Hamant, O. (2022). ''La troisième voie du vivant''. Paris : Odile Jacob, 288 p.

Heams, T. (2019). Infavies. Le vivant sans frontières. Editions du Seuil, 192 p.

Kalof, L. (Éd.). (2017). ''The Oxford handbook of animal studies''. Oxford University Press.

Kupiec, J.-J. (2019). ''Et si le vivant était anarchique?'' Actes Sud, 256 p.

Lafontaine, C. (2021). ''Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant.'' Editions du Seuil

Latour, B. (1988). ''The pasteurization of France''. Harvard University Press.

Miquel, P. A. (1996). ''Le problème de la nouveauté dans l'évolution du vivant: de l'évolution créatrice de Bergson à la biologie contemporaine'' (Doctoral dissertation, Paris 10)

Morange, M.  (2012). Les secrets du vivant : Contre la pensée unique en biologie. La Découverte. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/dec.moran.2012.01&lt;/nowiki&gt;.

Passet, R.  (1995). L'Économique et Le Vivant. Economica. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/econo.passe.1996.01&lt;/nowiki&gt;.

Woodward, W., &amp; Lemmer, E. (2019). Introduction : Critical Plant Studies. ''Journal of Literary Studies'', ''35''(4), 23‑27. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1080/02564718.2019.1690804&lt;/nowiki&gt;

'''Interdisciplinarité SHS-Sciences biologiques:'''

Berlivet, L. (2018). « Chassez le naturel… » : Les sciences sociales aux prises avec le déterminisme biologique (note critique). ''Annales. Histoire, Sciences Sociales'', ''73''(2), 443‑473. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1017/ahss.2019.7&lt;/nowiki&gt;

Callon, M. (2014). Les incertitudes scientifiques et techniques constituent-elles une source possible de renouvellement de la vie démocratique ? In D. Vrancken (Éd.), ''Penser l’incertain'' (p. 29‑48). Les Presses de l’Université de Laval. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1515/9782763720746-004&lt;/nowiki&gt;

Cornu, P. (2023). Un historien en interdisciplinarité. Essai d’épistémologie située. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(1), 103‑109. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023016&lt;/nowiki&gt;

Dedeurwaerdere, T. (2023). ''Transdisciplinary Research, Sustainability, and Social Transformation : Governance and Knowledge Co-Production'' (1&lt;sup&gt;re&lt;/sup&gt; éd.). Routledge. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4324/9781032624297&lt;/nowiki&gt;

Demeulenaere, É. (2022). Trois expériences et un enseignement. De quelques inconforts de la recherche interdisciplinaire et participative autour d’enjeux de biodiversité. ''Tracés'', (#22), 97‑116. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4000/traces.14821&lt;/nowiki&gt;

Ducrot, C., Barrio, M. B., Boissy, A., Casabianca, F., Pinard-van Der Laan, M.-H., &amp; Maillet, I. (2021). Comment faciliter la construction et la conduite des projets interdisciplinaires : Retour d’expérience d’un programme de recherche sur la gestion intégrée de la santé des animaux en élevage. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 213‑222. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2021035&lt;/nowiki&gt;

Garin, P., Arpin, I., Barreteau, O., Caranta, C., Ducrot, C., Hannachi, M., &amp; Maillet, I. (2021). Réfléchir l’interdisciplinarité à INRAE. ''Natures Sciences Sociétés'', ''29''(2), 206‑212. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2021034&lt;/nowiki&gt;

Guillo, D. (2012). Les usages de la biologie en sciences sociales : Comparaison entre le naturalisme socio-anthropologique du dix-neuvième siècle et celui d’aujourd’hui. ''Revue européenne des sciences sociales'', ''50‑1'', 191‑226. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.4000/ress.1194&lt;/nowiki&gt;

Hubert, B., &amp; Mathieu, N. (Éds.). (2016). ''Interdisciplinarités entre Natures et Sociétés''. Peter Lang B. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3726/978-3-0352-6633-7&lt;/nowiki&gt;

Lahire, B. (2025) ''Vers une science sociale du vivant.'' La Découverte

Lahire, B. (2023) ''Structures fondamentales des sociétés humaines. La découverte''

Newton, T. (2025). What Is Social Science? A Comparison with Biology. ''Sociological Theory'', ''43''(3), 238‑263. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1177/07352751251353197&lt;/nowiki&gt;

Nourrit-Lucas, D., Aleveque, G., Laurent, A., &amp; Libourel Rouge, T. (2023). L’interdisciplinarité dans tous ses états : Une approche complexe, floue et interalogique. ''Journal of Interdisciplinary Methodologies and Issues in Sciences'', ''Vol 11-Thinking...''(Issues), 11317. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.46298/jimis.11317&lt;/nowiki&gt;

Sanchez, W., Mamy, L., Pesce, S., &amp; Leenhardt, S. (2023). Pluridisciplinarité et interdisciplinarité au cœur de l’expertise scientifique collective INRAE et Ifremer sur les effets des produits phytopharmaceutiques sur la biodiversité et les services écosystémiques. ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(2), 199‑206. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023038&lt;/nowiki&gt;

Star, S. L. (2010). Ceci n’est pas un objet-frontière ! : Réflexions sur l’origine d’un concept (M. B. Bah, Trad.). ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''4''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.009.0018&lt;/nowiki&gt;

Star, S. L., &amp; Griesemer, J. R. (1989). Institutional Ecology, « Translations » and Boundary Objects : Amateurs and Professionals in Berkeley’s Museum of Vertebrate Zoology, 1907-39. ''Social Studies of Science'', ''19''(3), 387‑420.

Trompette, P., &amp; Vinck, D. (2009). Retour sur la notion d’objet-frontière. ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''3''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.006.0005&lt;/nowiki&gt;

Unité et diversité du vivant. Réflexions pour un séminaire interdisciplinaire de l’Association NSS-Dialogues. (2023). ''Natures Sciences Sociétés'', ''31''(2), 263‑266. &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.1051/nss/2023043&lt;/nowiki&gt;

Vinck, D. (2009). De l’objet intermédiaire à l’objet-frontière : Vers la prise en compte du travail d’équipement. ''Revue d’anthropologie des connaissances'', ''3''(1). &lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.3917/rac.006.0051&lt;/nowiki&gt;
== Séances ==

=== Programme de séances 2026-2027 ===
1. Le mardi '''13 octobre 2026 de 14h à 16h,''' salle Marne (séance couplée entre l'Atelier Vivant et le Groupe de Travail innovation (GTI) du LISIS): 

* '''Lucas Brunet''' (sociologue, CR LISIS) : &quot;Construire avec les chauves souris&quot;: l'''&lt;nowiki/&gt;'intégration du vivant dans la conception des infrastructures urbaines'''. 
* Pendant cette séance, on fera un bref retour sur le '''Colloque de Cerisy &quot;Du souci du vivant à la fabrique des communs pour un grand réencastrement&quot;''' qui a eu lieu fin août-début septembre dernier.
*

2. Le mardi '''8 décembre 2026 de 14h à 16h,''' salle Seine (séance couplée entre l'Atelier Vivant et le GTI du LISIS):

* '''Bruno Turnheim''' (STS, DR LISIS) nous parlera de ses travaux autour des '''lianes''' et leurs significations qui dépassent leur nature biologique de plantes-parasites: « Penser les rapports aux choses vivantes : Perspectives recueillies au contact des lianes ».

3. Le mardi '''23 février 2027 de 14h à 16h,''' salle Marne: 

Nous entendront les présentations de 2 jeunes chercheurs et réfléchirons avec eux sur les enjeux des '''productions végétales face aux incertitudes des changements climatiques''':

* '''Alexis Boisseau''' (sociologue et philosophe, post-doc SADAPT) sur l'édition du génome dans la sélection de plantes)
* '''Sofiane El Ouartassi''' (doctorant en sciences de gestion au LEST), sur la gestion de la crise du scolyte dans les forêts publiques d’épicéa (sous réserve)

4. Le mardi '''30 mars 2027 de 14h à 16h,''' salle Marne:

Nous vous invitons à la séance la plus morbide de l'année, car nous parleront explicitement de '''la mise à mort et de la mortalité des animaux''' avec les intervenants suivants:

* '''Félix Jourdan''' (sociologue, MCF Agroparistech) nous présentera ses réflexions autour de l'abattage des animaux d'élevage
* '''Juliette Roger''' (vétérinaire épidémiologiste, post-doc à l'ANSES) parlera de son travail interdisciplinaire sur la surveillance de la mortalité dans la faune sauvage

5. Le '''15 juin 2027 de 14h à 16h,''' salle Marne (séance couplée entre l'Atelier Vivant et le GTI du LISIS):

* Pour conclure le programme de cette année académique, nous discuteront ensemble les enjeux des études du vivant à la lumière de '''&quot;Atlas Féral: histoires vraies et proliférantes des résistances aux infrastructures humaines&quot; d'Anna Tsing'''  
** Intervenants à préciser

=== Historique des séances ===

* &lt;u&gt;Juin 2023&lt;/u&gt;
** Evelyne Lhoste (STS, INRAE), et Davi Savietto (sciences animales, INRAE): LAPOESIE - projet transdisciplinaire analyse la faisabilité et la plus-value de l'association arboriculture-élevage de lapins en agriculture biologique (AB)
** Tasnime Adamji (doctorante en sociologie, INRAE) et Simon Fellous (écologue INRAE): TIS : insectes stériles comme lutte biologique

* &lt;u&gt;14 octobre 2023&lt;/u&gt;
** Céline Lafontaine (sociologue, professeure à l'Université de Montréal): &quot;Bio-objets. Les nouvelles frontières du vivant&quot;

* &lt;u&gt;5 décembre 2023&lt;/u&gt;
** Christian Ducrot (épidémiologiste, INRAE): reflexions méthodologiques sur le travail interdisciplinaire entre l'épidémiologie et les SHS

* &lt;u&gt;5 mars 2024&lt;/u&gt;
** Lidia Chavinskaia (STS, INRAE) et Vincent Ducrocq (génétique animale, INRAE): &quot;La Vache globale&quot;: retour sur l'expérience interdisciplinaire de la thèse entre SHS et génétique
** Alice Dupré la Tour (sciences de gestion, post-doctorante INRAE) et Alain Charcosset (génétique végétale, INRAE): entre l'agronomie et la génétique végétale

* &lt;u&gt;14 mai 2024&lt;/u&gt; - Approche systémique du vivant
** Pierre Cornu (historien, ENS Lyon et INRAE): histoire de l'approche systémique en sciences animales à l'INRAE
** Olivier Hamant (biologie végétale, ENS Lyon et INRAE): besoin de l'approche systémique en sciences végétales, discussion de son livre &quot;La troisième voie du vivant&quot;

* &lt;u&gt;2 juillet 2024&lt;/u&gt;
** Marc Barbier (sociologue, INRAE) et Séverine Bord (ingénieure statisticienne, INRAE): SOTIQUE projet collaboratif sur les tiques dans l’espace urbain
** Bilan de l'année

* &lt;u&gt;11 février 2025&lt;/u&gt;
** Baptiste Bedessem (sociologue, INRAE): recherche participative et transdisciplinaire en écologie de la vigne

* &lt;u&gt;1er avril 2025&lt;/u&gt;
** &quot;Le vivant versus le non-humain : regards croisés entre biologie et sociologie&quot;, Céline Lafontaine, Université Montréal, Thomas Heams, AgroParisTech, UMR GABI INRAE

== Parenthèses culturelles et artistiques ==

=== Expositions ===
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'''« Artistes au Muséum »''' (23 septembre 2026 - 7 mars 2027) à la Grande Galerie de l'Évolution.

https://www.mnhn.fr/fr/catalogue-exposition-artistes-au-museum-400-ans-d-art-et-de-science

Puisque l'art visuel a toujours été lié aux sciences naturelles et à leur volonté de représenter le monde objectivement (bonjour, &quot;Objectivity&quot; de L. Daston et P. Galison (2007)), de nombreux artistes accompagnent le Museum d'Histoire Naturelle depuis 400 ans.

Au delà de magnifiques velins qui représentent une vraie encyclopédie de la nature et d'autres oeuvres toutes aussi remarquables, des questions plus scientifiques et techniques y sont traitées. La couleur est-elle toujours nécessaire pour une représentation objective? Comment representer visuellement ce qui est déjà disparu? Comment mobiliser le savoir-faire local au service de la science occidentale? 

Et une belle touche finale de l'exposition: l'engagement des artistes aux côtés des scientifiques pour les causes du Vivant sur notre planète. Voir, notamment, le travail de Sarah Braeck (https://www.sarahbraeck.com/) en collaboration avec la chimiste des micro-organismes Soizic Prado (Professeure MNHN) sur les champignons marins capables de dégrader le plastique</text>
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{{Hypothèse
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, eco 85aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 11 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 450 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bidirect ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; enzyme 300-600 aas.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 450 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bi ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini), 4120 êtres dont 22 archées
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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{{Hypothèse
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 450 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bi ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini), 4120 êtres dont 22 archées et 198 eucaryotes.
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 450 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bi ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + 4120 êtres dont 22 archées et 198 eucaryotes. 420 aas pour aif.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol)
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 450 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bi ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + 4120 êtres dont 22 archées et 198 eucaryotes. 420 aas pour aif.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase metacyc ecocyc de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol
*:: + eco: yggf classe II 321 aas, glpx classe II 336 aas. 9770 êtres dont 458 archées
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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&lt;div style=&quot;text-align:center;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&quot;&gt;
'''De l'origine mécanique et géométrique de la chiralité prébiotique:&lt;/br&gt; l'auto-organisation prébiotique.'''&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;
==pense bête 1==
*L'auto-organisation est abordée dans '''chiralité prébiotique 1''', mais partiellement en donnant la priorité à l'homochiralité. Aussi sa conception globale n'y est pas traitée convenablement d'où des manquements et des erreurs conceptuelles. Voir les études d'articles confirmant l'homochiralité et l'initialisation du métabolisme dans l'onglet discussion de la page chiralité prébiotique 1.
*Définir l'auto-organisation au stade prébiotique
*Les erreurs par rapport à cette organisation sont
*: - L'auto-organisation du liposome seul avec une ouverture ad hoc pour les échanges avec l'extérieur. Alors que l'auto-organisation doit concerner tous les acteurs en jeu, notamment les aas et les ouvertures sont l’œuvre de l'auto-organisation. 
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Micelles dans l'huile puis liposome. Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau?
*: - L'ATP dans l'initialisation du métabolisme n'est pas créée. J'ai imaginé une contrainte établie par l'auto-organisation qui établit une différence de potentiel non pas par accumulation de protons mais des électrons des doubles liaisons des aas, comme la différence de potentiel créée dans un nuage pendant l'orage.
*Les caractéristiques de l'auto-organisation dans le liposome:
*: - L'auto-organisation se fait avec les liaisons ioniques, hydrogènes et faibles. Aucune réaction faisant intervenir une liaison covalente n'est permise. Celle-ci doit être propre à l'auto-organisation grâce aux contraintes imposées par le grand nombre des aas et des PLDs. Cette réaction à liaison covalente entraine une nouvelle organisation plus cohérente qui créera une nouvelle contrainte pour une nouvelle réaction à liaison covalente et ainsi de suite.
*: - Tout à fait au début de l'initialisation du métabolisme ces réactions covalentes doivent être à très faible énergie comme les liaisons faibles aliphatiques permettant une réorganisation en douceur. C'est le cas de la liaison peptidique avec 16 kj du même ordre que les liaisons faibles aliphatiques et peuvent se faire sous la contrainte du grand nombre d'aas de chiralité L, certes beaucoup plus faible qu'une enzyme mais beaucoup plus forte que dans une solution racémique et même homochirale mais désordonnée. Avec l'ATP créée au paragraphe précédent on a le début de la fonction ribosome, elle doit stimuler la création des liaisons peptidiques.
*L'importance de l'homochiralité mécanique dans l'auto-organisation du liposome
*: - permet la sélection des aas L et des sucres D comme décrits dans chiralité prébiotique 1.
*: - consolide l'assemblage mécanique des PLDs malgré les ouvertures créées par les aas plus ou moins aliphatiques: aliphatiques L A V I P puis F W, queue hydrophile séparée de la tête de l'aa par une séquence longue aliphatique Y R K.
*: - permet avec la Serine attachée à un PLD d'activer certaines réactions en présence de Histidine.
*: - et encore consolidation mécanique plus forte nécessaire aux origines où les acides gras sont courts, pas plus de 12 carbones. Dans l'article de Krishnamurthy 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt; où il démontre la synthèse des têtes des PLDs, l'éthanolamine et la choline stabilisent les liposomes à 12 carbones.
*Auto-organisation des liposomes
*: - Chiralité 1: j'ai abordé l'édification des têtes PLDs dans les [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|micelles de la phase huile]] et dans les liposomes et non à l'extérieur. Mais est-ce suffisant? combien faut-il de têtes PLDs pour que l'auto-organisation se poursuive?
*: - A partir de quel stade commence l'auto-organisation? Dans les micelles de la phase huile puis dans le liposome? Comment se fait le passage de la grande phase huile à la grande phase eau? Dans chiralité 1 la micelle de la phase huile avec ses PLDs passe directement dans la phase eau en acquérant au passage une ouverture dans le liposome pour les échanges avec l'extérieur. Mais le liposome n'est pas auto-organisé puisque les aas ne sont pas intercalés dans la bicouche. J'ai cependant noté que, dans la micelle de la phase huile, les aas peuvent s'enfoncer dans la couche des acides gras internes créant une phase intermédiaire potentiellement très réactive. Mais je n'ai pas fait de même pour la couche externe du liposome.
*: - auto-organisation de la couche externe du liposome: dans chiralité 1 la micelle de la phase huile est entouré par la couche des acides gras séparant les 2 grandes phases huile/eau en présentant les têtes hydrophiles à l'extérieur. Et le liposome se détache de la grande phase huile avec ses 2 couches. La couche séparant les 2 grandes phases subit nécessairement l'intercalation d'aas venant de la grande phase eau et de façon plus brutale puisque cette subit une courbure de la par de la micelle en migration. Cette courbure provoque une séparation provisoire entre 2 acides gras, donc possibilité d'insertion des aas.
*: - auto-organisation du liposome: Elle peut se faire dans la grande phase eau avec les PLDs provenant des micelles dissociées, mais il n'existe pas de contraintes pour maintenir aas et acides gras ensemble alors que celles-ci sont très fortes dans la micelle (petit volume) et dans la couche externe pendant la migration (courbure). Donc le plus probable c'est le scénario proposé dans chiralité 1 avec la bicouche auto-organisée sans création d'une grande ouverture.
*: - Positionnement du liposome organisé, à cheval entre la grande phase huile et la grande phase eau: Dans chiralité 1 j'y avais pensé mais cela me paraissait très compliqué. Effectivement la micelle, avec une seule couche, a une densité intermédiaire entre celles de l'huile et de l'eau et c'est encore plus manifeste avec la bicouche du liposome. Comment donc le liposome va-t-il se détacher? Certainement par fusion de plusieurs micelles. Et c'est là où l'auto-organisation va se jouer à fond, peut-être même qu'elle va contraindre la formation de beaucoup plus de PLDs en provocant la mise en œuvre des liaisons covalentes que j'attribuais, dans chiralité 1, à la surface ionique des acides gras. Dans cette position intermédiaire la surface des acides gras de la couche des 2 grandes phases est très grande et donc impose une contrainte beaucoup plus grande, et sur les aas aussi. Est-ce que certains peptides peuvent se former entre les aas intercalés dans la bicouche jusqu'à former des ports d'échange et même sans formation de peptides la contrainte peux-elle les forcer à contrôler les échanges, notamment ceux des ions?
*: - Détachement du liposome vers la grande phase d'eau: En plus de la fusion il se peut que c'est la cohésion mécanique entre les PLDs de plus en plus nombreux du liposome qui le rend plus compacte et le détache de l'huile tout en restant proche de l'interface eau/huile principale.
*: - Nombre d'aas des pores en devenir couvrant la surface de la bicouche: Si les aas de ces pores se mettent en tête à tête et queue à queue il en faudrait 4 pour mettre les 2 têtes hydrophiles extrêmes avec l'eau: o----oo----o. Le tête à tête neutralisant l'hydrophobie. Pour l'Alanine, 4 atomes de long, cela fait une longueur de 16 atomes. Pour la Valine, 5 atomes, 20 au total et 24 pour la Leucine et l'Isoleucine, 6 atomes
*: - Problématique de la longueur des acides de la bicouche: rôle de la chiralité mécanique qui stabilise les acides gras courts prébiotiques (12C). L'instabilité de ces acides courts est une contrainte forte pour leur allongement pendant l'auto-organisation prébiotique ou après.

==pense bête 2==
*L'auto-organisation aas + acides gras
*: - dans l'hypothèse des liposomes à cheval dans la phase eau/huile principale
*: - Il y a dissymétrie entre la couche interne et la couche externe pour la formation des têtes phosphorylées, grâce à la grande surface des têtes des acides gras, et de l'insertion des aas dans la sous-couches aliphatique, en contact avec l'huile pour l'interne et en contact avec l'eau pour l'externe.
*: - Est-ce que la chiralité L des aas agissant sur les têtes phosphorylées et responsable de la cohésion mécanique du liposome, peut-elle provoquer l'insertion de ces seuls aas ou bien les L et D en même temps? Cette insertion est une obligation dans l'hypothèse de cette auto-organisation, aas + acides gras.
*: - Je ne considère pour la suite que les phospholipides chez les procaryotes, seules quelques bactéries ayant des sphingolipides et chez les eucaryotes ceux-ci ne constituent que quelques ilots isolés dans la bicouche.
*Les forces mises en jeu dans l'auto-organisation aas + acides gras.
*# - les liaisons hydrogènes: h2o aas phosphate éthanolamine choline
*# - Les liaisons aliphatiques: les acides gras des phospholipides
*# - Les doubles liaisons: une, dans un des acides gras du PLD
*# - Les liaisons ioniques: Na+ K+, Mg++ Ca++, Cl- CO2-- SO4-- NO3H+-- OHPO3-- PO4---
*# - L'encombrement stérique et chirale: ILV sont encombrants de mêmes que les aromatiques, FWPY. Deux aas de même chiralité, en tête/tête c'est un rectangle de 2 liaisons hydrogène plus les 2 radicaux en trans ce qui protège ces liaisons hydrogène. Ce n'est pas le cas de 2 aas de chiralités opposées dont les radicaux sont en cis. Est-ce que la cohésion mécanique faite par les aas chiraux L sélectionne aussi les insertions de 2 aas L au lieu de 2 D?
*# - Les champs magnétiques moléculaires propres aux aas aromatiques: FWPYH
*# - Les fonctions de radicaux chimiques des aas: acide DE alcool STY thiol CM amine RK amide NQ glycine G  Alanine A Histidine H
*# - Les stéroides chez les procaryotes

==pense bête 3==
*Les différentes étapes de l'évolution moléculaire avec chacune son auto-organisation propre
*: - soupe prébiotique
*: - étape membranaire: synthèse des têtes hydrophiles des PLDs grâce à la grande surface ionique des ags; cohésion mécanique
*: - étape échange et contrôle: création des pores par insertion des aas dans la phase aliphatique; action électro-mécanique
*: - étape mise en place d'une membrane à différence de potentiel: création de la 2ème bicouche définissant le périplasme. L'ancienne bicouche accumule de plus en plus d'aas dans les pores et crée un différentiel électrique entre les 2 couches. La nouvelle bicouche reprend le rôle d'échange et de contrôle.
*: - étape des eucaryotes 1: Dans le cas où certains liposomes dans un état plus ou moins abouti sont emprisonnés dans le périplasme il y a alors ébauche d'un eucaryote prébiotique. Mais le plus important et nouveau par rapport à la théorie de l'endosymbiose pour les mitochondries c'est la présence initiale du réticulum endoplasmique qui peut se former à partir de la membrane bicouche interne du protobionte en formation, avec ses pores primitifs.
*: - étape de cristallisation: le métabolisme de base est créé par des groupements d'aas jouant le rôle d'enzyme mais à des vitesses beaucoup plus lentes que les protéines. Ce circuit est branché sur les réactions chimiques lentes initiées par la membrane interne; réactions chimiques mettant en jeu les liaisons covalentes avec des contrôles chimiques: activation, inhibition, bifurcation. La comparaison avec un cristal se justifie parce qu'il n' y a pas de polymérisation. Par contre cette étape se différencie du cristal parce qu'elle met en mouvement des molécules et non des électrons comme dans le cristal. Les liaisons covalentes créées dans le cristal y restent fixées.
*: - étape de polymérisation: l'accumulation des aas et des monomères nucléiques crée une contrainte à la polymérisation; accélération des réactions chimiques par les protéines des ribosomes, des systèmes de transcription et de réplication.  
*: - étape de création et de réparation de l'ADN; mise en place du stockage de l'information par la création de gènes contraints par la polymérisation des aas. C'est le processus transcription/traduction à l'envers. Ceci n'est pas évident quand on raisonne séquentiellement, les produits des réactions chimiques, les protéines, l'ARN et l'ADN. Par contre en auto-organisation de l'ensemble, membranes incluses, c'est nécessairement vrai puisque la vie est basée sur l'auto-organisation. Il sera nécessaire de faire des expériences d'étapes pour élucider cette complexité. Et c'est surtout le passage de la protéine à l'ARNm qui pose problème sachant que les transcriptases inverses existent en biotique.
*: - étape transcription/ traduction
*: - étape réplication/division
==pense bête 4==
*Étape des eucaryotes 2: l'emprisonnement d'un liposome plus ou moins abouti entre les 2 1ères membranes me paraît une idée ad hoc. Comment vont communiquer 2 entités de niveaux de développement différents? La future mitochondrie dirigera-t-elle l'évolution de l'ensemble alors qu'elle vient juste de se former ou bien elle a un bagage conséquent et alors on se trouve toujours, quand on raisonne séquentiellement, dans la situation de la charrette avant les bœufs. Il m'est apparu alors qu'il serait judicieux d'ajouter une 3ème membrane confectionnée comme les 2 1ères. Aussi les 3 membranes ont des pores primitifs. La 1ère servira pour l'échange avec l'extérieur, la 2ème servira en plus de différentiel de potentiel et produira dans le futur de l'ATP et la 3ème fera fonction de réticulum endoplasmique. 
*Extraits d'internet: 
*: - &quot;''Les membranes associées aux mitochondries (MAM) représentent des régions du réticulum endoplasmique (RE) reliées de manière réversible aux mitochondries. Ces membranes participent à l'importation de certains lipides du RE vers les mitochondries et à la régulation de l'homéostasie calcique, de la fonction mitochondriale, de l'autophagie et de l'apoptose.''&quot;
*: - La membrane externe des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_externe&lt;/ref&gt;.
*: - La membrane interne des mitochondries &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane_mitochondriale_interne&lt;/ref&gt;.
*: - MAM &lt;ref&gt;https://en-m-wikipedia-org.translate.goog/wiki/Mitochondria_associated_membranes?_x_tr_sl=en&amp;_x_tr_tl=fr&amp;_x_tr_hl=fr&amp;_x_tr_pto=rq&lt;/ref&gt;
*: - La mitochondrie &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitochondrie&lt;/ref&gt;
*: - Génome mitochondrial &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nome_mitochondrial&lt;/ref&gt;: aucun gène de synthèse d'un phospholipide
*: - Synthèse de la phosphatidylcholine dans RL &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique_lisse&lt;/ref&gt;
*: - Synthèse de la membrane de la cellule, membrane cytoplasmique: &quot;Ces lipides seront intégrés à des vésicules d'exocytose qui fourniront leurs lipides à la membrane en fusionnant avec elle.&quot; dans RL fonctions de reticulum endoplasmique &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9ticulum_endoplasmique&lt;/ref&gt;.
*Étape de cristallisation 2:
*Étape de polymérisation 2:

==pense bête 5==
*Étape des eucaryotes 3: 
*: - En relisant le reticulum endoplasmique (wiki) j'ai remarqué que celui-ci est placé côte à côte de la mitochondrie et du noyau. Donc en plaçant, dans eucaryote 2, les 2 membranes l'une dans l'autre (celle de la future mitochondrie et celle du futur RE) je ne répond pas au principe de l'auto-organisation: les membranes étant des murs porteurs pour l'évolution moléculaire qui suit (cohésion mécanique et pores d'échange) ne peuvent pas être cassées puis recollées tout au début et les mettre donc côte à côte; l'auto-organisation exige une continuité dans l'évolution moléculaire et les 2 membranes doivent être dès le début côte à côte pouvant communiquer entre elles comme on l'observe dans le biotique actuel.
*: - Le noyau: En partant de cette remarque la membrane du futur noyau doit être présente aussi tout au début. On aura donc 3 membranes côte à côte avec la membrane cytoplasmique les enveloppant toutes les 3. Pour rappel, la formation d'une bactérie avec 2 bicouches impose que la 2ème recouvre la 1ère et doit se casser et verser son contenu dans la grande phase eau, et ensuite se recoller sous la contrainte d'un nombre croissant de micelles dans la grande phase huile. Ainsi la future membrane cytoplasmique des eucaryotes jouera le rôle de la 2ème bicouche des procaryotes. Elle va recouvrir 3 liposomes à une seule bicouche qui se trouvent, à ce moment là, côte à côte.
*Hydrogénosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Hydrog%C3%A9nosome&lt;/ref&gt; et mitosome &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Mitosome&lt;/ref&gt;: pas d'ADN, double membrane comme les mitochondries, produit ATP avec l'enzyme férrodoxine à 3 clusters [4Fe-4S] par monomère. Donc pas besoin de différentiel électrique sur les membranes.
*Membrane PE chez les bactéries et PC chez les eucaryotes: bizarre, dans la comparaison eucaryote/mitochondrie/E.coli les 2 membranes de la mitochondrie sont semblables à la membrane cytoplasmique du hamster &lt;ref&gt;https://kdl.kogistate.gov.ng/wp-content/uploads/2024/02/Biochemistry-of-Lipids-Lipoproteins-and-Membranes-5th-Ed.-D.-Vance-J.-Vance-Elsevier-2008.pdf&lt;/ref&gt; (page 3).
*La synthèse des monomères désoxyribonucléiques (dNP) sont fabriqués dans l'article chiralité 1, et sont accumulés dans un des liposomes, ce qui constituera le noyau.
==pense bête 6==
*auto-organisation du liposome 2: voir la formation des membranes prébiotiques au pense bête 1. Dans chiralité 1 qui vient du pétrole prébiotique j'ai présenté un processus idéal ou si l'on veut imaginaire, mais il me paraît maintenant tout à fait plausible. En effet dans pétrole prébiotique  je pars des clathrates de gaz et la formation de la soupe prébiotique avec des acides gras, de l'huile, futur pétrole, des aas et autres molécules est un mélange qui se scinde ensuite en 3 grandes phases, eau huile gaz. Dans ce mélange les membranes prébiotiques peuvent se former dans l'eau ou dans l'huile et vont se retrouver dans l'interface eau/huile comme dans chiralité 1, à cause de leur densité intermédiaire. A un certains stade de la formation de la poche de pétrole son toit est fait de clathrate qui produit de la soupe prébiotique et qui tombe par goutte à goutte comme dans chiralité 1 avec toujours des acides gras nécessaires à la formation du liposome.
*Les contraintes résultantes: 4 exemples, 
*#la grande surface des têtes carboxyliques à l'intérieur de la micelle incluse dans la grande phase huile induit la synthèse des têtes hydrophiles, 
*#les pores de la membrane externe remplis d'aas aliphatiques créent un potentiel électrique qui force le passage par ces pores de molécules hydrophiles dont les petits aas, 
*#les pores de la membrane interne plus l'espace inter membranaire favorisent l'accumulation des aas dans ces pores qui se comporteront comme un nuage accumulant ses électrons dans l'espace inter membranaire induisant un fort différentiel électrique qui déplacera les H+ nécessaires à la synthèse de l'ATP. 
*#l'isomérisation vers les aas L: D'après wiki sur les aas D &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Pr%C3%A9sence_naturelle_et_histoire_de_la_d%C3%A9couverte&lt;/ref&gt;, paragraphe 3
*#: - &quot;Il y a unanimité sur le fait qu'il y aurait eu dans la nature un premier déséquilibre entre acides aminés D et L. À partir de là, on peut très bien expliquer l'extrême enrichissement de l'une des deux formes, par amplification chirale, c'est-à-dire un effet d'auto-amplification qui conduit dans une réaction chimique, en présence d'un léger excès d'une des formes énantiomères, à un résultat encore plus déséquilibré.&quot; 
*#: - D'après chiralité 1, le 1er déséquilibre est du à la cohérence mécanique du liposome, notamment par la serine. L'amplification chirale est due à l'auto-organisation où les groupes d'aas pp-mt (voir ci-dessous polymérisation2) jouent le rôle de racémases.
*#: - la question que je me pose à ce stade est la suivante: est-ce qu'un polypeptide ne contenant que des aas D peut jouer le rôle d'une enzyme de type racémase déplaçant l'équilibre vers D. Si cette enzyme D est aussi efficace que l'enzyme L, alors au début de chiralité 1, les pp-mt L racémases ne joueraient pas le rôle d'amplificateur car ils seraient contrées par les pp-mt D. Dans le chapitre &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Acides_amin%C3%A9s_D#Acides_amin%C3%A9s_D_et_peptides_contenant_des_acides_amin%C3%A9s_D&lt;/ref&gt; de wikipédia, &quot;Acides aminés D et peptides contenant des acides aminés D&quot; il n'y a que des antibiotiques L avec quelques aas D (sous chapitre bactéries) ou alors des oligo peptides D chez les plantes mais dont on ne connaît pas la fonction et des toxines (sous chapitre éponge) avec des D et L alternés obtenus par racémisation après traduction de la protéine L.
*#: - L'alanine D remplace la vitamine B6, pyridoxine, c'est très important pour chiralité 1: (sous chapitre bactéries) en 1943 il a été montré &quot;qu'on peut remplacer complètement la pyridoxine (vitamine B6) nécessaire par de la D-alanine dans l'alimentation de certaines bactéries&quot;.
*#: - D-Ser et D-Asp ont un rôle physiologique dans le cerveau (wikipédia au début)
*#: - L'enzyme oxydase des acides aminés D (wiki chapitre du même titre): dégrade plus rapidement les D que les L.
*# Homochiralité des sucres: la situation est différente de celle des aas D. 
*#: - Apparemment le LGA est directement utilisé par la membrane dans le biotique (voir discussion chiralité 1). C'est ainsi que dans KEGG &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00040&lt;/ref&gt; LGA n'apparaît que dans 2 réactions 412.54 qui le produit et 111.372 qui le convertit en glycérol utilisé directement dans la membrane. 
*#: - Étonnamment il n'y a pas d'isomérisation comme avec les aas. Dans le biotique la seule isomérisation qui aurait pu produire du LGA est la réaction 5311 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00010&lt;/ref&gt;qui isomérise dans les 2 sens le DGA-3P et la DHA-P mais ne produit pas de LGA-P alors que la DHA-P est achirale. 
*# Citer d'autres exemples à un stade supérieur de l'évolution de l'auto organisation.
*polymérisation 2: 
*: - proto protéine de réparation, pp-rp; proto protéine ribosomale, pp-rb; proto protéine du métabolisme, pp-mt; membranaire, pp-mb. Je nomme ainsi les groupes d'aas à fonction enzymatique très faible.
*: - La 1ère polymérisation va être celle de l'ADN: Elle peut être aléatoire mais sous la contrainte de l'auto-organisation et ne nécessite que les pp-rp plus un peu de monomères ARN. Elle polymérise les monomères ADN vus dans chiralité 1 synthétisés avec les coenzymes prébiotiques.
*: - La polymérisation des ARNr et ARNt: C'est celle de l'ADN mais se produit avec des séquences à boucles qui contraignent l'ARN intermédiaire de la réparation à s'auto-apparier.
*: - Les ARNr et ARNt créent les pp-rb en attirant les aas adéquats. Dans pense bête 1 (paragraphe 4), j'ai dit que quelques peptides peuvent se former sous l'action des pp-mt et de monomères ARN dont l'ATP pour mimer un ribosome.
*: - Les RNAm: les clusters de RNA, [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Synth%C3%A8se_par_clade#Hypoth%C3%A8se_de_la_contrainte_physique_du_cluster|5s]], CDS intra cluster avec un [[Recherche:Les_clusters_de_g%C3%A8nes_tRNA_et_rRNA_chez_les_procaryotes/Fiche/Proteobacteria#alpha_typage_absence_de_cds|triplet taa]]. Ce CDS peut récupérer le s70 du 16s comme promoteur. Ces promoteurs auront tendance à s'ouvrir d'où intervention des pp-rp qui produisent alors un RNAm, c'est la transcription. La séquence transcrite  a été produite sous la contrainte résultante de l'auto-organisation.
*: - La traduction: La contrainte résultante de la transcription va organiser le ribosome et les ARNt en un système de plus en plus efficace.
*: - Cette efficacité crée une contrainte résultante qui poussera les pp-mt à être remplacées par des enzymes de plus en plus efficaces.
==pense bête 7==
*Homochiralité des aas par les racémases: Les racémases du biotic déplace l'équilibre vers D alors que celles du prébiotic devraient le faire vers L et donc faire disparaitre les D pour arriver à l'homochiralité. Et les oxydases des D qui les élimineraient utilisent O2 avec des coenzymes FAD donc trop évoluées pour l'évolution prébiotique. Reste les enzymes qui enlèvent NH2.
*Énergie prébiotique: j'ai recensé les enzymes qui partent de DHA et n'utilisent pas de thiamine nécessaire pour la synthèse du ribose et pour le cycle de Krebs. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par EC2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT. Les réactions qui nécessitent l'ATP peuvent utiliser dATP comme le cas réel de certaines et supposées pour les autres. Les réductases qui utilisent NAD peuvent le remplacer par H2 comme proposé pour le glycérol à partir de DHA mais en présence de la surface ionique de la membrane.
*Homochiralité des sucres: Je ne mets plus en avant la disparition du LGA. L'homochiralité des sucres vient du fait que l'isomérie enzymatique de DHAP en GAP ne produit que DGAP parce que DHA n'est pas chiral mais symétrique. Cette symétrie même dans DHAP a comme axe la double liaison de O qui est située en C2. L'enzyme étant L, entièrement, fait entrer DHAP par le processus mécanique lévogyre qui avantage la droite de DHAP par rapport à O d'où DGAP. Cette situation n'est valable que pour DHA d'où l'homochiralité des sucres. Quand les enzymes L vont agir sur des sucres L,  elles ne vont pas les transformer en D. C'est ce qui me parait se confirmer avec la biologie synthétique qui produit du DNA et RNA L et les enzymes de la transcription et traduction agissent comme sur des nucléotides D.
*Homochiralité des protéines: Elles sont toutes L. Le comportement de l'isomérase de DHAP m'a rappelé l'intuition, dans pense bête 6, que les proto racémases prébiotiques ne peuvent être que de forme L parce qu'elles ont la faculté de mettre en œuvre la mécanique lévogyre pour faire entrer le substrat, quelle que soit sa taille, alors que la mécanique dextrogyre l'éloigne. C'est pour ça que la fonction enzymatique des ribozymes ne peut se faire qu'avec l'aide des protéines et de l'ARN biotique, comme la réplication de l'ADN et sa réparation avec les protéines. Est-ce que les proto enzymes de création et de réparation de la proto ADN peuvent se faire sans ARN? En tout cas dans le biotique la RNAse P agit sans ARN dans le noyau, la mitochondrie et le chloroplaste chez toutes les plantes et les mitochondries des animaux et des champignons. Pourquoi pas avec la proto ADN et les proto enzymes ( sans les RNA quand je pensais qu'il n'y avait que les dRs en prébiotic)? En conclusion l'homochiralité des proto enzymes L, chassent les aas D prébiotiques. Cette homochiralité est initialisée par les PLD PS et amplifiée ensuite.

==pense bête 8==
*Les penzymes ne peuvent pas faire la différence entre dRibose et Ribose, étant faites d'aas non liés. En biotique déjà ATP est souvent remplacée par dATP. En conséquence quasiment tout le métabolisme peut être fait en l’absence de Ribonucléotides notamment Ar AMP ADP ATP. Ainsi la majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés (très lentement par les penzyme et les dRNnP) comme la thiamine et le CoA. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisés par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des enymep et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*Les aas agissent en synergie avec les dRNnp: ainsi pour thiamine CoA NAD ....
*: - Thiamine: Tyr Gly Cys (S-cp), His+B6 ou bien PRPP Gln Gly Formate Gln puis S-adenosyl-Met. Nécessite NAD Fe pour EC242.60, et thiaminePP pour EC2217
*: - NAD: Asp (nécessite FAD, substrat O2 ou fumarate et nécessite alors NAD), DHAP (4Fe-4S), PRPP, Gln.
*: - FAD: GTP (Zn Mg), NAD, dATP à la place de ATP pour FMN et ATP seul pour le dinucléotide FAD. 
*: - CoA: (Val ou pyruvate) et β-Ala (vient de Uracile Asp Arg Pro) et Cys (pour les bactéries et nécessite CTP).
*: - B6: [Erithrose-4P (NAD) et Glu (B6) et 1-Deoxy-D-xylulose 5P] ou [Ribose 5P + Gln +DGAP] ou [Ribulose 5P + Gln + DHAP]
*: - Biotine: Malonyl-acp (ou malonyl-CoA) + S-adenosyl-Met puis Ala (B6) puis S-ado-Met ou S-ado-Cys (B6) puis ATP ou CTP puis S-ado-Met + S-carrier (2Fe-2S) puis ATP puis CoA donne biotinyl-CoA.
*: - acide lipoique: dans synthèse des acides gras, transfert de l'octanoyl d'une protéine acp à une protéine lcp qui fixe l'octanoyl sur le N6 d'une lysine. La réaction complexe suivante est
*:: lcp + protéine[4Fe-4S]2+  +  2Sado-Met + 2 ferredoxine[2Fe-2S]réduites + 8H+ ===&gt;  dihydrolipoyl-cp (c'est à dire sh sh ) + protéine + 2H2S + 4Fe2+ + 2Met + 2 5'-Deoxyadenosine + 2 ferredoxine[2Fe-2S]oxydées.
*:: Voir dans synthèse de KEGG l'utilisation de lcp: acetyl-CoA succinyl-CoA glutaryl-CoA et autres CoA et enfin 5,10 mytilène-THF. Intervention de FAD ThiaminePP glycine et THF.
* En supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 2 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique, 
*: - Trp donne Ser qui donne Cys et Gly puis Gly donne Thr: total Trp donne 4 aas
*: - Asp donne Asn et Ala
*: - Glu donne Gln 
*: Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Trp Glu Asp qui donnent 7 aas dérivés. Pour His donnerait éventuellement Glu car elle bloque l'hydrolase EC 421.49 qui a besoin de NAD. Quelle la production de cet enzyme sans NAD. Peut être une très faible production suffirait en prébiotique.
*Dans une 2ème étape de l'abstraction du ribose, il faut imaginer et si possible tester, les cofacteurs issus du desoxyribose avec PdRPP (dR-1P + dR-5P et dATP) qui donnerait dNAD dFMN dFAD, dATP qui donnerait dCoA et S-dAdenosyl-Met et dGTP donnerait dTHF. Dans cette hypothèse on reproduirait la biosynthèses des desoxynucléotides mais pas des nucléotides. C'est le monde ADN qui serait marqué par des vitesses très faibles sans pour autant donner PRPP qui a besoin de la thiamine issu de protéines transportant les aas nécessaires à sa synthèse
*Aussi la 3ème étape pour arriver au ribose nécessite la mise en place de l'ADN et de sa transcription pour la thiamine mais aussi l'acide lipoique nécessaire à la synthèse des acides gras.

==pense bête 9==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes. Ce qui serait le cas des penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. '''*'''421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Correction de pense bête 8: Le ribose et le dR peuvent être synthétisés par les penzymes contrairement à pense bête 8.
*: - La majorité des cofacteurs peuvent être synthétisés très lentement par les penzymes (voir essai1 à la fin ainsi que pense bête 7), RNnP et dRNnP sauf la thiamine, biotine, acide lipoïque et les autres cofacteurs qui ont besoin d'un transporteur protéique. Certaines enzymes ayant des activateurs minéraux ou de molécules simples peuvent être plus efficaces mais le cas des penzymes transmembranaires peuvent être nombreuses (par le principe d'auto-organisation) et très efficaces parce qu'elles sont plus organisées par la contrainte de la membrane. Ceci fait que le rôle de la membrane va décupler et compenser l'inefficacité des penymes, de RNnP et de dRNnP. Ceci entraine l'accélération de la mise en place des perméases et donc l'apport du P et des sucres externes produits par la réaction de formose dans la soupe prébiotique et donc un apport d'énergie. Cela entraine aussi la mise en place des systèmes énergétiques transmembranaires.
*: - Synthèse des RNnP et des dRNnP sans cofacteurs: voie des pentoses P
*:: + 5 RNnP: '''*'''412.13 (DGAP+DHAP, zinc) &lt;&gt; Fructose 1-6P, '''*'''313.11 (H2O)&lt;span style=&quot;background-color: #ffff00;&quot;&gt; &gt; &lt;/span&gt;Fructose 6P + P, '''*'''531.27 &lt;&gt; arabino 6P, '''*'''412.43 &lt;&gt; Ribulose 5P + formaldehyde, '''*'''5316 (isomérase) &lt;&gt; Ribose-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; R-1P, '''*'''271.15 (R-5P ADP) &lt;&gt; R + ATP, '''*'''2761 (R-5P dATP) &lt;&gt; PRPP. 
*:: + 3 dRNnP: '''*'''4124 (DGAP acétaldéhyde) &lt;&gt; dR-5P, '''*'''5427 (mutase) &lt;&gt; dR-1P, '''*'''271.15 (dR-5P ADP) &lt;&gt; dR + ATP.
*:: + La suite (hors biosynthèse des bases, donc avec la soupe prébiotique) est identique pour les dRNnP et les RNnP avec utilisation de l'ATP en biotique. Tous les dRN sont produits sauf pour dCTP qui est produit par '''*'''2426 qui transfère le dR sur C à partir d'un dR-AGUT.
*: - Synthèse des bases sans cofacteurs: ATGC His
*:: + 6 UMP: '''*'''6355 (ATP Gln CO2) &gt; carbamoyl-P, '''*'''2132 (Asp) &gt; Asp-CB, '''*'''3523 &gt; orotate0, '''*'''13.98.1 ('''FMN+fumarate''') &gt; orotate, '''*'''241.10 (PRPP) &gt; orotidine-P, '''*'''411.23 &gt; UMP.
*:: + 1 CMP: '''*'''6342 (ATP UTP NH3) &gt; CTP
*:: + 2 dUMP: '''*'''2422 (U + dR-1P) &gt; dRU, '''*'''271.21 (dGTP) &gt; dUMP
*:: + 2 dCMP: '''*'''2426 (comment' de '''*'''2424) pour purines et pyrimidines, dR-base1 + base2 &lt; &gt; base1 + dR-base2, avec base1=U et base2=C on a dR-C
*:: + 2 dTMP: '''*'''211.148 ('''FAD et Folate''') dUMP &gt; dTMP, ou alors '''*'''2426 si on a Thymine avec '''*'''3541 à partir méthyl-C d'où Folate aussi (à vérifier)
*:: + 13 IMP: '''*'''214.42 (PRPP Gln) &gt; R-N2, '''*'''634.13 (ATP Gly) &gt; RN2-Gly (GAR), '''*'''631.21 (ATP + formate vient de '''*'''351.10 ('''folate''')) &gt; RN2-Gly-formate (FGAR), '''*'''6353 (Glu ADP P) &gt; RN-Gly-Formaldéhyde (FGAM), '''*'''6331 (ATP cyclase) &gt; Aminoimidazole ribotide (AIR), '''*'''634.18 (ATP HCO3-) &gt; AIR-N-CO2H, '''*'''54.98.18 (carbxymutase) &gt; AIR-C-CO2H (CAIR),  '''*'''6326 (ATP Asp) &gt; CAIR-Asp (succino d'où SCAIR), '''*'''4322 &gt; carboxamide (AICAR sans succino) + fumarate, '''*'''634.23 (archées ATP formate, autres avec folate '''*'''2123) &gt; FAICAR, '''*'''354.10 (cyclase) &gt; IMP +H2O.
*:: + 2 AMP: '''*'''6344 (IMP GTP Asp) &gt; IMP-sucino, '''*'''4322 &gt; AMP + fumarate.
*:: + 2 GMP: '''*'''111.205 (IMP NAD) &gt; XMP, '''*'''6352 (ATP NH3) &gt; GMP
*:: + 2 dAMP,G: '''*'''2421 (A,G + dR-1P) &gt; dRA et dRG, '''*'''271.76 (ATP) &gt; dAMP et dGMP
*:: + 9 His: '''*'''242.17 (PRPP ATP) &gt; PP et 1(R-5P)ATP, '''*'''361.31 (H2O) &gt; 1(R-5P)AMP et PP, '''*'''354.19 (H2O) &gt; R-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''531.16 (isomérase) &gt; Ribulosyl-1P.formimino.AICAR-P, '''*'''432.10 (Gln) &gt; Glu AICAR Imidazole-glycérol3P, '''*'''421.19 Imidazole-acetolP H2O, '''*'''2619 (B6 Glu) &gt; oxoGlu et Histidinol-P, '''*'''313.15 (H2O) &gt; P et Histidinol, '''*'''111.23 ('''2NAD''') &gt; Histidinal puis His.
*: - Synthèse des cofacteurs: NAD FAD B6 Folates et sans autres cofacteurs.
*:: + 6 NAD: '''*'''143.16 (Asp O2 ou fumarate '''FAD pr''') &gt; H2O2 (ou succinate) + iminoAsp &gt; en plus H2O2, '''*'''251.72 (IminoAsp DHAP '''[4Fe,4S]-pr''') &gt; quinolate, '''*'''242.19 (PRPP cyclase) &gt; Nicotinate-R-5P (NMP) plus CO2, '''*'''2771 (ATP) deamino-NAD+ , '''*'''6351 (NH3 ATP) &gt; NAD+, '''*'''271.23 (ATP) &gt; NADP (P sur le 2' du ribose de l'ATP).
*:: + 10 FAD: '''*'''354.25 (GTP Zn Mg) &gt; pyrimidine formate, '''*'''354.26 (H2O) &gt; 5-amino-ribosil-uracile et NH3, '''*'''111.193 ('''NADP''') 5-amino-ribityl-uracile, '''*'''313.104 (Mg phosphatase) &gt; 5-amino-6-(D-ribitylamino)uracil, ('''*'''41.99.12 (Ribulose 5P) &gt; butanone 4P et formate), '''*'''251.78 (butanone ribityl-uracil) &gt; lumazine et P, '''*'''2519 ('''FAD pr''' 2 lumazines) &gt; Riboflavine et ribityl-uracil, '''*'''271.26 (ATP &gt; dATP &gt; CTP &gt; UTP) &gt; FMN et ADP, '''*'''2772 (ATP FMN) &gt; FAD PP, '''*'''151.36 (FAD NAD) &gt; FADH2 et (FMN NAD) &gt; FMNH2.
*:: + 1 B6: peut être remplacée par D-Ala. '''*'''4336 (Gln R5P DGAP) &gt; Pyridoxal-5P et Glu P, ou bien (Ribulose 5P, Gln, DHAP) &gt; idem.
*:: + 12 Folates: '''*'''354.25 ('''GTP''' Zn) &gt; formate pyrimidine-P, '''*'''421.160 &gt; neoptérine-P et H2O, '''*'''412.59 &gt; dihydropterine et glycolaldéhyde-P, '''*'''2763 (ATP) &gt; PP-dihydropterine, '''*'''251.15 ('''aminobenzoate''' de chorismate) &gt; dihydropteroate et H2O, '''*'''632.12 (ATP Glu) &gt; dihydrofolate, '''*'''1513 ('''NAD''') &gt; tetrahydrofolate.
*::: ~ '''aminobenzoate''': '''*'''2611 (Phe B6 oxoGlu) &gt; Phe-pyruvate Glu, '''*'''421.51 (CO2) &gt; prephenate, '''*'''54.99.5 (mutase) &gt; chorismate, '''*'''261.85  (NH3) &gt; amino-deoxychorismate, '''*'''413.38 (B6) &gt; 4-amino-benzoate et pyruvate.
*:: + CoA: '''*'''2216 ('''Thiamine-pr'''  pyruvate ou oxobutanoate[vient de Thr moins CO2, '''*'''431.19 dans Val]) &gt; aceto-lactate ou aceto-butanoate, '''*'''111.86 ('''NAD''') &gt; CH3-butanoate ou CH3-pentanoate, '''*'''4219 &gt; CH3-oxobutanoate et H2O, '''*'''212.11 ('''Ch2-THF''' H2O) &gt; dehydropantoate, '''*'''111.169 ('''NADP''') &gt; pantoate, '''*'''6321 (ATP beta-Ala[vient de Asp '''*'''411.11]) &gt; pantothenate AMP PP, '''*'''271.33 (ATP) &gt; ADP et P-Pantothenate, '''*'''6325 (Cys CTP) &gt; P-Panto-Cys + CMP, '''*'''411.36 &gt; P-Pantotheine et CO2, '''*'''2773 (ATP) &gt; PP dephospho-CoA, '''*'''271.24 (ATP) &gt; CoA et ADP (P sur 3 et non 2 qui est la place de dATP).
*: - Synthèse des aas
*:: + Les aas agissent en synergie avec les RNnP et les dRNnp, ainsi en supposant qu'en prébiotique que les protoenzymes (penzymes) et en ne considérant que 4 cofacteurs dans les réactions de dégradation des aas, ATP qui ne fournit que P ou PP et n'est pas manipulée dans sa structure AMP (et c'est pour cela que je la remplace en prébiotique par dATP parce que c'est le cas pour certaines réactions en biotique) ensuite Pyridoxal (B6) qui peut être remplacé par D-Ala (ref.) en prébiotique ensuite NAD FAD Folate, 
*::: - Trp: '''*'''421.20 (DGAP H2O B6) &gt; indole-glycerolP [Ind-GP ('''Ser''') &gt; Trp DGAP H2O], '''*'''411.48 (Ind-GP CO2 H2O) &gt; Phe-dRibulose-5P, '''*'''531.24 (isomérase) &gt; anthranilate-R5P, '''*'''242.18 ('''PP''') &gt; '''PRPP''' Anthranilate
*::: - Ser: '''*'''261.45 ('''Glyoxylate''' B6) &gt; Gly '''OH-Pyruvate'''
*::: - Gly: '''*'''412.48 (B6 '''acetaldehyde''') &gt; Thr, idem ('''glycolaldéhyde''') &gt; '''OH-Thr''' (voir synthèse B6)
*::: - Cys: '''*'''421.22 (Ser B6) &gt; Cys, idem (Ser '''HomoCys''') &gt; '''Cysta-thionine''', '''*'''4411 (Cysta H2O B6) &gt; Cys NH3 '''Oxo-butanoate'''
*::: - Asp &gt; Asn et '''*'''411.12 (Asp) &gt; Ala et CO2
*::: - Glu &gt; Gln 
*::: - 4 His: '''*'''4313 ('''MIO''') &gt; Urocanate NH3 &quot;MIO, This unique cofactor is formed autocatalytically by cyclization and dehydration of the three amino-acid residues alanine, serine and glycine&quot;, '''*'''421.29 (H2O NAD-pr) &gt; Imidazolone, '''*'''3527 (H2O) &gt; Formimino-Glu, '''*'''3538 (H2O) &gt; formamide et '''Glu''', '''*'''411.22 (His B6 ou '''pyruvoyl''') &gt; Histamine  et CO2, '''*'''143.22 (H2O O2 '''Qinone-pr''') &gt; NH3 H2O2 Imidazole-acetaldehyde, '''*'''1213 (NAD) &gt; Imidazole-acetate, '''*'''1.14.13.5 (O2 NAD) &gt; Imidazolone et H2O, '''*'''352- (H2O) &gt; Formimino-Asp, '''*'''3535 (H2O) &gt; formyl-Asp et NH3, '''*'''3518 (H2O) &gt; Formate et Asp.
*::: - Ce qui fait qu'on a 10 aas solitaires et Ser Glu Asp qui &gt;nt 7 aas dérivés. Pour His &gt;rait Asp et Glu mais vérifier MIO Qinone-pr.

==pense bête 10==
* Est-ce que le Trp est dans la soupe prébiotique? Si c'est le cas sa dégradation dans le biotique donne PRPP sans coenzymes et le serait de même avec les penzymes. Voir KEGG dans biosynthèse de Trp Phe Tyr. EC421.20 2TrA+2TrB, TrA 268aas et TrB 397aas chez ecoli. (BioCyc)
*Les aas sont créés à partir des amines primaires du pétrole issu de FTT et Haber Bosch(N2), dans une micelle aqueuse de ce pétrole. L'alkyle-amine pointe son amine vers l'eau (hydrophile) à côté des acides gras. L'hypothèse, qu'il faut vérifier, ces acides gras catalysent la fixation d'un CO2 au carbone alpha. Est-ce que le nouvel aa est L, D ou DL? En tout cas si le radical est aliphatique l'aa reste dans la membrane pour participer à la synthèse d'un pore en accumulant d'autres aas. Si le radical est petit l'aa ira dans l'eau où le radical deviendra hydrophile par ajout, de façon abiotique, de fonctions acide amide amine et d'autres.
*: - Les mono-amines: Val Leu Ile Phe Tyr Trp Ala Ser Cys Gly Thr His. Methylamine Gly, ethylamine Ala Phe Tyr Trp His, éthanolamine Ser, éthyl-thiol Cys, méthyl-éthanolamine Thr.
*: - Les diamines: Lys Orn (Arg Pro) Glu Gln Met Asp Asn. 1-3diamino-propane Glu Gln Met: NH2 remplacé par CO2 Glu et Glu+NH3 donne Gln, remplacé par le méthanethiol, C3HS Met; 1-2diamio-ethane Asp Asn: NH2 remplacé par CO2 Asp et Asp+NH3 donne Asn; 1-4diamino-butane Orn: NH2 cycle Pro, Orn + carbamoylP donne Citrulline, en ajoutant NH3 on obtient Arg; 1-5 diamino-pentane Lys, non transformé.
*: - Maj des diamines le 20.10.25: Ce sont Asp et Glu qui me posent le problème pour ajouter CO2 à la 2ème amine si je pars d'une diamine dans le pétrole prébiotique. Aussi je ne garde que 2 diamines Lys Orn, Met peut être produit comme Cys, le S étant fréquent dans le pétrole prébiotique notamment avec le methylmercaptan C3HS. Donc pour Asp Glu je pars plutôt de Asn et Gln puis ajout de H2O pour obtenir les acides (EC3511 EC3512). Les noms des monoamines correspondant sont 3-amino-propioamide pour Asn et 4-aminobutanamide pour Gln. Rechercher la monoamine pour Met.
*: - Comparer la solubilité aa/monoamine (? IA):  les monoamines sont plus solubles dans le pétrole et l'ether que les aas.
==pense bête 11==
*Tanger le 7/12/25

* Ce pense bête vient après essai2: j'y ai introduit le principe d'auto-organisation des acides gras avec les acides aminés ainsi que celle des acides aminés, libres, agissant en concert pour initialiser, même très lentement, le métabolisme central. Or comme avec chiralité1 je pars avec un nombre limité d'acides aminés qui sont séquestrés par les phospholipides et dont le nombre augmente par les apports extérieurs. Ce qui m'a permis de décrire un scénario, très superficiel, pour mettre en place le métabolisme central. Mais en adoptant le principe d'auto-organisation, avant la mise en place du liposome dans l'eau avec ses pores prébiotiques, il fallait créer de nouveaux aas pour que leur nombre puisse simuler, de plus en plus, le comportement des enzymes. Par exemple, en partant de la Gly, j'obtiens la Thr en ajoutant de acétaldéhyde en présence de pyridoxal phosphate, B6 (EC 4125 dans KEGG).

* C'est en cherchant la création du Trp que je suis tombé sur l'utilisation exceptionnelle du D-Glycéraldéhyde 3-phosphate, DGA. C'est l'unique enzyme EC 421.20 qui l'utilise pour la création d'un aa à partir d'un autre: indole + DGA donne Indole glycérol-P, encore en présence de B6, puis en ajoutant Ser on obtient Trp plus DGA, soit en condensant, Indole + Ser donne Trp. C'est remarquable de 2 points de vue: le DGA est utilisé pour la synthèse de la tête des phospholipides à laquelle est ajouté la Ser laquelle est décarboxylée en éthanolamine, constituant principal des PLPs.

* L'idée qui a germée alors, c'est que l'auto-organisation pourrait créer, non seulement le métabolisme central avec un grand nombres d'aas mimant les enzymes, mais les aas eux-mêmes par un processus propre aux micelles. J'ai abordé dans chiralité1 l'importance de la micelle pour la synthèse des têtes hydrophiles et l'importance de la couche de molécules entre la phase aliphatique comprenant les acides gras et la phase hydrophile: [[Recherche:Chiralité_prébiotique#La_mise_en_place_de_l'homochiralité_prébiotique:|Les vésicules de la phase huile]]. J'ai signalé aussi que la micelle ne se transforme pas en liposome rapidement, mais qu'elle reste en suspend entre les 2 phases principales parce que sa densité est inférieure à celle de l'eau. La double couche ne se forme pas et la micelle reste en contact avec l'huile qui s'enrichit en molécules plus ou moins hydrophiles. Et donc elle peut récupérer les précurseurs des aas indéfiniment.

*Dans un 1er temps j'ai cherché à voir si c'était vrai pour Phe et Tyr qui ressemblent à Trp. Non il n'y a pas de GDA. Mais j'ai pensé que je pouvais remplacé l'indole par la phényléthylamine pour Phe et par la tyramine pour Tyr, qui sont obtenus par décarboxylation dans le biotique. Du coup ça m'a rappelé que la tête éthanolamine est issue de la tête à Ser. Et si les précurseurs des aas dans la micelle seraient des amines primaires pointant dans la phase eau son cation comme les aas gras présentent leur anions. Ceci équilibrerait les charges, au moins par endroit. Mais comment sera fixé le CO2 sur le carbone de l'amine pour constituer un aa? Est-ce que les têtes des ags entourant l'amine joueraient le rôle de catalyseur? Pour les aas linéaires cela semble probable si on admet que le pétrole prébiotique est issu, à hautes températures et pressions, par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' pour les aliphatiques et la réaction de '''Haber-Bosch''' pour les molécules aminées. Mais le problème semble plus compliqué pour les aromatiques, Trp Tyr Phe et surtout His. Par ailleurs les amines sont utilisées dans l'industrie pour éliminer le CO2 et les thiols du pétrole fossile. On utilise l'éthanolamine et les produits avec le CO2 sont des carbamates et non des acides aminés &lt;ref&gt;https://fr.wikipedia.org/wiki/Carbamate&lt;/ref&gt;. Le C de CO2 est lié à N de NH2.

*Les aminonitriles: 
*: - dans le '''biotique''' l'enzyme EC 14.99.5 transforme Gly en cyanure et CO2 en présence d'un accepteur d’électrons de la chaine respiratoire et elle est attachée à la membrane. Cependant cette enzyme accepte aussi différents type d'accepteurs artificiels qui seraient présent dans la micelle. 
*: - Ensuite le cyanure et la Cys donnent la cyano-Ala et H2S avec l'enzyme EC 4419 (coenzyme B6). Puis la cyano-Ala et 2H2O sont transformés en Asp et NH4 avec EC 3554. Voilà encore qu'un aa, Cys, donne un autre aa, Asp.
*: - En '''abiotique''' il a été proposé, depuis longtemps, que la réaction de strecker pourrait se faire dans les conditions de la Terre primitive. Un aldéhyde en présence de NH4 et du cyanure donne un alpha-aminonitrile qui s'hydrolyse en aa et NH4. Les aminonitriles remplaceraient les amines dans la micelle avec l'hypothèse de l'auto-organisation et produiraient des aas. Du point de vue encombrement stérique la tête de l'acide gras (CO2) et celle l'alpha aminonitrile ont le même poids 44 contre 42.
*:: + Les aldéhydes dans l'huile: les expériences en laboratoire mimant la formation du pétrole par la réaction de '''Fischer-Tropsch''' seule ne produit pas d'aldéhydes. Cependant la présence de cyanure hypothétique dans la production du pétrole prébiotique (Fischer + Bosch) pourrait neutraliser les aldéhydes dès leur formation en donnant des aminonitriles de 2 types, les cyanidrines, des nitriles avec un OH à la place du NH2 (action du cyanure seul) et les alpha-amononitriles. Dans le cas de l'acétaldéhyde on aura respectivement l'acide lactique et l'alanine après hydrolyse. On voit bien que le pétrole prébiotique permet de produire 2 molécules du métabolisme central biotique pour le même aldéhyde.
*:: + Les aldéhydes dans l'eau: C'est la réaction de formose. Dans chiralité1 la goute de la soupe prébiotique qui tombe dans le pétrole prébiotique est issue de la même soupe qui a produit ce pétrole. Ici, après la lecture de l'expérience Pascal (ref.), la goutte qui tombe provient de la réaction de formose produite sur de l'olivine à faible température, 80°C au lieu de 300 pour Fischer et 800 pour Bosch. La goutte contient des aldéhydes et des sucres. Une fois dans le pétrole cette goutte attire les hydrophiles dont les ags de la micelle mais aussi l'ammoniac, le cyanure et d'autres molécules azotées. D'ailleurs la goutte peut contenir d'autres aldéhydes autres que ceux de formose avec des roches diverses, différentes de l'olivine. Donc le scénario que je propose pour chiralité2 c'est le contact entre le pétrole prébiotique, produit en profondeur à température et pression élevées, avec l'olivine et d'autres produits des sucres et des aldéhydes.
* L'histidine
* Les aromatiques
* Lysine ornitine et proline
==pense bête 12==
*Paris le 27/02/26
*Les lectures
*: - subduction: HCN 2025, HCN debret 2020, serpentinite 2025, cyanure 2025, cyanure 11-2025, ftt 2018 1999 2001, sutherland 2015
*: - sources hydrothermales: aubrey 2009, krebs 2024 et 20-24, formamide 2018, simulateur hydrothermale 2023 2025, barge 2019, minéraux stratifiés 2024, Fe-S clusters 2025, CS2 2005
*: - Formose: His 1990 (erythrose), His 2017 (tripeptide), formose olivine r. pascal 2024,
*Plan
*: - postulat: ça s'est fait tout seul
*: - principe d'auto-organisation: abiotique prébiotique biotique
*: - principe de continuité pour les réactions chimiques: abiotique, pseudo-biotique, quasi-biotique, biotique
*: - principe de dynamique: dynamique gravitationnelle (subduction), dynamique chirale des aas (catalyse par aas), dynamique moléculaire (transports)
*Les aas abiotiques:
*: - Krebs article, CO2 H2 formate d'NH4 et Ni ou Pd, pH 8 T 22°C 
*:# Gly de glyoxylate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Ala de pyruvate voir simulateur hydrothermale 2025
*:# Asp de oxaloacetate (voir sa formation IA du 01/03/2026)
*:# Glu de alpha cetoglutarate (voir sa formation krebs 2020-24)
*:# Val formation de l'α-cetoisovalerate non trouvée aldolisation
*:#: + '''aldolisation''' (IA): Formation d’un énolate du pyruvate, Addition nucléophile sur un aldéhyde (formaldéhyde), Réarrangement + oxydation, Les surfaces minérales (FeS, NiS, argiles) peuvent catalyser l’aldolisation.
*:# Leu formation de l'α-cetoisocaproate non trouvée (aldolisation IA: l'aldéhyde est l'acétaldéhyde)
*:# Ile formation de l'α-ceto-3methylpentoate non trouvée (IA aldolisation Leu réarrangement)
*: - autres
*:# Ser, aubrey faible
*:# Thr, plus acétate
*:# Asn, NH3
*:# Gln, NH3
*: - Formose
*:# His, erythrose formamidine HCN
*: - FTT
*:# Trp, indole plus Ser ou Fritz
*:# Phe, benzène aldéhyde plus HCN
*:# Tyr, phénol aldéhyde plus HCN
*:# '''Orn''', aldéhyde 4C plus amination du méthyl de fin
*:# Lys, aldéhyde 5C plus amination du méthyl de fin
*:# Cys, H2S à la place de H2O de Ser
*:# Met, homocystéine plus CH3
*: - Réactions quasi biotiques
*:# Arg, réaction quasi biotique, Orn plus carbamoyleP plus urée donne citruline
*:# Pro, réaction quasi biotique, Orn moins NH3
===notes des lectures===
*Aubrey 2009: T 125-175°C Pression des sources (2000m, 200bars), pas de catalyseur minéral, formiate d'ammonium (NH4+HCO2-) de 100 mM (1-100), pH 8, 20 mn chauffage: (Figure 3) produits DL Gly Ala Ser Asp Glu avec traces de Val beta-Ala et gaba (hypothèse le formiate se transforme en formamide puis cyanure). Avec formaldéhyde (HCHO/NH3/H2S) dans les mêmes conditions donne (Figure 4 et 5) ethanolamine Gly DL Ser Ala et alpha aminoisobutyric acide, beta-Ala et autres (démarre avec glycoaldéhyde puis glycolic acide, pas de cyanure).
*Krebs 2024: T 22°C pression, CO2 +H2 '''puis''' α-cetoacides + NH4+, catalyseur Ni ou Pd, pH 8, 72h
*Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*Simulateur hydrothermale 2023: revue du monde peptidique dans les boues des sources hydrothermales. 
*: - La membrane est faites de peptides en contact avec les membranes minérales. Cette théorie réfute l'apport externe en acides gras produits par le procédé FT et provenant des profondeurs. Par contre cette théorie n'envisage aucun passage du monde peptidique (avec la réplication par prion) au monde biotique avec interaction entre nucléotides et peptides aboutissant à la transcription et la réplication qu'on connaît. C'est à la fin du chapitre 6:&quot;Cependant, il n'existe actuellement aucun lien direct entre un système putatif de reproduction fougerite-mackinawite-peptide et un système réplicatif basé sur les nucléotides.&quot;
*: - Vérifier la production de Lys et Orn par les membranes peptidiques supposée à la fin du chapitre 5: &quot;L'extrapolation à partir d'expériences microfluidiques similaires impliquant des membranes de type jardin chimique comprenant de la fougérite, ainsi que des nanocristaux de mackinawite subsidiaires, devrait réduire ces protons externes en hydrogène et réduire le carbonate en monoxyde de carbone et en acides carboxyliques ; le nitrate et le nitrite en oxyde nitrique et en ammonium ; et en outre, que l'ion ammonium aminerait les ions carboxyliques en acides aminés « courts » tels que la glycine, l'alanine, l'aspartate, la sérine, l'ornithine et la lysine (Hafenbradl et al., 1995 ; Huber et Wächtershäuser, 1998 ; Grégoire et al., 2016 ; Barge et al., 2019).&quot; J'ai vérifié 1998 synthèse des peptides en sources hydrothermales, 2016 Asp, 2019 Ala, 1995 Phe Tyr α-amino adipate (Lys) Gly Ala Val Leu Ile Glu. Je n'ai pas trouvé Orn Ser. Manque en plus Cys Met Trp His Thr

==pense bête 13==
*Paris 29/6/26
*Article de départ
*: - Simulateur hydrothermale 2025: incubateur CO2 N2 H2O H2 milli fluidique 200bars, olivine pyrite magnétite. Conclusion du chapitre 5, Optimum à 150°C magnétite donne ammoniac, CO, CH4, formate, acétate, pyruvate, le méthanol et l’éthanol, ainsi que des composés plus complexes comme le lactate, le propionate ou le glycolate. A la page 149 il n'y a pas d'acides aminés, et pH neutre à acide 6-7 (à cause de la concentration en CO2) n'est pas favorable à Strecker ou formamide (pH 9-10).
*: - Thermodynamique des processus irréversibles: (philosophie, Auto-organisation, autonomie et identité Alvaro Moreno; thermodynamique des processus irréversibles, Glansdorf et Prigogine 1971, Stengers 1985). Le principe c'est qu'un processus s'établit par des réactions très lentes même avec des concentrations très faibles et les équilibres sont dirigés par les réactions suivantes. C'est une séquestration analogue à celle des aas par la membrane (ref. prébiotique 1).
===Liste des réactions Kegg sans cofacteurs===
*hypothèses: NAD est remplacé par Formate, ATP par Pi PP PPP pour le transfert d'énergie, Gln par NH3.
====Pyruvate bis====
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP+Pi (PPP+Pi) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+PP (Pi + PP) EC2791 (R00206) (multi-step reaction) 
*:: + ''Pyruvate + PP+Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + Pi + Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP+H2O (PPP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi (Pi + Pi) EC2792 (R00199) (multi-step reaction)
*: - *oxaloacetate + Pi donne '''|&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 Pathway '''Pyruvate''' 
*:: + ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*: - *oxaloacetate + PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + CO2+Pi EC411.38 R00346 Pathway '''Pyruvate''' biologique &lt;---
*:: + ''P-enol-pyruvate +Pi donne &lt;&gt; Pyruvate + PP EC411.38'' R00??? Pathway '''Pyruvate''' biologique? &lt;--- c'est mon hypothèse pour EC2791
*: - *oxaloacetate + ATP (PP) donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + ADP (Pi) +CO2  EC411.49 R00341 Pathway '''Pyruvate''' &lt;---
*Pathway: glycolyse suite
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 (R00658) hydro-lyase &lt;---
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; Glycérate-3P EC542.11 (R01518) mutase
*: - *Glycérate-3P + ATP (PP) donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP (Pi) EC2723 (R01512) P-transférase
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD ('''formate''') +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD ('''formate''')  EC121.12 (R01061) oxydoréductase &lt;---
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase  &lt;---
*Pathway: Aspartate
*: - *Alanine + NAD ('''formate''') +H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD ('''formate''')  EC1411 (R00396) oxydoréductase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''

====Glycolate bis====
*Pathway: glyoxylate
*: - *Glycolate + Acceptor '''donne |&gt;''' Glyoxylate + Reduced acceptor EC11.99.14 R00476 oxydoréductase
*:: + Also acts on (R)-lactate. 2,6-Dichloroindophenol and phenazine methosulfate can act as acceptors. FAD FeS?
*:: + '''Formate'''?
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein. 
*:: + Attention contradiction '''subs/prod''' de Ala (résolue? chatgpt)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 (lyase, Gly forming) 
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-aspartate '''donne |&gt;''' imino-aspartate + H2O EC421.184 R01364 dehydratase
*: - *Asp + NAD (formate) '''donne &lt;|''' imino-aspartate + NAD (formate) EC141.29 R07410
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxilate + Asp EC261.35 R00373 amino transférase
*:: + A pyridoxal-phosphate protein.
*:: + Contradiction '''subs/prod''' 
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase
*:: + Contains pyridoxal phospate.
*:: + ''confirmer que Cys est produite avant''
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*:: + Contradiction '''subs/prod'''
*: - Succinate semialdehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' γ-Amino-γ-cyanobutanoate + H2O EC??? R01650
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*:: + ''confirmer que Succinate semialdehyde est produit avant''
*: - *γ-Amino-γ-cyanobutanoate +2H2O '''donne |&gt;''' Glu +NH3 EC3551 R01887 nitrile aminohydrolase (&lt;u&gt;en labo sans enzyme mais très faible&lt;/u&gt;)
*:: + ''Acts on a wide range of aromatic nitriles including (indol-3-yl)acetonitrile, and also on some aliphatic nitriles, and on the corresponding acid amides. cf. EC 4.2.1.84 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/4.2.1.84&lt;/ref&gt; nitrile hydratase.''
*: - Acetaldehyde + HCN +NH3 '''donne |&gt;''' α-aminopropiononitrile + H2O EC??? R01410
*:: + ''multi-step reaction; possibly intermediate (Schiff base)''
*:: + '''subs/prod''' non fourni
*: - *α-aminopropiononitrile +2H2O '''donne |&gt;''' Ala +NH3 EC3551 R03542 nitrile aminohydrolase

====Ethanol Acetate Lactate Formate Methanol Pyruvate glycolate propionate phosphite====
*Compound, phosphite. Voir article sur Phosphite dans les sources hydrothermales &lt;ref&gt;https://www.biorxiv.org/content/10.64898/2025.12.19.695421v2.full&lt;/ref&gt;.
*: -Phosphite +NAD+ +H2O donne phosphate +NADH +H+ EC1.20.1.1 R05746 oxydoreductase. 146 bactéries, rien d'autre. Enx, enterobacter, 341 aas. Entrée créée en 2001 MAJ 2025.
*: -Phosphite +AMP +NAD+ donne ADP +NADH +H+ EC1.20.1.2 R13633 oxydoreductase. Une seule référence &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2309743120&lt;/ref&gt;. Entrée créée en 2025.
*Pathway: pyruvate métabolisme
*: -*'''Ethanol''' + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (et methanol) (A zinc protein) bi ecocyc de ethanol ΔG=3.10kcal/mol. eco 891 aas. 8769 êtres dont 200 archées
*: -*Acetaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Acetate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase (et formate). 6796 êtres dont 132 archées
*: -*'''Acetate''' +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-P +ADP EC2721 R00315 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=-6.97 kcal/mol, 400 aas. 7664 êtres dont 28 archées
*: -*'''Acetate''' +PP donne &lt;&gt; Acetyl-P +Pi EC272.12 R00320 kinase. Métacyc sens indéfini. Entamoeba histolytica seule référence de 1975 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0006291X75905136?via%3Dihub&lt;/ref&gt;
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC2721 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 7665 êtres dont 29 archées
*: -*'''Propionate''' +ATP donne &lt;&gt; Propionyl-P +ADP EC272.15 R01353 kinase. Metacyc et ecocyc bi ΔG=9.71 kcal/mol, 402 aas. 375 bactéries pas d'archées
*:: + comment: Involved in the anaerobic degradation of L-threonine in bacteria. Voir dans propanoate pathway EC123- de 2-oxobutanoate vers propanoyle-P, flèche sans enzyme. Le 2-oxobutanoate vient de la Thr.
*: - *&lt;u&gt;Acetate + ''ATP +CoA donne &lt;&gt; Acetyl-CoA + ADP + Pi EC621.13 R00229 synthetase (et propanoate butanoate)''&lt;/u&gt; archées
*: - *&lt;u&gt;''Propanoyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; 2-Oxobutanoate +CoA EC231.54 R06987 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*: - *&lt;u&gt;''Acetyl-CoA +Formate donne &lt;&gt; Pyruvate +CoA EC231.54 R00212 Formate lyase''&lt;/u&gt;
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10701&lt;/ref&gt;, attention activation de l'enzyme par flavodoxin/ferredoxin-NADP+ reductase.
*: - *'''Methanol''' + NAD donne &lt;&gt; formaldehyde + NAD EC1111 R00754 alcohol dehydrogenase (A zinc protein)
*: -*formaldehyde + NAD + H2O donne &lt;&gt; '''Formate''' + NAD EC1213 R00710 aldehyde dehydrogenase
*: - *'''Lactate''' + NAD donne &lt;&gt; '''Pyruvate''' + NAD EC111.27 R00703 lactate dehydrogenase. 4141 êtres dont 16 archées 
*Pathway: glyoxylate métabolisme
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate +NAD EC111.26 R00717 glyoxylate reductase Metacyc bi. 2272 êtres dont 124 archées (mieux que ec111.29, voir Ser).
*: - *'''Glycolate''' + NAD donne &lt;&gt; Glycolaldehyde +NAD +H2O EC121.21 R01333 aldehyde dehydrogenase ecocyc di de aldehyde ΔG=-17.03kcal/mol
*: - *OH-pyruvate '''donne |&gt;''' Glycolaldehyde +CO2 EC411.40 R01393 carboxylase Metacyc bi
*Pathway: methane métabolisme
*: - *'''Methanol''' + NAD '''donne |&gt;''' formaldehyde + NAD EC111.244 R00605 methanol dehydrogenase Metacyc di
*Pathway: cysteine methionine
*: - *'''Methanol''' + H2S donne &lt;??&gt; '''Methane thiol''' &lt;u&gt;ou bien le methane thiol est basique comme le methanol&lt;/u&gt;
*: - *'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Methionine + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase
*:: + *Asp + ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase
*:: + *Asp-semialdehyde + NADP '''donne &lt;|''' Asp-P + NADP EC121.11 R02291 dehydrogenase
*:: + *Asp-semialdehyde + NAD  donne &lt;&gt;  L-homoserine + NAD EC1113 R01773 homoserine dehydrogenase
*:: + *'''acety-CoA'''  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (B6 protein)

====Pyruvate====
=====Glycolyse=====
*Pathway: Pyruvate
*: - *Pyruvate +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' Oxaloacetate +ADP +Pi EC6411 R00344 ligase metacyc de ATP (A biotinyl-protein)
*: - *Malate +NADP donne &lt;&gt; Pyruvate +NADP +CO2 EC111.40 R00216 carboxylase ecocyc de Malate (tab) bi (schem) ΔG=-1.57Kcal/mol
*:: + The enzyme catalyses the oxidative decarboxylation of (S)-malate in the presence of NADP+ and divalent metal ions, and the decarboxylation of oxaloacetate.
*: - *Malate +NAD+ donne &lt;&gt; Pyruvate +NADH +CO2 +H+ EC111.38 R00214 carboxylase ecocyc et metacyc direct de Malate ΔG=-0.32Kcal/mol
*:: + this enzyme can also decarboxylate oxaloacetate +H+ (non réversible) &lt;ref&gt;https://biocyc.org/reaction?orgid=ECOLI&amp;id=1.1.1.39-RXN&lt;/ref&gt;. 
*:: + thermodynamiquement Ec111.38 est réversible à cause de son ΔG=-0.32Kcal/mol. Mais dans la cellule elle a pour objet de produire du CO2 lors de l'accumulation de NAD+. Décompte génomes a b e: 458 9991 1295
*: - *Malate +NAD donne &lt;&gt; Oxaloacetate +NAD EC111.37 R00342 oxydoreductase ecocyc bi ΔG=4.46Kcal/mol
*: - *oxaloacetate + Pi '''donne |&gt;''' P-enol-pyruvate + CO2+H2O  EC411.31 R00345 carboxylase pas de Metacyc
*:: + ecocyc de PEP, 883 aas, ΔG=-0.86 Kal/mol
*::: * ''Cette enzyme régénère l'oxaloacétate dans le cycle des acides tricarboxyliques lorsqu'elle fonctionne en sens inverse. La réaction se déroule en deux étapes : la formation de carboxyphosphate et de la forme énolate du pyruvate, suivie de la carboxylation de l'énolate et de la libération de phosphate''.
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 900 aas.
*: - *oxaloacetate '''+PP''' donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +Pi EC411.38 R00346 carboxylase Metacyc bi son ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + abe: 0 250 10; grosse enzyme 1100 aas. Energie de liaison de PP 47.8 Kcal/mol et 1ère et 2ème PP dans ATP, sont égales à 7.3Kcal/mol; P-enolpyruvate 14.8kcal/mol
*:: + Also catalyses the reaction: P-enolpyruvate + Pi = pyruvate + PP. &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/12/26/5247/105472/Carboxytransphosphorylase-VII-Phosphoenolpyruvate?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;
*:: + ''Pyruvate +PP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi EC411.38'' R00??? biologique?  c'est mon hypothèse pour EC2791 (glycolyse)
*: - *oxaloacetate +ATP donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +CO2 +ADP  EC411.49 R00341 kinase ecocyc de ATP (shem bi) ΔG=-7.02Kcal/mol
*:: + a b e: comme 411.38, 458 9991 1295; grosse enzyme 520 aas.
*Pathway: glycolyse
*: - *Pyruvate +ATP '''donne &lt;|''' P-enol-pyruvate +ADP EC271.40 R00200 kinase biocyc de ADP ΔG=-2.23Kcal/mol
*: - *Pyruvate +ATP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +PP EC2791 R00206 dikinase (multi-step reaction) metacyc de ATP ΔG est ~ 0 (gemini)
*:: + ''Pyruvate +PP +Pi donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +Pi +Pi mon hypothèse''
*: - *Pyruvate +ATP +H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +AMP +Pi EC2792 R00199 dikinase (multi-step reaction) ecocyc ATP vers AMP ΔG=-9.58Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate +H2O  EC421.11 R00658 hydro-lyase bi ΔG=-0.19Kcal/mol
*: - *Glycérate-2P donne &lt;&gt; '''Glycérate-3P''' EC542.11 R01518 mutase bi ΔG=-1.32Kcal/mol
*: - *Glycérate-3P + ATP donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +ADP EC2723 R01512) P-transférase bi ΔG=-7.51Kcal/mol
*: - *Glycéraldéhyde-3P +NAD +Pi donne &lt;&gt; Glycérate-1,3P2 +NAD EC121.12 R01061 dehydrogenase bi ΔG=-15.19Kcal/mol, eco 331 aas, 11304 êtres dont 91 archées
*: - *Glycéraldéhyde-3P donne &lt;&gt; Glycérone-P EC5311 (R01015) isomérase bi ΔG=-1.83Kcal/mol
*: - *Fructose-1,6P2 donne &lt;&gt; Glycéraldéhyde-3P + Glycérone-P  EC412.13 (R01068) lyase ecocyc metacyc bi ΔG=8.23 Kcal/mol, 11603 êtres dont 450 archées
*:: +eco: fbaB classe I 350 aas, fbaA classe II 359 aas.
*: - *Fructose-6P '''+PP''' donne &lt;&gt; Fructose-1,6P2 +Pi EC271.90 (R00764) kinase Metacyc bi ΔG=-1.1 à 1.6Kcal/mol (gemini)
*:: + Gemini: avec ce deltaG proche de 0 la reaction est thermodynamiquement facilement reversible dans la cellule.
*:: + It has been described in higher plants, primitive eukaryotes, bacteria, and archaea.
*:: + 4120 êtres dont 22 archées et 198 eucaryotes. 420 aas pour aif.
*: - *Fructose-1,6P2 +H2O '''donne |&gt;''' Fructose-6P +Pi EC313.11 (R00762) phosphorylase metacyc ecocyc de f1.6 à f6 ΔG=6.89Kcal/mol
*:: + eco: yggf classe II 321 aas, glpx classe II 336 aas. 9770 êtres dont 458 archées
*: - *Fructose-6P +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1,6P2 +ADP EC271.11 (R00756) kinase de f6 à f1.6 ΔG=-14.49Kcal/mol)

=====Formation des aas à partir du pyruvate=====
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6) Metacyc bi. 5728 êtres dont 243 archées
*Pathway: Ser Gly Thr, à partir de Hydroxy-Pyruvate
*: - voie P-Ser
*: - *Glycérate-3P +NAD +H2O donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +NAD EC111.95 R01513 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.03 kcal/mol. 10084 êtres dont 434 archées
*: - *O-P-Ser +2-oxoGlu donne &lt;&gt; P-OH-Pyruvate +Glu EC261.52 R04173 transaminase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=0.08 kcal/mol. 8871 êtres dont 71 archées
*: - *O-P-Ser +H2O '''donne |&gt;''' L-Ser +Pi EC3133 R00582 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=9.27 kcal/mol. 8278 êtres dont 366 archées
*: - voie Glycerate
*: - *'''Glycérate-3P''' + H2O  '''donne |&gt;'''  Glycerate + Pi EC313.38 (R01511) hydrolase. 1 seule référence de 1971 &quot;sugarcane leaves&quot;
*:: + *Glycéraldéhyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glycérate +NAD EC1213 R01752 oxydoréductase. 6796 êtres dont 132 archées pas de metacyc
*:: + *Glycéraldéhyde +DHAP donne &lt;&gt; Fructose-1P EC412.13 R02568 lyase. Metacyc direct de Fructose. 11542 êtres dont 459 archées
*::: * Pour obtenir Fructose-1P à partir de Fructose-6P, il faut 4 enzymes EC111.17, 313.22, 111.11, 2713 (une kinase) &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00051&lt;/ref&gt;
*::: * Le Glycéraldéhyde libre est bloqué comme le Glycerol &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/pathway/map00561&lt;/ref&gt;. Il est rapidement transformé en Glycéraldéhyde-3P EC271.28
*:: + *Mannitol-1P +NAD donne &lt;&gt; Fructose-6P +NAD EC111.17 R00758 oxydoréductase. Metacyc et ecocyc bi, ΔG=1.60 kcal/mol. 1867 êtres dont 2 archées
*:: + *Mannitol +Pi donne &lt;&gt; Mannitol-1P +H2O EC313.22 R02167 Phosphorylase. Metacyc et ecocyc direct de H2O, ΔG=7.22 kcal/mol. 2063 êtres dont 1 archées
*:: + *Mannitol +NAD donne &lt;&gt; Fructose +NAD EC111.11 R00868 oxydoréductase. Metacyc bi. 443 êtres dont 0 archées (Ec111.67 1312,Ec111.67 83)
*:: + *Fructose +ATP '''donne |&gt;''' Fructose-1P +ADP EC2713 R00866 kinase. Metacyc direct de Fructose. 907 êtres dont 52 archées
*: - *Glycerate + NAD  donne &lt;&gt; Hydroxy-Pyruvate + NAD EC111.29 (R01388) dehydrogenase. 2077 êtres, eucaryotes, bactéries, 9 archées MM et 1 METB. Metacyc bi.
*: - *'''Ser''' + Pyruvate  donne &lt;&gt; Ala + Hydroxy-Pyruvate EC261.51 (R00585) transaminase (B6 protein). 2913 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + Glyoxylate  donne &lt;&gt; '''Gly''' + Hydroxy-Pyruvate EC261.45 (R00588) transaminase (B6 protein). 2880 êtres, eucaryotes, bactéries, 94 archées. Metacyc bi
*: - *Ser + H2S '''donne |&gt;''' '''Cys''' + H2O EC421.22 (R00891) hydrolase (B6 protein) 3754 êtres, eucaryotes, bactéries, 36 archées. pas de RHEA
*: - *Ser +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; O-Acetyl-Ser +CoA EC231.30 (R00586) transferase (sans B6) 8266 êtres, eucaryotes, bactéries, 170 archées.
*:: + voie de E.Coli suivie de EC251.47 donne Cys avec B6. 8282 êtres
*: - *'''Thr''' donne &lt;&gt; Gly + Acetaldehyde EC412.48 (R00751) transaminase (B6 protein) 6788 êtres, eucaryotes, bactéries, 100 archées. Ecocyc bi, ΔG=1.0 kcal/mol 
*: - *Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate + NH3 EC413.19 (R00996) amonia lyase (B6 protein)
*Pathway: Val Leu Ile biosynthese
*: - *Pyruvate + Oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 EC2216 (R08648) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymat)
*: - *Pyruvate + Pyruvate '''donne |&gt;''' Aceto-Lactate + CO2 EC2216 (R00226) decarboxylase ('''TPP'''-dependent enzymatic reaction)
*: - *Aceto-hydroxy-butanoate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05069) reductoisomerase
*: - *Aceto-Lactate + NAD donne &lt;&gt; 3h-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R05071) methylisomerase
*: - *3h-3m-Oxopentoate + NAD  donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxopentoate + NAD EC111.86 (R05068) reductoisomerase
*: - *3h-3m-Oxobutanoate + NAD donne &lt;&gt; 2,3dih-3m-Oxobutanoate + NAD EC111.86 (R04440) reductoisomerase
*: - *2,3dih-3m-Oxopentoate '''donne |&gt;''' 3m-Oxopentoate + H2O EC4219 (R05070) dehydratase
*: - *2,3dih-3m-Oxobutanoate '''donne |&gt;''' oxoisovalerate + H2O EC4219 (R04441) dehydratase
*: - *'''Ile''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 3m-Oxopentoate + NAD + NH3 EC1419 (R02196) oxidoreductase, deaminating
*: - *'''Val''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' oxoisovalerate + NAD + NH3 EC1419 (R01434) oxidoreductase, deaminating
*: - *
*: - *'''AcetylCoA''' + oxoisovalerate '''donne |&gt;''' isopropylmalate + CoA EC233.13 (R01213) acetyltransferase
*: - *2-isopropylmalate donne &lt;&gt; 2-isopropylmaleate + H2O EC421.33 (R04441) dehydratase
*: - *2-isopropylmaleate + H2O donne &lt;&gt; 3-isopropylmalate EC421.33 (R04001) hydratase
*: - *3-isopropylmalate + NAD donne &lt;&gt; 2-isopropyl-3-oxosucinate + NAD EC111.85 (R04426) dehydrogenase
*: - *2-isopropyl-3-oxosucinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + CO2 EC111.85 (R01652) décarboxylation spontanée
*: - *'''Leu''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' 4-Methyl-2-oxopentanoate + NAD + NH3 EC1419 (R01088) oxidoreductase, deaminating
*Synthèse
*: - 2 groupes
*:: + groupe issu du OH-pyruvate: Ser Gly Cys Thr. Deux étapes pour OH-Pyruvate qui consomme Glycéraldéhyde-3P et utilise NAD. Une étape par aa avec B6,
*::: * Ser: consomme OH-Pyruvate et Ala, produit Pyruvate
*::: * Gly: consomme Gyoxylate qui vient de Glycolate
*::: * Cys: consomme H2S, basique
*::: * Thr: consomme Acetaldehyde qui vient de Acetate
*:: + groupe issu du pyruvate directement: Ala Val Ile Leu sans B6
*::: * Ala: Une étape, consomme Pyruvate et NH3, utilise NAD
*::: * Val: 5 étapes, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Ile: 6 étapes, consomme Pyruvate, Thr et NH3, produit CO2, utlise 3 NAD
*::: * Leu: 10 étapes dont une spontanée, consomme 2 Pyruvate et NH3, produit 2 CO2, utlise 4 NAD et CoA

=====Formation de Asp et Asn =====
*Pathway: Glyoxylate
*: - *Ala + glyoxylate '''donne |&gt;''' pyruvate + Gly EC261.44 R00369 aminotransferase '''Gly''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne &lt;|''' Gly + glyoxylate EC413.41 R09718 ligase '''(2R,3S)-β-hydroxy-Asp''' (B6 protein)
*: - *(2R,3S)-β-hydroxy-Asp '''donne |&gt;''' imino-Asp + H2O EC421.184 R01364 dehydratase '''imino-Asp'''
*: - *Asp + NAD '''donne &lt;|''' imino-Asp + NAD EC141.29 R07410 reductase '''Asp''' (sans B6)
*:: + Contradiction '''subs/prod''' résolue par le commentaire qui suit avec EC 1.4.1.21 ?
*:: + ''The enzyme, characterized from the bacterium Paracoccus denitrificans, participates in the beta-hydroxyaspartate cycle of glyoxylate assimilation. The &lt;u&gt;substrate, 2-iminosuccinate, &lt;/u&gt;is very unstable, and spontaneously decays into free ammonia and oxaloacetate in the absence of the enzyme. cf. EC 1.4.1.21 &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/1.4.1.21&lt;/ref&gt;, aspartate dehydrogenase, which acts in the opposite direction, producing 2-iminosuccinate that transforms into ammonia and oxaloacetate.''
*: - *Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp''' EC261.35 R00373 amino-transférase (avec B6) metacyc bi
*Pathway: Ala Asp Glu
*: - *Asp +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' '''Asn''' + PP + AMP EC6311 R00483 ligase  (sans B6)
*: - *Asp +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glu +oxaloacetate EC2611 R00364 amino transférase  (avec B6)
*: - *Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino lyase ecocyc bi ΔG=+3.19 Kcal/mol de Asp (sans B6)
*: - *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*:: + Malate vient directement de Pyruvate
*Pathway: cyanoamino acide métabolisme
*: - *Gly + 2 Acceptor '''donne |&gt;''' HCN +CO2 + 2 Reduced acceptor EC14.99.5 R05704 oxydoréductase
*:: + ''The enzyme from Pseudomonas sp. contains FAD. The enzyme is membrane-bound, and the 2-electron acceptor is a component of the respiratory chain. The enzyme can act with various artificial electron acceptors, including phenazine methosulfate.''
*:: + '''Formate'''?
*: - *Cys + HCN '''donne |&gt;''' 3-cyano-Ala + H2S EC4419 R03524 lyase (B6 protein)
*: - *3-cyano-Ala +2H2O '''donne |&gt;''' Asp + NH3 EC3554 R00486 aminohydrolase (sans B6)
*:: + ''L-Asparagine is formed as an intermediate. cf. EC 4.2.1.65, 3-cyanoalanine hydratase and EC 3.5.1.1, asparaginase.''
*: - *Asn '''donne &lt;|''' 3-cyano-Ala +H2O EC421.65 R01267 lyase
*Synthèse et critique: d'où vient l'Asp prébiotique?
*: - Voie Glyoxylate: 
*:: + 4 étapes de Ala à Asp. Elles sont toutes unidirectionnelles. Pour le prébiotique EC141.29 pose le problème de la stabilité de l'Imino-Asp. Hors mon hypothèse des réactions très lentes, pour l'auto-organisation néguentropique qui garde les réactions actuelles, rend cette réaction très peu probable. Cependant la voie glyoxylate reste intéressante parce qu'elle part du Pyruvate basique et EC141.29 ne fait pas intervenir B6 comme pour le Glu.
*:: + La transaminase: Elle est ambiguë dans KEGG, avec le glyoxylate, EC261.35. Ceci est du à l'interprétation enzymatique de KEGG qui privilégie la direction de l'enzyme à la réaction thermodynamique (voir le commentaire ci-dessus de KEGG) et ressemble ainsi exactement à EC261.44 pour Ala/Gly. Cette réaction est bidirectionnelle selon REHA: Gibbs de -0.28kcal/mol. Aussi j'en conclus que Asp apparaît dans mon processus néguentropique, très tôt puisqu'il utilise l'oxaloacétate issu directement du Pyruvate et de Gly issu de Ser. On verra avec les réacteurs hydrothermaux, en laboratoire, Asp provient de l'amination réductive de l'oxaloacétate.
*: - voie Ala Asp Glu
*:: + La transaminase EC2611, Asp/Glu est, par miracle, bidirectionnelle, au contraire de Asp/Gly. Ainsi il se pourrait que EC261.35, ou plutôt sa réaction R00373, au prébiotique soit bidirectionnelle. Ce qui serait une origine prébiotique de Asp.
*: - voie cyanoamino acide: 
*:: + Elle paraît intéressante mais on n'est plus dans le prébiotique à cause de la chaîne respiratoire. Et même, si on ne considère que la réaction thermodynamique, l'accepteur d’électrons, la phenazine, est très complexe. Peut-elle être par le Formate, basique dans cette étude?
*: - L'expérience des réacteurs hydrothermaux: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;.
*:: +

=====Formation de Lys=====
*Pathway: Lysine 
*: - *Asp + ATP '''donne |&gt;''' 4-Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''4-Asp-P'''
*: - *4-Asp-P +NAD '''donne &lt;|''' Asp-4-semialdehyde +Pi +NAD EC121.11 R02291 dehydrogenase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-4-semialdehyde'''
*: - *Asp-4-semialdehyde +Pyruvate '''donne |&gt;''' tetrahydrodipicolinate +H2O EC4337 R10147 lyase cyclase '''4Hydro-dipicolinate'''
*: - *4Hydro-dipicolinate +NAD '''donne &lt;|''' 4Hydro-pyridine-2,6-dicarboxylate +NAD +H2O EC1.17.1.8 R04198 dehydrogenase  (spontanée: +H2O donne &lt;&gt; '''L-2-Amino-6-oxopimelate''')
*: - *meso-2,6-diaminopimelate +H2O +NAD donne &lt;&gt; L-2-Amino-6-oxopimelate +NH3 +NAD EC141.16 R02755 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp; '''diaminopimelate'''
*: - *meso-2,6-diaminopimelate '''donne |&gt;''' L-Lys +CO2 EC411.20 R02755 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp; '''L-Lys''' (B6 protein)
*: - *Lys +acetyl-P '''donne |&gt;''' N6-acetyl-Lys +Pi EC231.32 R01620 transferase &amp;emsp;&amp;emsp; '''N6-acetyl-Lys'''
*: - *N6-acetyl-Lys +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; N6-acetyl-2-oxo-Lys +Glu EC261.65 R04029 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''N6-acetyl-2-oxo-Lys''' (B6 protein)
*: - *N6-acetyl-2-oxo-Lys +H2O +NAD donne &lt;&gt; 5-Acetamidopentanoate +CO2 +NAD EC124.- R04142 oxydoreduction &amp;emsp; '''5-Acetamido-pentanoate'''
*: - *5-Acetamidopentanoate +H2O donne &lt;&gt; 5-Aminopentanoate +Acetate EC351.63 R02276 hydrolase &amp;emsp; '''5-Aminopentanoate'''
*: - *5-Aminopentanoate +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Glutarate-semialdehyde +Glu EC261.48 R02274 &lt;u&gt;'''transaminase'''&lt;/u&gt; &amp;emsp; '''Glutarate-semialdehyde''' (B6 protein)
*: - *Glutarate-semialdehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; Glutarate +NAD EC121.20 R02401 dehydrogenase &amp;emsp; '''Glutarate''' (pour les acides gras)
*Synthèse
*: - étapes: 6 à partir de Asp
*: - produit: NH3, CO2
*: - consomme: Asp, Pyruvate
*: - utilise: ATP, 3 NAD
*: - B6: avec B6

=====Formation des Riboses et dRiboses=====
*Pathway: Pentoses phosphates
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; '''D-Fructose-6P''' EC531.27 (R05339) isomerase 185 aas metacyc direct de Arabi. 1303 êtres dont 291 archées
*: - *D-Arabinulose-P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P +Formaldehyde EC412.43 (R05338) synthase 211 aas metacyc bi. 1214 êtres dont 295 archées
*: - *D-Ribose-5P donne &lt;&gt; D-Ribulose-5P EC5316 (R01056) isomerase 219 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-6.13 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P donne &lt;&gt; D-Ribose-5P EC5427 (R01057) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-1.93 kcal/mol
*: - *D-Ribose-1P +ADP '''donne |&gt;''' D-Ribose-1,5P2 +AMP EC271.212 (R11535) P-transferase 294 aas metacyc de ADP
*: - *D-Ribose-1,5P2 + ATP '''donne |&gt;''' PRPP +ADP EC274.23 (R06836) P-transferase 185 aas metacyc de ATP ecocyc bi ΔG=-2.03 kcal/mol
*: - *D-Ribose-5P + ATP donne &lt;&gt; PRPP +AMP EC2761 (R01049) diphosphokinase 315 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=-25.84 kcal/mol
*: - *
*: - *D-dRibose-5P donne &lt;&gt; '''D-Glyceraldehyde-3P''' + Acetaldehyde EC4124 (R01066) aldolase 259 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=5.12 kcal/mol
*: - *D-dRibose-1P donne &lt;&gt; D-dRibose-5P EC5427 (R02749) isomerase 407 aas ecocyc et metacyc bi ΔG=?? comme Ribose?
*Synthèse
*: - étapes: 5 pour D-Ribose et 2 pour D-dRibose
*: - produit: D-Ribose-1P et 5P, PRPP, Formaldéhyde; D-dRibose-1P et 5P
*: - consomme: Fructose-6P; D-Glyceraldehyde-3P, Acetaldehyde.
*: - utilise: AMP; et rien
*: - Note: PRPP peut être obtenu par 2 P-transférases qui peuvent utiliser PEP

=====Formation de l'ATP=====
*Pathway: purines
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +ADP +Pi EC6347 R01053 amido transférase oiseaux (article unique 1968 &lt;ref&gt;https://www.jbc.org/article/S0021-9258(18)91922-8/pdf&lt;/ref&gt;)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. homo4mères
*: - *PRA +Gly +ATP '''donne |&gt;''' 5P-Ribosylglycinamide +ADP +Pi EC634.13 R04144 glycine ligase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-6.27 '''GAR'''
*:: + ecocyc: séquentiel et ordonné. Tunnel. Monomère &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10792&lt;/ref&gt;
*: - *GAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' N2-formyl-GAR + ADP + Pi EC631.21 R06974 formyltransferase ecocyc et Meta de ATP ΔG=-8.97 '''FGAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG11809&lt;/ref&gt;, monomere
*:: + EC2122 THF sans ATP R04325 ecocyc et Meta bi ΔG=16.47 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10799&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *FGAR +ATP +Gln +H2O '''donne |&gt;''' 2-formamido-N1-(5-P-ribosyl)acetamidine +ADP +Pi +Glu EC6353 R04463 ligase ΔG=-9.20  '''FGAM'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10797&lt;/ref&gt; 3 sites Gln d'abord, puis ATP puis FGAR. Monomère. Fusion de 3 enzymes.
*: - *FGAM +ATP '''donne |&gt;''' 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC6331 R04208 cyclo ligase ecocyc et metacyc direct de ATP ΔG=9.97 '''AIR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10798&lt;/ref&gt;. Pas de couplage, ATP attaque FGAM puis cyclase. Dimère.
*: - *[AIR +HCO3- +ATP '''donne |&gt;''' 5-carboxyamino-1-(5-P-ribosyl)imidazole +ADP +Pi EC634.18 R07404 ecocyc et Meta de ATP ΔG=-27.02 ligase '''AIRC'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10796&lt;/ref&gt;. dimère. Nonenzymatic carboxylation of AIR occurs. 
*: - *[AIRC donne &lt;&gt; 5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxylate EC54.99.18 R07405 mutase ΔG=6.32 Metacyc et ecocyc de carboxyamno '''CAIR'''] bacteries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10793&lt;/ref&gt;. octamère. Réversible si EC6336 est absente
*: - *5-amino-1-(5-phospho-D-ribosyl)imidazole-4-carboxylate donne &lt;&gt; AIR +CO2 EC411.21 R04209 carboxylase Metacyc bi '''CAIR'''
*: - *CAIR +Asp +ATP donne &lt;&gt; (S)-2-[5-amino-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamido]succinate+.. EC6326 R04591 ligase ΔG=-7.66 '''SAICAR'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10791&lt;/ref&gt;. Trimère. les sites ne sont pas élucidés.
*: - *SAICAR donne &lt;&gt; 1-(5'-P-ribosyl)-5-amino-4-imidazolecarboxamide +Fumarate EC4322 R04559 liase ΔG=9.84 ecocyc direct Metacyc bi '''AICAR'''
*: - *AICAR +ATP +Formate '''donne |&gt;''' 5-formamido-1-(5-P-ribosyl)imidazole-4-carboxamide.. EC634.23 R06975 liase '''Metacyc bi FAICAR'''
*:: + EC2123 THF sans ATP R04560 ecocyc et Meta bi ΔG=18.96 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10795&lt;/ref&gt;, monomere
*: - *IMP +H2O donne &lt;&gt; FAICAR EC354.10 R01127 cyclase ΔG=26.85 ecocyc et Metacyc bi '''IMP'''
*: - *IMP +GTP +Asp '''donne |&gt;''' N6-(1,2-dicarboxyethyl)-AMP +'''GDP +Pi''' EC6344 R01135 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-103.56 '''car-AMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10790&lt;/ref&gt;. dimère. Les binding sites sont élucidés.
*: - *car-AMP '''donne |&gt;''' AMP +Fumarate EC4322 R01083 liase ΔG=55.05 ecocyc direct metacyc bi '''AMP'''
*: - *IMP +NAD +H2O '''donne |&gt;''' XMP +NAD EC111.205 R01130 dehydrogenase ecocyc et Metacyc bi ΔG=2.43 '''XMP'''
*: - *XMP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' GMP +AMP +PP EC6352 R01230 ligase ecocyc et Metacyc direct ΔG=-5.44 '''GMP'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10420&lt;/ref&gt;. dimère. Sans Gln il n'y a que 2 binding sites, ATP et XMP. Le contrôle est strict avec Gln mais pas avec NH3.
*: - *GMP,AMP +ATP donne &lt;&gt; GDP,ADP EC274.- R00331... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''GDP, ADP''' et puis '''GTP, ATP'''
*: - *GMP,AMP +ADP donne &lt;&gt; Guanosine,Adenosine +ATP EC271.- R00185... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''Guanosine, Adenosine''' 
*: - *Guanosine,Adenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + Ribose-1P EC2421 R01561 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''G, A''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +Pi donne &lt;&gt; G,A + dRibose-1P EC2421 R02557 phosphorylases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGuanosine,dAdenosine''' 
*: - *dGuanosine,dAdenosine +ATP '''donne |&gt;''' dGMP,dAMP +ADP EC271.- R01967... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGMP,dAMP'''
*: - *dGMP,dAMP +ATP donne &lt;&gt; dGDP,dADP EC274.- R01547... kinases &amp;emsp;&amp;emsp;'''dGDP, dADP''' et puis '''dGTP, dATP'''
*Synthèse
*: - étapes: 12 du Ribose-5P à AMP; 2 suivants pour GMP
*: - produit: 2 Fumarate CO2
*: - consomme: Ribose-5P NH3 Gly Formate NH3 Cyclo-ligase Asp Formate Asp. 2Formate 2Asp 2NH3 Gly 
*: - utilise: 7 ADP 1 GDP; les 2 Fumarate, une carboxylase et une cyclase n'utilisent pas ADP.
*: - GMP: produit PP, consomme NH3, utilise NAD AMP.

=====La synthèse de novo de l'ATP et le couplage de 2 réactions=====
*Problématique: 
*: - *Ribose-5P + ATP +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine + ADP + Pi EC6347 R01053 amonia ligase
*: - Dans la réaction R01053 l'enzyme EC6347  en fait 2 réactions en parallèle: 
*:: + L'hydrolyse ATP +H2O '''donne |&gt;''' ADP +Pi, fournit à l'enzyme l'énergie nécessaire pour lier NH3 au Ribose
*:: + Ribose-5P +NH3 '''donne |&gt;''' 5P-ribosylamine +H2O
*: - La réaction R01053 est directionnelle. C'est le cas des autres réactions faisant intervenir 3 substrats.
*: - Avant l'apparition des polypeptides la probabilité de la rencontre des 3 substrats est très faible et c'est le rôle principale de l'enzyme que de les réunir. Dans mon hypothèse, l'environnement avec ses aas libres favorisant tant soit peu la réaction, il est difficile d'imaginer que l'énergie libérée par l’hydrolyse de l'ATP soit récupérée à distance par la ligase. Elle est tout simplement diffusée dans son environnement. Il y a ainsi 7 couplages avec 3 molécules pour le substrat dont 6 avec ATP et une avec GTP.
*: - L'enzyme EC6347 peut être remplacée par EC242.14 qui est bidirectionnelle et peut être vue comme le résultat (pas la somme) de 2 transaminases indépendantes. Une à 2 substrats utilisant NH3 et produisant 5P-Ribosylamine +PP qui sont utilisés avec Glu par la 2ème à 3 substrats produisant Gln. Gln peut être produit donc avant l'apparition de l'ATP.
*:: + PRPP +NH3 donne &lt;&gt; 5P-ribosylamine +PP
*:: + 5P-Ribosylamine +PP +Glu donne &lt;&gt; Gln +PRPP 
*: - L'enzyme EC6331 n'a que 2 molécules comme substrat comme les kinases et peut être envisagée avant l'apparition de l'ATP en remplaçant celle-ci par PEP.
*Comment résoudre le couplage prébiotique nécessaire à la synthèse de novo de l'ATP nécessitant 7 couplages successifs.
*: - Dans les réactions que j'ai réunies pour le proto-métabolisme il n'y a que 5 autres couplages non sucessifs: 2 pour CoA 1 pour acetyl-CoA et 2  pour THF.
*: - Il faut des concentrations élevées de PEP NH3 Formate Asp Gly Pi
*: - Est-ce que les 9 autres aas existants peuvent aider ces couplages: Cys Ser Thr Ala Lys Glu Gln Pro Arg. Et les ceto-acides: Lactate malate oxaloacetate fumarate oxo-glutarate pyruvate; et les acides glycolate acétate propionate

=====Formation de l'Uracile=====
*Pathway: arginine
*: - *ATP +HCO3- +NH3 donne &lt;&gt; Carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Carbamoyl-P''' 
*Pathway: pyrimidines
*: - *Carbamoyl-P +Asp '''donne |&gt;''' N-Carbamoyl-Asp +Pi EC2132 R01397 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''N-Carbamoyl-Asp'''
*: - *(S)Dihydroorotate +H2O donne &lt;&gt; N-Carbamoyl-Asp EC3523 R01993 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''(S)Dihydroorotate'''  
*: - *(S)Dihydroorotate +'''Fumarate''' donne &lt;&gt; Orotate +'''Succinate''' EC13.98.1 R01993 oxydoreductase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotate'''
*::: + '''Binds FMN'''. The reaction, which takes place in the cytosol, is the only redox reaction in the de novo biosynthesis of pyrimidine nucleotides. Molecular oxygen can replace fumarate in vitro. 
*:: + *Malate donne &lt;&gt; Fumarate +H2O EC4212 R01082 hydrolase ecocyc bi ΔG=+0.61 Kcal/mol de Malate
*::: * Malate vient directement de Pyruvate.Voir Krebs et pyruvate
*:: + *Pathway Asp, Asp '''donne |&gt;''' Fumarate +NH3 EC4311 R00490 amino-lyase
*: - *Orotidine-5'P +PP donne &lt;&gt; Orotate +PRPP EC242.10 R01870 PRPP-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Orotidine-5'P''' 
*: - *Orotidine-5'P '''donne |&gt;''' UMP +CO2 EC2132 R00965 decarboxylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UMP'''
*: - *UMP +Pi '''donne |&gt;''' Uracil +D-Ribose-1,5P2 EC242.57 R10838 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Uracil''' (idem '''Cytosine''')
*: - *UMP +ATP donne &lt;&gt; UDP +ADP EC274.14 R00158 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UDP''' (idem CDP)
*: - *UDP +ATP donne &lt;&gt; UTP +ADP EC2746 R00156 P-transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''UTP''' (idem CTP)
*: - *UTP +ATP +NH3 '''donne |&gt;''' CTP +ADP +Pi EC6342 R00571 ligase &amp;emsp;&amp;emsp;'''CTP'''
*: - * 
*: - *Uracil +dRibose-1P donne &lt;&gt; dUridine +Pi EC2424 R02484 Phosphorylase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dUridine''' (dans comment il y a '''EC2426''')
*:: + The enzyme in some tissues also catalyses deoxyribosyltransferase reactions of the type catalysed by EC 2.4.2.6, nucleoside deoxyribosyltransferase.
*: - Voir le réseau pour dUMP dUDP dUTP
*: - * 
*: - *dR-base1 +base2 donne &lt;&gt; dR-base2 +base1 EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dR-Base1 Base2''' 
*: - *dUridine +C donne &lt;&gt; dCytidine +U EC2426 R04168 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dCytidine''' 
*: - Voir le réseau pour dCMP dCDP dCTP
*: - *
*: - *dUMP +5,10 methylene-THF '''donne |&gt;''' dTMP +DHF EC211.45 R02101 Methyltransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''dTMP''' et '''DHF'''
*: - *dTMP +H2O '''donne |&gt;''' Thymidine +Pi EC3135 R01569 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Thymidine'''
*: - Voir le réseau pour dTTP dTDP Thymine
*Synthèse
*: - étapes: 7 de CO2 et NH3 à UMP
*: - produit: succinate, PP, CO2
*: - consomme: CO2 NH3 Pi, 2Asp PRPP
*: - utilise: ADP '''FMN'''
*: - Le passage de UTP à CTP se fait par EC6342, une ligase de NH3. D'où la Cytosine
*: - Le passage de dUridine à dCytidine se fait par EC2426, une transférase
*: - Le passage de dUMP à dTMP se fait par '''methyl-THF''', une transférase.

=====Formation de His=====
*Pathway: histidine   
*: - *ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP''' 
*: - *PRPP-ATP +H2O '''donne |&gt;''' PRPP-AMP +PP EC361.31 R04035 hydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-AMP''' 
*: - *PRPP-AMP +H2O '''donne |&gt;''' 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-5-[(5-P-beta-D-ribosylamino)methylideneamino]imidazole-4-carboxamide EC354.19 R04037 cyclohydrolase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribosyl-formimino-AICAR-P '''donne |&gt;''' 5-[(5-P-1-deoxy-D-ribulos-1-ylamino)methylideneamino]-1-(5-P-beta-D-ribosyl)imidazole-4-carboxamide EC531.16 R04640 isomerase &amp;emsp;&amp;emsp;'''P-ribulosyl-formimino-AICAR-P'''
*: - *P-ribulosyl-formimino-AICAR-P +NH3 +Gln +H2O '''donne |&gt;''' AICAR +Imidazole-glycerol-3P +NH3 +Glu +H2O EC432.10 R04558 lyase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*:: + Voir pour Gln et NH3 EC6352 dans les purines, ainsi que AICAR
*: - *Imidazole-glycerol-3P '''donne |&gt;''' Imidazole-acetol-P +H2O EC421.19 R03457 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Imidazole-glycerol-3P'''
*: - *Histidinol-P +2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Imidazole-glycerol-3P +Glu EC2619 R03243 aminotransferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol-P''' (B6 protein)
*: - *Histidinol-P '''donne |&gt;''' Histidinol +Pi EC313.15 R03013 dehydratase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinol'''
*: - *Histidinol +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidinal +NAD EC111.23 R03012 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidinal'''
*: - *Histidinal +NAD +H2O '''donne |&gt;''' Histidine +NAD EC111.23 R01163 dehydrogenase &amp;emsp;&amp;emsp;'''Histidine'''
*Synthèse
*: - Étapes: 10 à partir de ATP
*: - produit: 2 PP, NH3, AICAR (purines)
*: - consomme: ATP, PRPP, NH3
*: - Utilise: 2 NAD
*: - B6: avec B6

=====Récapitulation aas=====
*Pyruvate; Pyruvate + NH3 donne |&gt; &lt;u&gt;'''Ala''' sans B6&lt;/u&gt;
*Pyruvate (Glycolyse);  Pyruvate... donne Hydroxypyruvate (5 réactions); HxP + Ala donne &lt;&gt; Pyruvate + '''Ser''' avec B6
*Glycolate; Glycolate + NAD donne &lt;&gt; Glyoxylate + NAD; Ser + Glyoxylate donne &lt;&gt; HxP + '''Gly''' avec B6
*H2S; Ser + H2S donne |&gt; H2O + '''Cys''' avec B6
*Ethanol; Ethanol + NAD donne &lt;&gt; Acetaldehyde + NAD; Gly + Acetaldehyde donne &lt;&gt; '''Thr''' avec B6
*Pyruvate; 2 Pyruvate donne |&gt; Aceto-Lactate + CO2 ('''TPP'''); 
*: - Aceto-Lactate NAD &lt;&gt; v1, v1+NAD donne &lt;&gt; v2; v2 donne |&gt; v3 + H2O; v3 +NH3 donne |&gt; H2O + &lt;u&gt;'''Val''' sans B6&lt;/u&gt;
*Thr donne |&gt; Oxobutanoate + NH3 avec B6
*Pyruvate + Oxobutanoate donne |&gt; Aceto-hydroxy-butanoate + CO2 ('''TPP''');
*: - Aceto-hydroxy-butanoate NAD &lt;&gt; l1, NAD &lt;&gt; l2; l2 donne |&gt; l3 + H2O; l3 +NH3 donne |&gt; H2O + '''Ile''' sans B6 mais vient de Thr
*Glycolate; Gly + Glyoxylate donne |&gt; A1 (avec B6), A1 donne |&gt; A2 + H2O (sans B6), A2 + NAD donne |&gt; NAD + &lt;u&gt;'''Asp''' (sans B6)&lt;/u&gt;
* voie Pyruvate
*: - Pyruvate +ATP+H2O donne &lt;&gt; P-enol-pyruvate + AMP+Pi
*: - P-enol-pyruvate + ADP +CO2 donne &lt;&gt; oxaloacetate + ATP
*: - Gly +oxaloacetate '''donne &lt;|''' Glyoxylate + '''Asp (avec B6)'''
*Asp +ATP +NH3 donne |&gt; AMP + PP + &lt;u&gt;'''Asn''' (sans B6)&lt;/u&gt;
*Asp + ATP donne |&gt; 4-Asp-P +ADP; puis avec NAD et Pyruvate donnent '''Lys''' avec B6
* Après formation de l'ATP
*: - ATP +PRPP donne &lt;&gt; 1-(5-P-beta-D-ribosyl)-ATP +PP EC242.17 R01071 transferase &amp;emsp;&amp;emsp;'''PRPP-ATP'''
*: - hydrolase, cyclase, isomérase, aminolyase ('''NH3''' à la place de Gln), déshydratase aminotransférase ('''Ala/Pyruvate''' à la place de Glu/oxoglutarate), Phosphorylase et 2 déshydrogénase (NAD) donnent '''His''' avec B6

=====B6 Pyridoxal-P=====
*D-Ala peut remplacer B6, retrouver l'article et analyser
*Cycle de krebs en réacteur, 2024: A prebiotic Krebs cycle analog generates amino acids with H2 and NH3 over nickel. &lt;ref&gt;https://www.researchgate.net/publication/378533181_A_prebiotic_Krebs_cycle_analog_generates_amino_acids_with_H2_and_NH3_over_nickel&lt;/ref&gt;
*: - reductive amination (pyruvate - Ala), carbonyl reduction (pyruvate - lactate), .. Asp malate, Gly glycolate, ...Glu
*Biosynthèse de B6
*: + Deux voies de synthèse produisent B6 et ses dérivés. Je laisse celle qui commence par Erythrose-4P car celui-ci nécessite TPP pour sa synthèse dans la voie des pentoses phosphates. Reste la voie de ribose-5P, EC4336. Cette enzyme nécessite ce ribose et le Glycéraldéhyde-3P que j'ai développés dans pyruvate. Elle nécessite aussi Gln pour l'apport de NH3 par transamination et qui pourrait être remplacé par NH3 qui fait parti des molécules de départ pour l'auto-organisation. En outre d'autres enzymes analogues à EC4336, dans leurs mécanismes d'action, arrivent à utiliser NH3 à la place de Gln qui demande le CoA pour sa synthèse et que je n'ai pas encore abordé. Ce sont EC6352, étape XMP vers GMP (ATP); EC6355 au début de Arg; celle-ci peut être remplacée par EC634.16 où Gln est remplacé par NH3, mais qui cependant nécessite un activateur allostérique, N-Acétyl-Glu. Mais son remplacement par EC2722 où Gln est remplacé par NH3 sans aucune intervention de Glu. Dans ATP EC6353 (étape 4) n'est pas remplacée par une enzyme à NH3 malgré un mécanisme de Gln très simple. Par contre EC242.14 (étape 2 de l'ATP) utilise Gln avec un mécanisme très simple et peut être remplacé par EC6347 utilisant très simplement NH3 sans intervention de Gln ou Glu.
*: + Le mécanisme complexe de EC4336 6352 6355 est le suivant:
*:: ++ EC6355: The enzyme from Escherichia coli has three separate active sites, which are connected by a &lt;u&gt;molecular tunnel that is almost 100 A in length&lt;/u&gt; [8]. The amidotransferase domain within the small subunit of the enzyme hydrolyses glutamine to ammonia via a thioester intermediate. The ammonia migrates through the interior of the protein, where it reacts with carboxyphosphate to produce the carbamate intermediate. The carboxyphosphate intermediate is formed by the phosphorylation of hydrogencarbonate by ATP at a site contained within the N-terminal half of the large subunit. The carbamate intermediate is transported through the interior of the protein to a second site within the C-terminal half of the large subunit, where it is phosphorylated by another ATP to yield the final product, carbamoyl phosphate [6]
*:: ++ EC6352: An N-terminal glutaminase domain binds L-glutamine and generates ammonia, which is transferred by a &lt;u&gt;substrate-protective tunnel&lt;/u&gt; to the ATP-pyrophosphatase domain. '''The enzyme can catalyse the second reaction alone in the presence of ammonia'''.
*:: ++ EC4336: The ammonia is provided by the glutaminase subunit and &lt;u&gt;channeled to the active site of the lyase subunit by a 100 A tunnel&lt;/u&gt;. The enzyme can also use ribulose 5-phosphate and dihydroxyacetone phosphate. The enzyme complex is found in aerobic bacteria, archaea, fungi and plants.
*: + On voit que EC4336 ressemble beaucoup à EC6352 qui peut utliser NH3 seul.
*Biosynthèse de B6 avec NH3 Glycéraldéhyde-3P Ribose-5P
*: -*Ribose-5P + Glycéraldéhyde-3P + Gln '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + 3 H2O + Glu +Pi &lt;u&gt;EC4336&lt;/u&gt; R10089 Lyase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxal-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxal + Pi EC313.74 R00173 P-hydrolase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxine + Pi EC313.74 R01911 P-hydrolase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O '''donne |&gt;''' Pyridoxamine + Pi EC313.74 R02494 P-hydrolase '''Pyridoxamine'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P + ADP EC271.35 R00174 kinase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxine-5P + ADP EC271.35 R01909 kinase '''Pyridoxine-5P'''
*: -*Pyridoxamine +ATP '''donne |&gt;''' Pyridoxamine-5P + ADP EC271.35 R02493 kinase '''Pyridoxamine-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine-5P + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal-5P + Glu EC261.54 R01580 transaminase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*Pyridoxamine-5P +H2O +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +NH3 +H2O2 EC1435 R00277 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*: -*
*: -*Pyridoxamine + 2-oxoglutarate donne &lt;&gt; Pyridoxal +Glu EC261.54 R05839 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Pyruvate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Ala EC261.30 R01712 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine + '''Oxaloacetate''' donne &lt;&gt; Pyridoxal +Asp EC261.31 R01713 transaminase '''Pyridoxal'''
*: -*Pyridoxamine +H2O +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxal +NH3 +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxal'''
*: -*
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC1435 R01710 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +O2 donne &lt;&gt; Pyridoxine +H2O2 EC113.12 R01711 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*Pyridoxal +NADP donne &lt;&gt; Pyridoxine +NADP EC111.65 R01708 oxydoreductase '''Pyridoxine'''
*: -*
*: -*Pyridoxine-5P +O2 '''donne |&gt;''' Pyridoxal-5P +H2O2 EC1435 R00278 oxydoreductase '''Pyridoxal-5P'''
*Biosynthèse de B6 n'est pas en contradiction avec la synthèse des aas. Et donc B6 peut être synthétisée avant les aas. Ce qui va dans le sens de D-Ala à la place de B6.
*: -*L-Ala donne &lt;&gt; D-Ala EC5111 R00401 racémase '''D-Ala''' avec B6
*: -*Pyruvate + D-Glu donne &lt;&gt; D-Ala + 2-oxoglutarate EC261.21 R01148 transaminase '''D-Ala''' avec B6
*Synthèse
*: - Étapes: une seule
*: - produit: directement le pyridoxal seul!
*: - consomme: NH3 basique, Glycéraldéhyde étape 5 à partir du pyruvate, D-Ribose-5P étape 10 à partir du pyruvate.
*: - B6: néant et peut être remplacé par D-Ala (ref.)

=====NAD nicotinamide adenine dinucléotide=====
*Hypothèse NAD remplace formate du réacteur du cycle de Krebs: voir ici B6 ci-dessus et la synthèse de [[#Formation_des_aas_%C3%A0_partir_du_pyruvate|Ala]]
*: - *'''Ala''' + NAD + H2O '''donne &lt;|''' Pyruvate + NH3 + NAD  EC1411 (R00396) oxydoréductase (sans B6)
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Asp
*: -*Asp + NAD '''donne |&gt;''' imino-Asp EC141.21 R07410 oxydoreductase (NH2 - NH) '''imino-Asp'''
*: -*imino-Asp + Glycerone-P '''donne &lt;|''' Quinolinate + 2H2O + Pi EC251.72 R04292 cyclase '''Quinolinate'''
*:: + An iron-sulfur protein that '''requires a [4Fe-4S] cluster''' for activity.
*Biosynthèse de NAD et NADP avec Anthranilate issu directement du '''Chorismate nécessitant FMN''' (9 étapes)
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +FAD +O2 '''donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +O2 '''donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*: - * 
*: -*Quinolinate + PRPP '''donne &lt;|''' Nicotinate-nucleotide EC242.19 R03348 ribosyl transferase '''Nicotinate-nucleotide'''
*: -*Nicotinate-nucleotide + ATP donne &lt;&gt; Deamino-NAD + PP EC2771 R00137 adenyl transferase '''Deamino-NAD'''
*:: + '''ATP en substrat'''
*: -*Deamino-NAD + ATP + NH3 '''donne |&gt;''' NAD + AMP +PP EC6315 R00189 oxydoreductase '''NAD+'''
*:: + avec EC6351 Gln remplace NH3, vitesse plus faible avec Gln.
*: -*NAD + ATP '''donne |&gt;''' NADP + ADP EC271.23 R00104 kinase '''NADP+'''
*Synthèse
*: - Étapes: 6 étapes de Anthralinate à NAD puis NADP, en plus des 9 étapes pour arriver à Anthralinate (FMN)
*: - produit: 2 PP
*: - consomme: Anthralinate, 2 fois O2, PRPP, NH3, ATP
*: - Utilise: 2 ATP, FAD
*: - B6: néant
*: - comparaison des 2 voies: 
*:: + Asp est très courte et basique avec Asp et Glycéone-P comme pyridoxal-P. Problème majeur, la synthèse du cluster [4Fe-4S].
*:: + Anthranilate très longue mais se rattache aux aas aromatiques. Problème des dioxygènes, beaucoup moins sujet à caution.

=====FMN FAD riboflavines=====
*Flavine mononucléotide et flavine adenine dinucléotide. Pour chorismate les aas aromatiques.
*Biosynthèse de FMN et FAD avec GTP
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + H2O  '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-uracil + NH3 EC354.26 R03459 amino-hydrolase '''P-ribosylamino-uracil'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine + NADP  '''donne &lt;|''' P-ribitylamino-uracil + NADP EC111.193 R03458 oxydoreductase '''P-ribitylamino-uracil'''
*: -*P-ribitylamino-uracil + H2O  '''donne |&gt;''' ribitylamino-uracil + Pi EC313.104 R07280 phosphorylase '''ribitylamino-uracil'''
*: -*Ribulose-5P  '''donne |&gt;''' Formate + dihydroxy-butanone-4P EC41.99.12 R07281 Formate lyase '''dihydroxy-butanone-4P'''
*: -*dihydroxy-butanone-4P + ribitylamino-uracil '''donne |&gt;''' ribitylLumazine + 2H2O +Pi EC251.78 R04457 butadione transferase '''ribitylLumazine'''
*: -*2 ribitylLumazine '''donne |&gt;''' Riboflavin +  ribitylamino-uracil EC2519 R00066 butanediyltransferase '''Riboflavin'''
*:: + A flavoprotein (riboflavin).
*: -*Riboflavin + ATP '''donne |&gt;''' FMN + ADP EC271.26 R00549 P-transferase '''FMN'''
*: -*FMN + ATP '''donne |&gt;''' FAD + PP EC2772 R00161 Adenyl-transferase '''FAD'''
*Synthèse
*: - Étapes: 9 étapes de GTP à FMN puis FAD
*: - produit: 2 Formates, NH3
*: - consomme: GTP, Ribulose-5P, ATP
*: - Utilise: ATP, NADP

=====Phe Tyr Trp=====
*Les aas aromatiques. Chorismate  nécessite FMN.
*Biosynthèse de Phe Tyr Trp avec fructose
*: -*Fructose-1,6P2 + Methylglyoxal '''donne |&gt;''' céto-Fructose-1P + glyceraldehyde-3P EC221.11 R10049 glycerone-P-transferase Metacyc de P2 à 1            P '''céto-Fructose-1P'''
*:: +*D-Lactate +NAD donne &lt;&gt; Pyruvate +NAD EC111.28 R00704 oxydoreductase ecocyc (schem bi) RL ΔG=+3.33 '''D-Lactate'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD +H2O donne &lt;&gt; D-Lactate +NAD EC121.23 R01735 oxydoreductase pas de REHA '''D-Lactaldehyde'''
*:: +*D-Lactaldehyde +NAD donne &lt;&gt; Methylglyoxal +NAD EC121.78 R02527 oxydoreductase Metacyc bi '''Methylglyoxal'''
*: -*céto-Fructose-1P +Asp-semialdehyde '''donne |&gt;''' heptulosonate +OH-pyruvaldehyde EC221.10 R08568 transferase Metacyc de Asp  '''heptulosonate'''
*:: +*Asp +ATP '''donne |&gt;''' Asp-P +ADP EC2724 R00480 kinase ecocyc de ATP ΔG=+9.89 '''Asp-P'''
*:: +*Asp-P +NADP '''donne &lt;|''' Asp-semialdehyde +NADP +Pi EC121.11 R02291 oxydoreductase ecocyc bi, de P ΔG=+1.78 '''Asp-semialdehyde'''
*: -*heptulosonate + H2O +NAD '''donne |&gt;''' Dehydroquinate +NAD +NH3 EC141.24 R08569 oxydoreductase '''Dehydroquinate'''
*: -*Dehydroquinate donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +H2O EC421.10 R03084 hydrolase '''Dehydroshikimate'''
*: -*Shikimate +NAD donne &lt;&gt; Dehydroshikimate +NAD  EC111.24 R06847 oxydoreductase ecocyc LR de shikimate ΔG=-12.20 '''Shikimate'''
*: -*Shikimate +ATP '''donne |&gt;''' Shikimate-3P +ADP EC271.71 R02412 kinase ecocyc LR de ATP ΔG=-16.06 '''Shikimate-3P'''
*: -*Shikimate-3P +P-enolpyruvate &lt;&gt; Carboxyvinyl-Shikimate-3P +Pi  EC251.19 R03460 transferase '''Carboxyvinyl-Shikimate-3P'''
*: -*Carboxyvinyl-Shikimate-3P '''donne |&gt;''' Chorismate +Pi EC4235 R01714 Phosphorylase '''Chorismate'''
*::: .. Requires '''FMN'''
*: -*Chorismate donne &lt;&gt; Prephenate EC54.99.5 R01715 pyruvate mutase '''Prephenate'''
*: -*Prephenate donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +CO2 +H2O EC421.51 R01373 decarboxylase '''Phenylpyruvate'''
*: -*Phe +NAD +H2O donne &lt;&gt; Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R00688 oxydoreductase '''Phe''' (sans B6)
*: -*Prephenate +NAD donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +CO2 +NAD EC131.12 R01728 decarboxylase '''OH-Phenylpyruvate'''
*: -*Tyr +NAD +H2O donne &lt;&gt; OH-Phenylpyruvate +NAD +NH3 EC141.20 R09830 oxydoreductase '''Tyr''' (sans B6)
*: -*Chorismate +NH3 '''donne |&gt;''' Anthranilate +Pyruvate +H2O EC413.27 R00985 Pyruvate lyase '''Anthranilate'''
*::: .. fonctionne avec glutamine à la place de NH3: The glutaminase produces ammonia that is channeled to the lyase subunit.
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P +PP donne &lt;&gt; Anthranilate +PRPP EC242.18 R01073 PRPP transferase '''Anthranilate-Ribosyl-5P'''
*: -*Anthranilate-Ribosyl-5P donne &lt;&gt; Carboxyphenylamino-Ribulose-5P EC531.24 R03509 cyclo isomérase '''Carboxyphenylamino-Ribulose-5P'''
*: -*Carboxyphenylamino-Ribulose-5P donne &lt;&gt; Indol-Glycerol-3P +CO2 +H2O EC411.48 R03508 cyclase decarboxylase '''Indol-Glycerol-3P'''
*: -*Indol-Glycerol-3P +Ser donne &lt;&gt; Trp +Glyceraldehyde-3P +H2O EC421.20 R02722 Ser hydrolyase '''Trp''' &lt;u&gt;(avec B6)&lt;/u&gt;
*: - *  
*: - *  *voir voie Trp métabolisme*** Quinolinate pour NAD ****
*: -*Anthranilate +'''FAD +O2 donne |&gt;''' OH-Anthranilate +FAD +H2O EC1.14.14.8 R09517 oxydoreductase '''OH-Anthranilate'''
*: -*OH-Anthranilate +'''O2 donne |&gt;''' muconate semi-aldehyde EC1.13.11.6 R02664 décyclase '''muconate semi-aldehyde'''
*: -*muconate semi-aldehyde '''donne |&gt;''' Quinolinate +H2O no-enzyme R04293 dehydratase '''Quinolinate'''
*Synthèse
*: - Etapes
*:: + Voie commune 11 étapes
*:: + Phe et Tyr 3 étapes chacun
*:: + Trp 5 étapes
*:: + Quinolinate 4 étapes dont une spontanée
*: - Produit
*:: + Voie commune, glyceraldehyde-3P, OH-pyruvaldehyde, NH3
*:: + Phe et Tyr: 1 CO2 chacun
*:: + Trp: Pyruvate, PP, CO2 et glyceraldehyde-3P
*:: + Quinolinate: H2O (rien)
*: - Consomme
*:: + Voie commune: Fructose-1,6P2; Pyruvate, Asp, P-enol-Pyruvate
*:: + Phe et Tyr: 1 NH3 chacun
*:: + Trp: NH3, PRPP, Ser
*:: + Quinolinate, '''2 fois O2'''
*: - Utilise
*:: + Voie commune: 5 NAD, NADP, FMN, 2 ATP
*:: + Phe et Tyr: NAD pour Phe; 2 NAD pour Tyr
*:: + Trp: rien
*:: + Quinolinate: '''FAD'''
*: - B6: '''Phe et Tyr sans B6''', et Trp avec B6.

=====TPP Thiamine pyrophosphate=====
*Trois voies pour la synthèse de la pyrimidine dont une circulaire Thiamine-pymiridine EC271.49, et une qui utilise la Sadenosyl-Met nécessitant le coenzyme A EC41.99.17. Reste la voie pyridoxal THI5 Que j'analyse plus bas.
*Deux voies pour la synthèse du composant thiazole dont une, utilisant le pyruvate, nécessite TPP, EC53.99.10. La 2ème voie de NAD a 2 enzymes dont une est suicidaire puisqu'elle détruit Cys de sa séquence EC242.60 et l'autre EC242.59 utilise simplement H2S que j'analyse avec THI5.
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.59, non suicidaire.
*:: + This iron dependent enzyme, is found in most archaea.
*: -*NAD + Gly +H2S '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide +3H2O EC242.59 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*: -*ADP-Thiazol +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Thiazol-P nudix R12026 hydrolase '''Thiazol-P''' comme la nudix suivante
*: -*ADP-Ribose +H2O '''donne |&gt;''' AMP + Ribose-1P EC361.21 R01885 hydrolase '''Ribose-1P'''
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction THI5 complète dans REHA. C'est une enzyme suicidaire (His).
*:: + Cette enzyme se trouve surtout chez les champignons (130), quelques bactéries légionelles (20) et 2 pseudomonas EEI EMP, d'après KEGG. 
*: -* :His +4H2O +4Fe3 + :Lys-B6 '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 '''THI5''' R10686 synthase '''Pyrimidine-P'''
*: -*Pyrimidine-P +ATP '''donne &lt;|''' ADP + Pyrimidine-PP EC2747 R04509 P-transférase '''Pyrimidine-PP'''
*Biosynthèse de la Thiamine
*: -*Pyrimidine-PP +Thiazol-P '''donne |&gt;''' Thiamine-P +CO2 +PP EC2513 R10712 synthase '''Thiamine-P'''
*: -*Thiamine-P +ATP '''donne |&gt;''' Thiamine-PP +ADP EC274.16 R00617 kinase '''Thiamine-PP'''
*: -*Thiamine-P +H2O '''donne |&gt;''' Thiamine +Pi EC3131 R00617 Phosphorylase '''Thiamine'''
*: -*Thiamine +H2O '''donne |&gt;''' Pyrimidine +Thiazole EC35.99.2 R02133 Hydrolase '''Pyrimidine +Thiazole'''
*: -*Thiazole +ATP '''donne |&gt;''' Thiazole-P +ADP EC271.50 R04448 kinase '''Thiazole-P'''
*: -*Pyrimidine +ATP '''donne |&gt;''' Pyrimidine-P +ADP EC271.49 R03471 kinase '''Pyrimidine-P'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC242.60 dans REHA, enzyme suicidaire (Cys)
*:: + This iron dependent enzyme, is found in fungi, plants, and some archaea.
*: -*NAD + Gly + :Cys '''donne |&gt;''' ADP-Thiazol +Nicotinamide + :dehydro-Ala +3H2O EC242.60 R12026 Gly-transferase '''ADP-Thiazol'''
*Biosynthèse du composant thiazole: réaction EC2814, voie bactérienne (Cys) sans suicide mais nécessite plusieurs enzymes dont EC2217 dépendante de TPP 
*:: + The enzyme, found in bacteria and archaea, is activated by EC 2.8.1.7, cysteine desulfurase, which transfers a sulfur atom to an internal L-cysteine residue, forming a cysteine persulfide.
*Biosynthèse de la pyrimidine: réaction EC41.99.7. Enzyme la plus répandue chez les bactéries et les archées, les plantes mais pas les animaux ni les champignons.
*:: + Binds a [4Fe-4S] cluster that is coordinated by 3 cysteines and an exchangeable S-adenosyl-L-methionine molecule. The first stage of catalysis is reduction of the S-adenosyl-L-methionine to produce L-methionine and a 5'-deoxyadenosin-5'-yl radical that is crucial for the conversion of the substrate. Part of the pathway for thiamine biosynthesis.
*Synthèse pour le proto-métabolisme: 2 étapes pour le thiazol, 2 pour la pyrimidine et 2 pour la thiamine-PP
*: - produit: 
*:: + Nicotinamide, AMP et Thiazol; 
*:: + oxopropanoate + :oxopentanoate + :Lys +2Fe2 +Pyrimidine-PP (destruction de l'enzyme)
*:: + CO2 PP
*: - consomme: 
*:: + NAD Gly H2S
*:: + :His, 4H2O, 4Fe3, :Lys-B6
*:: + énergie
*: - Utilise: 
*:: + rien
*:: + ATP
*:: + ATP

=====CoA Coenzyme A=====
*La biosynthèse du CoA nécessite pour sa 1ère enzyme TPP
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*:: + This enzyme requires thiamine diphosphate. The reaction shown is in the pathway of biosynthesis of valine.
*: -*Acetolactate + NADP '''donne &lt;|''' 2(OH)-methylbutanoate EC111.86 R04439 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 dehydratase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*Dimethyl-malate +NAD donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +NAD +CO2 EC111.84 R01211 decarboxylase '''Dimethyl-malate'''
*: -*Dehydropantoate + NAD + H2O donne &lt;&gt; Dimethyl-malate +NAD EC121.33 R03198 dehydratase '''Dehydropantoate'''
*: -*Pantoate + NAD donne &lt;&gt; Dehydropantoate +NAD EC111.106 R02471 oxydoreductase '''Pantoate'''
*: -*Asp  '''donne |&gt;''' beta-Ala +CO2 EC411.11 R00489 carboxy-lyase '''beta-Ala'''
*:: + The Escherichia coli enzyme contains a '''pyruvoyl''' group.
*: -*beta-Ala + Pantoate +ATP  '''donne |&gt;''' Pantothenate +AMP +PP EC6321 R02473 ligase '''Pantothenate'''
*: -*beta-Ala + Pantoate '''donne |&gt;''' Pantothenate +H2O EC351.22 R02474 hydrolase '''Pantothenate''' 
*:: + Article 1966 &lt;ref&gt;https://pubs.acs.org/bichaw/article-abstract/5/2/399/99824/The-Bacterial-Degradation-of-Pantothenic-Acid-II?redirectedFrom=fulltext&lt;/ref&gt;, pseudomonas P-2.
*: -*Pantothenate +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate +ADP EC271.33 R03018 kinase '''P-Pantothenate'''
*: -*P-Pantoate + Cys +CTP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +CMP +PP EC6325 R04231 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*:: + The bacterial enzyme requires CTP, in contrast to the eukaryotic enzyme, EC 6.3.2.51, which requires ATP. Cysteine can be replaced by some of its derivatives.
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantoate + Cys +ATP '''donne |&gt;''' P-Pantothenate-Cys +AMP +PP EC632.51 R04230 Cys ligase '''P-Pantothenate-Cys'''
*: -*P-Pantothenate-Cys '''donne |&gt;''' P-Pantetheine +CO2 EC411.36 R03269 décarboxylase '''P-Pantetheine'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10004&lt;/ref&gt; Un gène une enzyme avec 2 domaines, un pour EC6325 CoaB et un pour EC411.36 CoaC. CoaB dimere. CoaC 12 mères et '''binds FMN'''. Existence d'un intermédiaire 4'-phosphopantothenoyl-CMP, ce qui montre que ce n'est pas un couplage.
*: -*P-Pantetheine +ATP donne &lt;&gt; dePhospho-CoA +PP EC2773 R03035 adenylyltransferase '''dePhospho-CoA'''
*: -*dePhospho-CoA +ATP '''donne |&gt;''' CoA +ADP EC271.24 R00130 kinase '''CoA'''
*Synthèse
*: - 13 étapes de Pyruvate à CoA
*: - produit: 3 CO2; 3 PP
*: - consomme: 2 Pyruvate; Asp; Cys
*: - Utilise: NADP et 3 NAD; CTP et 4 ATP
*: - B6: pas de B6

=====Val Ile Leu=====
*Nécessitent TPP et CoA pour Leu seul.
*: -*2 Pyruvate '''donne |&gt;''' Acetolactate + CO2 EC2216 R00226 pyruvate-lyase '''Acetolactate'''
*: -*Acetolactate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate EC111.86 R05071 methyl mutase '''OH-methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxobutanoate +NADP EC111.86 R04440 oxydoreductase '''2(OH)-methylbutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate donne &lt;&gt; methyl-oxobutanoate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''methyl-oxobutanoate'''
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate'''
*: -*oxo-isovalerate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Val +NAD +H2O EC1419 R01434 oxidoreductase '''Val''' (sans B6)
*: -*Ile
*: -*Thr '''donne |&gt;''' Oxobutanoate +NH3 EC431.19 R00996 NH3-lyase '''Oxobutanoate''' (avec B6)
*: -*Pyruvate +oxobutanoate '''donne |&gt;''' Aceto-hydrxy-butanoate + CO2 EC2216 R08648 pyruvate-lyase '''Aceto-hydrxy-butanoate'''
*: -*Aceto-hydroxy-butanoate donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate EC111.86 R05069 methyl mutase '''OH-methyl-oxopentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate +NADP  donne &lt;&gt; OH-methyl-oxopentanoate +NADP EC111.86 R05068 oxydoreductase '''2(OH)-methylpentanoate'''
*: -*2(OH)-methylpentanoate donne &lt;&gt; 3-methyl-oxopentanoate +H2O EC4219 R05070 hydrolase '''3-methyl-oxopentanoate'''
*: -*3-methyl-oxopentanoate +NH3 +NAD '''donne |&gt;''' Ile +NAD +H2O EC1419 R02196 oxidoreductase '''Ile''' (sans B6)
*: -*Leu
*: -*2(OH)-methylbutanoate '''donne |&gt;''' oxo-isovalerate +H2O EC4219 R04441 hydrolase '''oxo-isovalerate''' vient de Val
*: -*oxo-isovalerate + Acetyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' 2-Isopropyl-malate + CoA EC233.13 R01213 synthase '''2-Isopropyl-malate'''
*:: +*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*2-Isopropyl-malate donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-maleate +H2O EC421.33 R03968 hydrolase '''2-Isopropyl-maleate'''
*: -*2-Isopropyl-maleate +H2O donne &lt;&gt; 3-Isopropyl-malate EC421.33 R04001 hydro-lyase '''3-Isopropyl-malate'''
*: -*3-Isopropyl-malate +NAD donne &lt;&gt; 2-Isopropyl-oxosuccinate +NAD EC111.85 R04426 oxidoreductase '''2-Isopropyl-oxosuccinate'''
*: -*2-Isopropyl-oxosuccinate '''donne |&gt;''' 4-Methyl-2-oxopentanoate +CO2 &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R01652 décarboxylase '''4-Methyl-2-oxopentanoate'''
*: -*Leu +NAD +H2O '''donne &lt;|''' 4-methyl-2-oxopentanoate +NH3 +NAD EC1419 R01088 oxidoreductase '''Leu''' (sans B6)
*Synthèse
*: - 6 étapes pour Val; 6 étapes pour Ile; 12 étapes pour Leu.
*: - produit
*:: + Val: CO2
*:: + Ile: CO2 NH3
*:: + Leu: CO2
*: - consomme
*:: + Val: 2 Pyruvate NH3
*:: + Ile: Thr NH3
*:: + Leu: Acetate NH3
*: - Utilise
*:: + Val: NADP NAD
*:: + Ile: NADP NAD
*:: + Leu: ATP CoA 2 NAD
*: - B6: tous les 3 n'utilisent pas B6

=====Methionine Met=====
*Nécessite CoA et Methane-thiol qui dériverait du [[#Ethanol_Acetate_Lactate_Formate_Methanol_Pyruvate_glycolate|Methanol]]. 
*Pathway: cysteine methionine
*: -*acetyl-CoA  + L-homoserine '''donne |&gt;''' CoA + O-acetylhomoserine EC231.31 R01776 transferase '''acetyl-CoA''' 
*: -*'''Methane thiol''' + O-acetylhomoserine '''donne |&gt;''' Met + acetate EC251.49 R00651 O-acetylhomoserine sulfhydrolase '''Met''' (sans B6)
*: -*Methionine + H2O '''donne |&gt;''' oxobutanoate + NH3 + '''Methane thiol''' EC441.11 R00654 deaminase  (avec B6)
*: -*Met +ATP +H2O '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Met +PP +Pi EC2516 R00177 synthase '''S-adenosyl-Met''' SAM est une methyl-transférase
*: -*S-adenosyl-Met +Met '''donne |&gt;''' S-adenosyl-Homo-Cys +S-methyl-Met EC211.12 R00649 S-methyltransferase '''S-methyl-Met'''  voie des sulfures
*: -*Homo-Cys +S-methyl-Met '''donne |&gt;''' 2 Met EC211.10 R00177 S-methyltransferase '''Met''' (sans B6)
*Synthèse
*: - Dans KEGG il est impossible de synthétiser Met sans passer par S-adenosyl-Met.
*: - Dans Kegg la synthèse de Met nécessite le méthane thiol, CH3-SH, qui proviendrait du méthanol et de SH2 dans les sources hydrothermales qui sont supposées générer le proto-métabolisme étudié ici.
*: - Elle nécessite l'acetyl-CoA et l'homoserine. Cette dernière constitue le squelette de Met et son OH est remplacé par le Méthane thiol par l'intermédiaire de l'acétyl-CoA qui est scindé en CoA et Acétate. 
*: - B6: cette synthèse ne nécessite pas B6 qui est par contre nécessaire pour la régénération du Méthane thiol
*: - L'hydrolyse de Met produit le méthane thiol, NH3 et l'oxobutanoate.
*: - S-adenosyl-Met: sa synthèse à partir de Met consomme 1 ATP et produit 1 PP.
*:: + S-adenosyl-Met plus Met donne S-adenosyl-Homo-Cys qui n'a aucun rôle notable dans le métabolisme au contraire de SAM, et S-methyl-Met.
*:: + L'Homo-Cys issue de la voie de la Cys régénère Met avec S-methyl-Met, sans la présence notable de B6.

=====Glutamate Glu Gln=====
*Nécessite CoA à partir du cycle de Krebs
*: -*Acetate + CoA +ATP donne &lt;&gt; Acetyl-CoA +ADP +Pi EC621.13 R00229 CoA ligase '''Acetyl-CoA''' (pathway Pyruvate)
*: -*Acetyl-CoA +oxaloacetate +H2O donne &lt;&gt; Citrate +CoA EC2331 R00351 acetyl transferase '''Citrate''' 
*: -*Citrate donne &lt;&gt; Cis-aconitate +H2O EC4213 R01325 hydrolase '''Cis-aconitate''' 
*: -*Cis-aconitate +H2O donne &lt;&gt; Iso-citrate EC4213 R01900 hydro-lyase '''Iso-citrate''' 
*: -*Iso-citrate +NADP donne &lt;&gt; oxalosuccinate +NADP EC111.42 R01900 oxydoreductase '''oxalosuccinate''' 
*: -*oxalosuccinate donne &lt;&gt; 2-oxoglutarate +CO2 EC111.42 R01900 carboxylase '''2-oxoglutarate''' 
*: -*2-oxoglutarate +NAD +NH3 donne &lt;&gt; Glu +NAD +H2O EC1412 R00243 oxydoreductase '''Glu''' (sans B6)
*: -*Glu +NH3 +ATP '''donne |&gt;''' Gln +ADP +Pi EC6312 R00253 NH3 ligase ΔG=-6.77 kcal/mol 469 aas direct de Glu '''Gln''' (sans B6)
*: - *PRPP +Gln '''donne &lt;|''' 5P-ribosylamine +PP +Glu EC242.14 R01072 amido transférase ecocyc de Glu, metacyc bi ΔG=2.05 kcal/mol '''PRA'''
*:: + ecocyc: Gln peut être remplacée par NH3 &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10794&lt;/ref&gt;. Il y a un tunnel qui relie à l'enzyme suivante EC634.13. Homo tetramer. 505 aas.
*Synthèse
*: - 7 étapes de Acetate à Glu, plus 1 étape pour Gln
*: - produit: CO2, CoA, Glu
*: - consomme: Acetate, CoA, Glu, 2 NH3
*: - utilise: NADP, NAD, 2 ATP
*: - n'utilise pas B6, 2 fois: Glu Gln
*: - Gln sans ATP: EC242.14. Dans le commentaire NH3 peut remplacer Gln. A partir de là on obtient PRA et PP. PRA est très instable, aussi en présence de Glu et de PP se forme PRPP et Gln avec un ΔG=2.05 kacl/mol meilleur qu'avec l'ATP et favorable à la réversibilité. Donc PRPP + NH3 + Glu donne Gln, peut être en petite quantité, mais peut être entraînée par l'ensemble des autres aas.

=====Arginine Arg Pro=====
*Nécessite CoA et Glu
*: -*Acetyl-CoA + Glu '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu +CoA EC2311 R00259 acetyltransferase '''Acetyl-Glu'''
*: -*Acetyl-Glu +ATP '''donne |&gt;''' Acetyl-Glu-5P +ADP EC2728 R00249 kinase '''Acetyl-Glu-5P'''
*: -*Acetyl-Glu-5-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5P +NADP EC121.38 R02649 oxydoreductase '''Acetyl-Glu-5-semialdehyde'''
*: -*N-Acetyl-Ornithine + 2-oxo-Glu '''donne &lt;|''' Acetyl-Glu-5-semialdehyde +Glu EC261.11 R02283 transaminase '''N-Acetyl-Ornithine''' (avec B6)
*: -*N-Acetyl-Ornithine + Glu donne &lt;&gt; Ornithine +Acetyl-Glu EC231.35 R02282 acetyltransferase '''Ornithine'''
*: -*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase ΔG=6.17 kcal/mol bi metacyc ecocyc, eco 297 aas. 2630 êtres dont 645 archées '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline'''
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-5-semialdehyde  donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclo-hydrolase '''Pyrroline-5-carboxylate'''
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyrroline-5-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*: -*
*Nécessite Glu seulement. Valable pour le cas du réacteur à Formate et pyruvate sans CoA (ref.)
*: -*Glu +ATP '''donne |&gt;''' Glu-5P +ADP EC272.11 R00239 kinase '''Glu-5P''' 
*: -*Glu-semialdehyde +NADP +Pi '''donne &lt;|''' Glu-5P +NADP EC121.41 R03313 oxydoreductase '''Glu-semialdehyde''' 
*: -*Ornithine +2-oxoglutarate  donne &lt;&gt; Glu +Glu-semialdehyde EC261.13 R00667 transaminase '''Ornithine''' (avec B6)
*:: +*ATP +NH3 +HCO3- '''donne |&gt;''' carbamoyl-P +ADP +H2O EC2722 R00150 kinase '''carbamoyl-P'''
*: -*carbamoyl-P +Ornithine '''donne |&gt;''' Citrulline +Pi EC2133 R01398 transferase '''Citrulline''' (sans B6)
*: -*Arg +H2O  donne &lt;&gt; Citrulline +NH3 EC3536 R00552 iminohydrolase '''Arg''' (sans B6)
*: -*Glu-semialdehyde donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +H2O &lt;u&gt;spontanée&lt;/u&gt; R03314 cyclisation '''Pyroline-carboxylate''' 
*: -*Pro +NAD donne &lt;&gt; Pyroline-carboxylate +NAD EC1512 R01248 oxydoreductase '''Pro''' (sans B6)
*Synthèse sans CoA
*: - 6 étapes à partir de Glu pour Arg et 2 étapes pour Pro dont une spontanée
*: - Produit: Ornithine, Citrulline, 2-oxoglutarate, Carbamoyl-P
*: - Consomme: 2 Glu (dont 1 pour NH3), NH3, CO2
*: - Utilise: 2 ATP, NADP, NAD
*: - B6: utilisée pour Ornithine mais non pour Arg et Pro.

=====THF pour TMP=====
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF
*: -*GTP +4 H2O '''donne |&gt;''' P-ribosylamino-pyrimidine + Formate +2 Pi EC354.25 R00425 cyclo-hydrolase '''P-ribosylamino-pyrimidine'''
*: -*P-ribosylamino-pyrimidine '''donne |&gt;''' Dihydroneopterin-P +H2O EC421.160 R11072 cyclo-hydrolase '''Dihydroneopterin-P'''
*: -*Dihydroneopterin-P '''donne |&gt;''' OH-CH2Dihydropterin +Glycolaldehyde-P EC412.59 R11718 Phosphorylase '''OH-CH2Dihydropterin'''
*:: +*Chorismate +Gln '''donne |&gt;''' NH2-Deoxychorismate +Glu EC261.85 R01716 NH2-transferase '''NH2-Deoxychorismate''' 
*::: * In the absence of PabA and glutamine (but in the presence of Mg2+), PabB can convert ammonia and chorismate into 4-amino-4-deoxychorismate
*:: +*NH2-Deoxychorismate '''donne |&gt;''' p-Amino-benzoate + Pyruvate EC413.38 R05553 pyruvate-lyase '''p-Amino-benzoate''' (avec B6)
*: -*p-Amino-benzoate + OH-CH2Dihydropterin '''donne |&gt;''' dihydro-Pteroate +H2O EC251.15 R03066 benzoate ligase '''dihydro-Pteroate'''
*: -*dihydro-Pteroate +Glu +ATP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +ADP +Pi EC632.12 R02237 Glu ligase '''dihydro-Folate'''
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://biocyc.org/gene?orgid=ECOLI&amp;id=EG10327&lt;/ref&gt;. ATP-dependant reaction, est-ce que ATP a un site propre pour son hydrolyse?
*: -*THF +NADP '''donne &lt;|''' dihydro-Folate +NADP EC1513 R00936 oxydoreductase '''THF'''
*: -*
*Le passage de dUMP à TMP nécessite le methyleneTHF. One carbon pool by Folate.
*: -*
*: -*THF +ATP +Formate donne &lt;&gt; Formyl-THF +ADP +Pi EC6343 R00943 formyl ligase '''Formyl-THF''' eucaryotes
*: -*Formyl-THF +P-Ribosylglycinamide donne &lt;&gt; THF +P-Ribosyl-N-formylglycinamide EC2122 R04325 formyl ligase '''Formyl-THF''' bactéries
*:: + ecocyc: &lt;ref&gt;https://www.kegg.jp/entry/eco:b2500&lt;/ref&gt;, voir formation ATP
*: -*Methenyl-THF +H2O donne &lt;&gt; Formyl-THF EC3549 R01655 cyclase '''Methenyl-THF'''
*: -*Methylene-THF +NADP donne &lt;&gt; Methenyl-THF +NADP EC1515 R01220 oxydoreductase '''Methylene-THF'''
*: -*Methylene-THF +dUMP '''donne |&gt;''' dihydro-Folate +TMP EC1513 R02101 methyltransferase '''TMP''' (pyrimidine)
*Synthèse
*: - 12 étapes de GTP à TMP
*: - produit: Formate, Glycolaldéhyde-P, Pyruvate
*: - Consomme: GTP, NH3, Glu, Formate, -CH3
*: - Utilise: 2 NADP, 2 ATP

=====Acides gras=====
*Commencent avec Acetyl-CoA
*: -*2 Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' Acetoacetyl-CoA +CoA EC2319 R00238 acetyl transferase '''Acetoacetyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +NAD EC111.35 R01975 oxydoreductase '''3-OH-butanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-butanoyl-CoA donne &lt;&gt; Crotonoyl-CoA +H2O EC421.17 R03026 hydrolase '''Crotonoyl-CoA'''
*: -*Butanoyl-CoA +NAD '''donne &lt;|''' Crotonoyl-CoA +NAD EC131.44 R01171 oxydoreductase '''Butanoyl-CoA'''
*: - *
*: -*Butanoyl-CoA +Acetyl-CoA '''donne |&gt;''' 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''3-Oxohexanoyl-CoA'''
*:: + même réaction que R00238 mais Acetyl remplacé par Butanoyl
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04748 oxydoreductase '''3-OH-hexanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hex-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04749 hydrolase '''trans-Hex-2-enoyl-CoA'''
*: -*Hexanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hex-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R06985 oxydoreductase '''Hexanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à 16 carbones 
*: -*Hexadecanoyl-CoA +NADP '''donne &lt;|''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +NADP EC1318 R01278 oxydoreductase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +H2O '''donne |&gt;''' Hexadecanoate +CoA EC312.22 R01274 hydrolase '''Hexadecanoate'''
*Dégradation
*: -*Hexadecanoate +CoA +ATP '''donne |&gt;''' Hexadecanoyl-CoA +AMP +PP EC6213 R01280 CoA ligase '''Hexadecanoyl-CoA'''
*: -*Hexadecanoyl-CoA +FAD '''donne |&gt;''' trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +FAD EC1387 R01279 oxydoreductase '''trans-Hexadec-2-enoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA donne &lt;&gt; trans-Hexadec-2-enoyl-CoA +H2O EC421.17 R04738 hydrolase '''3-OH-hexadecanoyl-CoA'''
*: -*3-OH-hexadecanoyl-CoA +NAD donne &lt;&gt; 3-Oxohexadecanoyl-CoA +NAD EC111.211 R04737 oxydoreductase ''' 3-Oxohexadecanoyl-CoA'''
*: -*Tetradecanoyl-CoA +Acetyl-CoA donne &lt;&gt; 3-Oxohexanoyl-CoA +CoA EC231.16 R01177 acetyl transferase '''Tetradecanoyl-CoA'''
*: - * ----------Jusqu'à Acetyl-CoA 
*: -*2 Acetyl-CoA donne &lt;&gt; Acetoacetyl-CoA +CoA EC231.16 R00238 acetyl transferase '''Acetyl-CoA'''

==essai 1==
&lt;pre&gt;
Réflexion sur la méthode pour imaginer l'émergence de la vie
Émergence ou origine de la vie à partir de minéraux et de molécules organiques abiotiques.
Pour imaginer cette émergence nous avons un postulat de départ, c'est qu'elle s'est faite toute seule, en admettant qu'il n' y a pas d'intervention intelligente extérieure. Ensuite si l'on veut réfléchir sur un contenu matériel donné, on parlera d'auto-organisation entre les éléments de ce contenu.
Reste que, pour pouvoir imaginer, on part des images que l'on connaît, c’est à dire le vivant dans toutes ses formes avec ses descriptions et ses théories scientifiques. Par scientifique j'entends reproduction à l'infini et de façon identique de tout processus observé, mesuré et reproduit. Et ce qu'on définit comme être vivant, c'est un objet qui peut se reproduire à l'infini tout en pouvant le manipuler ou le détruire. Ce qui a été toujours observé c'est que le sous-ensemble constituant cet être est soit une cellule unique, procaryotes et protistes, ou bien une cellule de métazoaire. Il est clair là, que je pars de notions qui ont été imaginées, échafaudées et expérimentées depuis des siècles. On pourrait les remettre en question si nécessaire, mais cela constitue une base solide pour commencer notre réflexion. Et cet essai de réflexion abordé ici, consiste à imaginer quelque chose à partir de ces théories et observations qui l'ont précédé.
	Il est clair que, maintenant suivant l'aboutissement actuel de la biologie, toute cellule vivante est contenue dans une membrane et échange des molécules à travers cette membrane. Cependant jusqu'à maintenant on n'a pas pu mettre en évidence une production abiotique, sur la Terre, des ags constituants de la membrane, mais on sait que ça aurait pu être possible il y a quelques milliards d'années puisque sur le satellite Titan existe une mer d'hydrocarbures pouvant contenir des ags. 
	Pour le contenu, on connait, depuis les expériences de Urey-Miller de 1953, de nombreuses molécules organiques produites ou découvertes sur Terre, de nature abiotique. Elles sont de toutes tailles et sont semblables aux molécules biotiques: des ags, des aas, des sucres, des peptides et mêmes des protéines, des ans et mêmes de longues séquences d'ARN et de nombreux coenzymes et molécules du métabolisme intermédiaire. Cependant les sucres et aas  chiraux sont tous racémiques, alors que dans les polymères biotiques, les sucres sont tous D et les aas sont tous L sauf dans les cas où il y a modification après traduction pour les aas et après transcription pour les ARNs non messagers.
	C'est à partir de ce mélange, appelé soupe prébiotique, contenant ces molécules abiotiques connues ou supposées exister que plusieurs auteurs échafaudent un scénario de l'émergence en essayant de l'étayer par des réactions chimiques. Cependant l'auto-organisation n'est jamais abordée sinon pour l'auto-assemblage des ags pour former un liposome. Et même pour démontrer l'enrichissement d'un sucre chiral sous la forme D, l'expérimentateur fait intervenir le champs magnétique de certains minéraux à l'extérieur du liposome contenant le sucre (ref.). L'émergence serait-elle conditionnée par ces minéraux? et que se passerait-il si ces minéraux venaient à disparaitre? La vie ne se serait apparue qu'occasionnellement? 
	Dans le cas du RNA world on part aussi d'une probabilité infime d'une séquence de RNA abiotique capable de jouer le rôle de ribozyme et l'on déroule un réseau de réactions chimiques utilisant cet enzyme, ensuite on encapsule le tout dans un liposome comme si celui-ci n'aurait à jouer aucun rôle dans ce processus. De même dans le proto métabolisme on part d'un réseau minimal avec non pas un mais un grand nombre de catalyseurs, puis on encapsule le tout dans un liposome. Dans ces 2 exemples ont met la charrue avant les bœufs et surtout ces réactions utilisent énormément d'énergie qui serait susceptible d'être remplacée par l'ATP, molécule la plus spécifique du vivant. Comment régénérer cet ATP et la produire de façon continue? Sinon par auto-organisation.
	
	L'auto-organisation prébiotique
*partir du postulat
*pas de catalyse minérale des liaisons covalentes
*liposome aux interactions faibles
*grande surface ionique qui permet l'établissement de liaisons covalentes pour façonner les têtes phospholipides puis
*Je considère que tout au début ce sont des interactions à faible énergie qui agissent, ne mettant pas en jeu des liaisons covalentes comme entre les queues aliphatiques des acides gras. Mais il y a aussi les liaisons hydrogène et les liaisons ioniques. Faire la liste de leurs énergies.
*échanges avec l'extérieur
*Toute mise en jeu de liaison covalente est du ressort de l'ensemble des éléments constituant la protocellule. L'auto-organisation ne produit de nouvelle structure, et donc même de nouvelles liaisons covalentes, que pour améliorer de plus en plus cet organisation en diminuant l'entropie de la protocellule par évacuation de l'eau.
*A ce stade, puisqu'il n y a pas de catalyse minérale et que l'avenir sont les enzymes, ce sont les groupes d'aas et avec la contrainte de toute la protocellule qui jouent le rôle d'enzymes pour catalyser des réactions enzymatiques même très lentement. Je les appelle penzyme pour proto enzyme. Il suffit d'une seule molécule créée pour qu'un groupe d'aas nouveau se constitue attiré par ses propriétés physico-chimiques. Toute molécule de la soupe prébiotique ou nouvellement créée est un proto substrat pour une penzyme, je le nomme psubstrat. 
*homochiralité sucres et aas: elle renforce l'action des penzymes, élimine les encombrements stériques et rapproche le psubstrat du penzyme.
*L'auto-organisation va procéder par étapes de plus en plus rigides, en diminuant son entropie et en produisant de nouvelles contraintes à l'étape suivante. Ce qui veut dire que les penzymes vont évoluer dans le temps. Est-ce qu'on passera par des oligopeptides et des oligonucléotides comme les coenzymes NAD FAD ....? C'est l'expérimentation qui nous le dira.
&lt;/pre&gt;

==essai 2==
*PLD de krishnamurty &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S245192942400069X&lt;/ref&gt;
*Application du postulat de l'auto-organisation prébiotique
*La question de CTP pour l'initialisation de la membrane
===Mise en place de l'auto-organisation prébiotique===
*Historique de ma réflexion aboutissant au principe d'auto-organisation prébiotique:
*: - Communication du liposome avec l'extérieur: Dans pétrole prébiotique et chiralité prébiotique un problème bloquait ma réflexion, la communication du liposome avec l'extérieur par un pore. J'avais imaginé une seule ouverture sous la pression mécanique au moment du détachement du liposome de la phase huile. Et c'était une victoire pour moi (ref.) parce que avant, notamment avec chimio-osmose prébiotique, j’imaginais avec grande difficulté plusieurs processus moléculaires pour créer une ouverture dans le liposome (ref.ionophores). En reprenant ma réflexion sur pétrole et chiralité prébiotiques, pour publication, leur relecture au niveau de la micelle aqueuse de la phase huile, migrant vers la phase eau, où je disais que l'interface eau/huile dans cette micelle était primordiale et que les aas hydrophobes pouvaient s'intercaler entre les têtes des acides gras, m'a conduit à reconsidérer l'auto-assemblage des acides gras en liposome. Cet auto-assemblage doit se faire avec les acides aminés. Et ce n'est plus alors un auto-assemblage de molécules identiques entre elles, mais c'est une auto-organisation d'un acide gras unique avec une vingtaine d'aas différents. Ainsi, en se détachant de la phase huile, le liposome a de nombreux semi-pores prébiotiques sur les 2 couches, prêts à évoluer en pores biotiques. C'est ainsi que le principe d'auto-organisation m'est apparu alors essentiel et pertinent. Et c'est à ce moment là que j'ai commencé à rechercher la bibliographie sur l'auto-organisation et que je n'ai trouvé que quelques bribes à part un article qui se veut philosophique (ref.) et qui traite de l'auto-organisation en général. Une auto-organisation sociale ou d'êtres vivants, même les microbes, mais pas moléculaires et surtout prébiotiques. Cet article m'a conforté dans le principe de contrainte imposée par l'auto-organisation qui fait évoluer l'organisation et ne parle plus de forces directionnelles, à partir d'un individu vers un autre. Les contraintes agissent sur tous les individus et tout individu par son action ou par sa création par l'organisation crée une contrainte qui agit sur toute l'organisation.
*: - La catalyse enzymatique: Après la publication de pétrole prébiotique en 2015 (ref.) j'ai continué ma réflexion sur ce sujet tout en travaillant sur les clusters des gènes de RNA non codant (ref.) et les répétitions des base dans l'ADN (ref.). J'étais intrigué par les processus de désintégration des RNAm après leur traduction. Ce sont des milliers de liaisons nucléiques très riches en énergie, puisque faisant intervenir de l'ATP au moment de leur formation, qui sont détruites simultanément et rapidement par les nucléases. Si la catalyse devait se faire avec des minéraux il y aurait eu une explosion de chaleur. Or ce n'est pas le cas avec les enzymes. Celles-ci absorbent cette énergie sous forme de vibrations et de changement de conformation la rendant prête à accueillir d'autres substrats pour d'autres réactions. C'est pour ça que je me suis dit que la spécificité des enzymes est là. Et qu'aucune réaction chimique ne devrait se faire avec des catalyseurs minéraux dans la cellule prébiotique comme pour la cellule biotique, à part des remaniements intra-moléculaires (cyclisation) ne produisant pas d'énergie. Les enzymes utilisent les minéraux jusqu'à créer des liaisons covalentes avec eux mais toujours en leur sein et sous leur contrôle.
*: - La catalyse avec les aas libres: C'est la situation qui devrait prévaloir au début de l'évolution moléculaire avant l'apparition des polymères d'aas constituant les protéines de structures et les enzymes puisqu'il ne devrait pas y avoir de catalyse par les minéraux. initialisation du métabolisme dans chiralité.
==essai 3==
12/01/26 Paris. Écriture à la volée après cette longue absence, mais en continuité toujours par la réflexion.
*Deux points importants de la critique du passé de mes essais:
*: - Le principe d'Urey-Miller: cela fait maintenant plus de 70 ans que toutes les recherches sur les origines de la vie essaient de reproduire les conditions de la Terre primitive qui auraient favorisé les réactions chimiques, et leurs produits, conduisant à l'émergence de la vie. Cela a été étendu même au-delà de cette Terre, dans tout l'univers. A quoi cela sert-il de refaire à l'infini ces expériences? 
*: - Le protobionte est apparu dans l'eau sous la forme d'un liposome incorporant des molécules d'Urey-Miller. Deux critiques encore importantes: comment sont apparus les pores d'échange avec l'extérieur? et surtout comment sont produites de façon continue les dizaines de molécules abiotiques?
*Le nouveau concept
*: - L'auto-organisation prébiotique: C'est l'impossibilité d'imaginer des pores avec le liposome qui m'a amené à imaginer l'organisation simultanée des acides gras et des aas et donc dans la micelle qui va former le liposome. Dans pétrole prébiotique, j'ai bien senti et remarqué l'importance de l'interface eau/huile de la micelle qui, en plus, avant d'arriver à la formation du liposome, reste dans un état intermédiaire de densité qui va lui permettre d'incorporer de plus en plus des molécules Urey-Miller qui sont dans la phase huile.
*: - Le proto métabolisme: Ce ne sont pas des réactions non enzymatiques comme proposées dans la littérature. Mon concept c'est plutôt un métabolisme virtuel: A l'intérieur de la micelle contenant beaucoup d'aas libres, ceux-ci peuvent agir comme un enzyme mais lentement. C'est de l'auto-organisation. Par exemple, dans le biotique les centres actifs réunissent souvent 3 aas, Ser Asp His, et dans le virtuel leur rapprochement peut avoir une action même très faible. Du point de vue de l'auto-organisation tout action faite par ses éléments ne peut qu'améliorer cette organisation. 
*: - La création des aas dans la micelle et son environnement: Dans le pétrole prébiotique je partais de 4 aas  Urey-Miller (article de 2009), et j'imaginais par le métabolisme virtuel la création de nouveaux aas. En continuant cette réflexion avec le concept d'auto-organisation, et en m'aidant de la base de données KEGG j'ai trouvé qu'une enzyme pouvait créer de novo du Trp à partir de l'indole et de la Ser en passant par DGA-3P! Un sucre pour la synthèse d'un aa! Et quel sucre! Celui à la base des 1ers phospholipides! Aussi j'ai essayé de voir qu'est ce qui passe avec Phe et Tyr qui ont à peu près le même format que Trp avec un corps volumineux et aliphatique (benzène et phénol) collé à une Ser. Ce qui me semblait intéressant c'est leurs décarboxylés, Phénylethylamine et Tyramine. Aussi ces amines(Nh3+) seraient alternées avec les têtes des acides gras (COO-) de la micelle. Et la grande surface de ces ions catalyserait leur conversion en aas? C'est ce qui m'a amené à reconsidérer la réaction de Strecker, le cyanure remplaçant l'amine, ou plutôt l'alpha-aminonitrile.
==essai 4==
21/02/26 Paris. Après la lecture d'articles sur les compartiments dans la serpentinisation dont les parois rocheuses sont considérées comme une membrane abiotique dans la théorie du métabolisme d'abord, et que la membrane biotique ne recouvre le protobionte qu'en fin de parcours pour devenir autonome dans l'eau, je me suis rendu compte que le problème de la discontinuité entre biotique et abiotique est toujours là. Car, en effet, l'auto organisation dans cette théorie est faite avec les parois rocheuses et qu'elle doit changer immédiatement une fois le protobionte dans l'eau. Les gradients redox et ph ne sont plus les mêmes et en plus il faut résoudre le problème des forces osmotiques. Est-ce qu'il faut créer de nouveau ou même adapter les pores d'échange s'il y en a?
* Les lectures:
*: - La théorie: A self-sustaining serpentinization mega-engine feeds the fougerite nanoengines implicated in the emergence of guided metabolism, Russell 2023 ( figure 4).&lt;ref&gt;https://www.frontiersin.org/journals/microbiology/articles/10.3389/fmicb.2023.1145915/full&lt;/ref&gt;
*: - Les expériences en laboratoire
*:: + Reproduction des cheminées alcalines (chemical garden): Synthèse abiotique de molécules organiques à partir de gaz simples et de minéraux catalytiques en simulateur milli fluidique de sources hydrothermales, Grégoire Boé 2025 &lt;ref&gt; https://theses.hal.science/tel-05407367&lt;/ref&gt;
*:: + Formamide: A Universal Geochemical Scenario for Formamide Condensation and Prebiotic Chemistry, Revue, R.Saladino 2018 &lt;ref&gt;https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC6470889/&lt;/ref&gt;
*:: + Synthèse de Ala: Redox and pH gradients drive amino acid synthesis in iron oxyhydroxide mineral systems, LM Barge 2019 &lt;ref&gt;https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1812098116&lt;/ref&gt;
* Le nouveau concept: réactions chimiques abiotique, '''quasi biotiques''' et biotiques. Outre le postulat que l'émergence de la vie s'est faite toute seule avec l'auto organisation prébiotique je penses que celle-ci ne puisse se faire que dans une micelle qui se forme dans l'huile et évolue vers un liposome. Cette micelle est faite d'acides gras et contient l'eau et un minimum d'ingrédients nécessaires aux réactions virtuelles que j'ai développées à l'essai3, dont les aas. J'appelle les réactions chimiques qui évoluent dans cette micelle de quasi biotiques. Elles font intervenir les têtes carboxyliques des acides gras, les sucres de la '''réaction de formose''' et surtout des aas libres mais pas de peptides au début. Les réactions abiotiques utilisent la chaleur et les catalyseurs minéraux, les réactions quasi biotiques n'utilisent pas la chaleur comme les biotiques, et comme '''catalyseurs le regroupement des acides gras et des acides aminés''', et pour les biotiques, ces regroupements sont remplacés par les enzymes et les phospholipides.
* Le scénario de l'émergence de la vie avec ce nouveau concept: Dans une zone de subduction
*: - en profondeur, avec des températures (&gt;300°C) et des pressions élevées: synthèse de acides gras et du cyanure. Ce pétrole remonte le long de la plaque de subduction
*: - ce pétrole rencontre les zones de serpentinisation avec des températures (150°C) et des pressions permettant la synthèse des aas à partir du CO2 et N2 en présence des catalyseurs minéraux des cheminées hydrothermales.
*: - Ce pétrole rencontre aussi dans le même contexte de serpentinisation les zones permettant '''les réactions de formose''' avec des températures modérées (&lt;100°C). Ces 2 zones à aas et à formose doivent certainement se chevaucher étant donné le faible écart de leurs températures. Voir les expériences de laboratoire avec &lt;u&gt;R.Pascal&lt;/u&gt;: Olivine-catalyzed glycolaldehyde and sugar synthesis under aqueous conditions: Application to prebiotic chemistry, R.pascal 2024 &lt;ref&gt;https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012821X23005691&lt;/ref&gt;
*: - &lt;u&gt;Formation des pores d'échange dans la bicouche&lt;/u&gt;: elle doit se faire avant détachement du liposome autonome dans son état de densité intermédiaire, quand il est à cheval entre l'eau et le pétrole. C'est le moment où '''beaucoup de molécules abiotiques peuvent s'ajouter à la micelle''' notamment les acides aminés aliphatiques, Leu Val Ile Trp Tyr Phe, dont certains peuvent être apportés par les réactions FTT. L'insertion des ces aas entre les acides gras de la micelle seront en face des mêmes aas de la 2ème couche formée par les acides gras de l'interface principale eau/huile et provenant de la serpentinisation contenue dans cette eau. Il est fort possible que des liaisons peptidiques puissent se former dans la bicouche qui les protègent de l'hydrolyse.
*: - Croissance de la concentration des molécules nécessaires aux réactions quasi biotiques: Grâce aux pores quasi biotiques vont entrer les molécules les plus abondantes de la serpentinisation, c.a.d DHA et Gly. Toutes les 2 serviront comme énergie. DHA servira pour synthétiser les sucres et Gly les aas. Un intermédiaire très important pour la synthèse des aas et des bases nucléiques est le '''cyanure'''. Comme il est très réactif et donc fragile, il est incorporé en petites quantités dans la micelle ensuite il sera régénéré par l'intermédiaire de Gly grâce à la réaction quasi biotique '''EC1.4.99.5''' dont l'accepteur d'électrons peut être O2 même en quantité très faible ou bien les molécules susceptibles d'être formées dans FTT ou la serpentinisation, phénazine et DCPIP &lt;ref&gt;https://en.wikipedia.org/wiki/Dichlorophenolindophenol&lt;/ref&gt;. La Formamide peut intervenir aussi car elle est supposée provenir de la serpentinisation (voir plus haut) ou de la quasi biotique à partir du cyanure, EC421.66.

==essai 5==
15/06/26 Paris.
*Les 5 principes
*#L'auto-organisation
*#La continuité
*#La séquestration et la néguentropie
*#La différence réaction abiotique/biotique
*#L'autonomie
*L'environnement prébiotique
*: - Les sources hydrothermales produisant les 1ères molécules organiques
*:# formate acétate pyruvate méthanol NH4+ puis lactate glycolate propionate éthanol (voir thèse grégoire)
*:# Ajouter les produits de la serpentinisation: H2 CH4
*:# Les minéraux dont les phosphates
*:# Retrouver les articles mentionnant succinate et fumarate
*:# le problème de l'oxaloacétate (voir IA), voir réacteur Krebs, la réduction par NH3
*: - Remontée des acides gras produits en profondeur par le processus Fischer-Tropch (avec les polyphosphates?) 
*: - Le mélange eau huile donnant une vinaigrette où les micelles évolueront en liposomes autonomes.
===L'auto-organisation===
*Pour la compartimentation il faut signaler la différence entre les membranes eucaryotes-bactéries (liaison ester) et des archées (liaison ether). De même que les têtes des phospholipides, éthanolamine pour les bactéries, choline pour les eucaryotes et inositol pour les archées. Ne pas oublier la membrane minérale des sources hydrothermales.
==essai 6==
===Le processus néguentropique===
*Paris le 5/8/26
===Introduction à la problématique de la recherche sur les origines de la vie===
*Paris le 2/9/26
*Les ribosomes miroir &lt;ref&gt;https://fr.scienceaq.com/Chemistry/1001083878.html&lt;/ref&gt;
*RNA polymérase &lt;ref&gt;https://fondation-inserm.org/les-bacteries-miroirs-menace-ou-curiosite-scientifique&lt;/ref&gt;
====Le contrôle dual====
*Paris 14.10.26
*Simulateur hydrothermales 2025: formiate acétate pyruvate méthanol NH4 glycolate lactate propionate éthanol, pas de P H2S
*Krebs 2024: d'où vient oxaloacétate? CO2 pyruvate oxaloacétate glyoxylate H2+Formiate (équivalent NAD), pas de P H2S, NiFe 22°C pression atmosphérique.
*PP 2026: PP est proposé pour remplacer ATP, l'article '''acP de 2016''' propose l'acétyl-P très fragile et peu fréquent.
*Moi je propose PEP 2017.
*Glycolyse 2014: plusieurs réactions (des isomérase) de l'interconversion des sucres se fait dans l'eau sans enzymes. La non adhésion aux investigations de Muller depuis 1953, recherche des réactions abiotiques qui produisent des molécules biotiques (formaldéhyde adénine...) ne ressemblent aucunement aux réactions biotiques. Glycolyse 2014 m'a conforté dans une idée que j'étais entrain d'appréhender en listant les voies métaboliques de KEGG en partant du simulateur 2025: ces voies ont existé depuis le départ (prébiotiques) dans le système abiotique hydrothermal.
*Le contrôle dual: C'est en lisant l'introduction de acP 2016 du chapitre 5, la non adhésion de l'auteur aux investigations de Muller comme je l'ai fait auparavant, m'a encouragé à imaginer un processus qui pourrait se produire dans les sources hydrothermales qui contraindrait ces voies métaboliques égales à celles biotiques actuelles du point de vue du substrat et bien sûr thermodynamique. 
*: - L'analogie s'est imposée immédiatement: dans le biotique actuel les enzymes créent et contrôlent le métabolisme de base (sucres acides nucléotides minéraux etc.) et de même ce métabolisme contrôle ces enzymes. C'est ce que j’appelle le contrôle dual, qui se fait dans les 2 sens. Mon idée est apparue alors immédiatement, ce sont les voies que je listais auparavant qui se concrétisent. Le métabolisme de base c'est celui des sources hydrothermales, vues alors comme un écosystème biotique hydrothermale, et les enzymes ce sont les aas libres qu'il produit. C'est le contrôle dual prébiotique.
*: - La caractéristique principale de ce métabolisme prébiotique qui se crée dans cet écosystème c'est qu'il se fait par étapes.
*:: + 1ère étape: simulateur 2025 et krebs 2024 auxquels il faut ajouter PP 2026: Les analogues sont NAD (Formiate +H2 +NiFe) et NH4.
*::: * céto-acides: Pyruvate Glyoxylate oxaloacetate ceto-glutarate, Krebs 2024; Formiate Acetate Pyruvate Glycolate propionate NH4 Methanol Ethanol Lactate, Simulateur 2025.
*::: * acides aminés: Ala Gly Asp Glu; enzymes, Ec1411 Ala(5808) Ec261.44 Gly(3043) Ec261.35 Asp(144) Ec1412 Glu(4450)
*::: * OH-acides :  Lactate Glycolate Malate OH-céto-Glutarate. Correspondant aux enzymes ; Ec111.27 Lac(4198) Ec111.26 Glc(2328) Ec111.37 Mal(8815) Ec111.38 Pyr(5455)[Pyruvate Malate] Ec111.399 OH-Glu(10321)
*:: + 2ème étape, création de Pro (5): c'est le résultat de Glu-P sous l'action de PP, suivie de l'action de l'analogue de NAD comme dans la 1ère étape. L'analogue de ATP est PP qui produit un analogue plus puissant PEP 2017. La 1ère étape a produit aussi les alpha céto-acides: cAla (Lactate) cAsp (Malate) cGly (glycolate) cGlu (alpha céto-glutarate).</text>
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{{Débat d'admissibilité}}

== [[Langage cinématographique]] ==
Proposé par : [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 mai 2026 à 13:48 (UTC)

Simple définition.

=== Discussions ===
''Toutes les discussions vont ci-dessous. Veuillez créer un sous-paragraphe de ce paragraphe pour toute nouvelle discussion.''
====Contacter l'auteur et l'inviter à utiliser Wikiversité dans le cadre de son enseignement====
Salut. Je découvre que le jeune créateur de la page soumise à discussion est devenu [https://www.simondor.com/ professeur]
Du coup, je me dis qu'il serait peut-être intéressant de le contacter pour voir si il ne pourrait pas inviter ses étudiants à poursuivre son ébauche dans le cadre de ses cours. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 5 août 2026 à 20:59 (UTC)

:Oui, ça me semble une très bonne idée de prendre contact. L'as-tu tenté ? Ceci dit, à lire son (importante) activité à travers le 'net (réseaux sociaux, notamment), c'est plus des cours en techniques vidéoludiques qu'il semble pouvoir faire ou encadrer… Et ça, ça pourrait attirer des lecteurices, non ? -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 22 octobre 2026 à 15:02 (UTC).

=== Votes ===
''Entrez ci-dessous votre vote éventuellement suivi d'une brève justification. N'oubliez pas de signer avec quatre tildes (&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;).''

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      <text bytes="2630" sha1="beznk6scgthe8d8xwi4wx0thbwg0lym" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
{{Débat d'admissibilité}}

== [[Langage cinématographique]] ==
Proposé par : [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 mai 2026 à 13:48 (UTC)

Simple définition.

=== Discussions ===
''Toutes les discussions vont ci-dessous. Veuillez créer un sous-paragraphe de ce paragraphe pour toute nouvelle discussion.''
====Contacter l'auteur et l'inviter à utiliser Wikiversité dans le cadre de son enseignement====
Salut. Je découvre que le jeune créateur de la page soumise à discussion est devenu [https://www.simondor.com/ professeur]
Du coup, je me dis qu'il serait peut-être intéressant de le contacter pour voir si il ne pourrait pas inviter ses étudiants à poursuivre son ébauche dans le cadre de ses cours. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 5 août 2026 à 20:59 (UTC)

:Oui, ça me semble une très bonne idée de prendre contact. L'as-tu tenté ? Ceci dit, à lire son (importante) activité à travers le 'net (réseaux sociaux, notamment), c'est plus des cours en techniques vidéoludiques qu'il semble pouvoir faire ou encadrer… Et ça, ça pourrait attirer des lecteurices, non ? -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]&lt;sup&gt;''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''&lt;/sup&gt;, 22 octobre 2026 à 15:02 (UTC).
::Oui, c'est vrai. Je notifie donc ici  [[utilisateur:Simondor|Simondor]] pour l'inviter à lire ce qui est ci-dessus et lui dire que je suis prêt à l'accompagner si il veut utiliser Wikiversité dans le cadre de ses enseignements. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 octobre 2026 à 17:21 (UTC)

=== Votes ===
''Entrez ci-dessous votre vote éventuellement suivi d'une brève justification. N'oubliez pas de signer avec quatre tildes (&lt;nowiki&gt;~~~~&lt;/nowiki&gt;).''

''Les utilisateurs désirant commenter une justification de vote doivent impérativement le faire ci-dessus dans le paragraphe discussion en y créant un sous-paragraphe et en notifiant le votant au début de celui-ci. Toute discussion sur une justification de vote faite dans ce paragraphe sera supprimée pour raison de clarté et pour ne pas influencer directement les votants.''

==== Supprimer ====
# Intro à rattacher à une leçon sinon. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 21 septembre 2026 à 20:59 (UTC)

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=== Conclusion du vote ===</text>
      <sha1>beznk6scgthe8d8xwi4wx0thbwg0lym</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie</title>
    <ns>0</ns>
    <id>87390</id>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
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      <text bytes="232246" sha1="sh67rk3vzqgnhvagx5rmp7aay6ko4b7" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;

 on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)&lt;/math&gt; :
* l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le couple de torsion du fil supérieur étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le couple de torsion du fil inférieur étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
      <sha1>sh67rk3vzqgnhvagx5rmp7aay6ko4b7</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>987612</id>
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      <timestamp>2026-10-22T16:31:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
      <origin>987612</origin>
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      <text bytes="234026" sha1="odex7thqzwmqcjwnmcnzmqrtmqwg6m7" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="234026" sha1="3efh41g181v0rrpx7l3ozsqh7xmaxux" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="235672" sha1="gfvvtmybem8bgkitgovg0uaps1d903p" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, «}}&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,&lt;/math&gt; soit, après développement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
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      <text bytes="236817" sha1="0815m5qylopyxsci5ykgmu9ihqamy75" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, «}}&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,&lt;/math&gt; soit, après développement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}&lt;u&gt;établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; ou, par report des expressions établies ci-dessus, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ce qui suppose que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; est non identiquement nulle &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;»


{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
      <origin>987619</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="236560" sha1="tnkk7riddvvsbq6f1hdh5r3xpu9js6u" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, «}}&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,&lt;/math&gt; soit, après développement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}&lt;u&gt;établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; ou, par report des expressions établies ci-dessus, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ce qui suppose que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; est non identiquement nulle &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» ou, après simplification, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».


{{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
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    <revision>
      <id>987628</id>
      <parentid>987619</parentid>
      <timestamp>2026-10-23T05:14:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
      <origin>987628</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="237880" sha1="spk2fgvia3u9ffrums196j04nvzcyxz" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, «}}&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,&lt;/math&gt; soit, après développement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}&lt;u&gt;établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; ou, par report des expressions établies ci-dessus, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ce qui suppose que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; est non identiquement nulle &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» ou, après simplification, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», équation différentielle linéaire &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;non amorti&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.&lt;/ref&gt; de rotation ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;non amorti&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;représenté ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ;

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
}}</text>
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    <revision>
      <id>987630</id>
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      <timestamp>2026-10-23T11:47:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique */</comment>
      <origin>987630</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="238468" sha1="682gay94todfsx137ip4666dg4i0w2v" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 12
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ==

{{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée de forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; « théorème de la puissance &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; A priori &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; pourrait être égal à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot;&gt; C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; entre }}l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;infiniment proches&quot;&gt; Instants infiniment proches.&lt;/ref&gt;, son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance volumique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M
 \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance surfacique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;»}} est la puissance linéique &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« chaque point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» }}son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\,&lt;/math&gt; étant aussi tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt;.

=== Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt; du système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\,&lt;/math&gt; du même système » &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; sachant que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 et 2&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,&lt;/math&gt; que chaque point &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, exerce sur chaque point &lt;math&gt;\,M_i,\;\;i \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}lequel s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter&quot;&gt; C.-à-d. «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\,&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» dans lequel, chaque point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; décrivant une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,&lt;/math&gt; est tangent à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» se calcule par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour &lt;math&gt;\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» correspondant à une intégration sur un intervalle soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 1&lt;/u&gt; : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de la puissance développée par les forces intérieures&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants de l'« état initial &lt;math&gt;\,\mathcal{I}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; et de l’« état final &lt;math&gt;\,\mathcal{F}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; peut se calculer }}par «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 2&lt;/u&gt; : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot;&gt; Le référentiel «&lt;math&gt;\;\mathcal{R}_j\;&lt;/math&gt;» est le référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|&lt;sup&gt;55&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot;&gt; Le point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; décrivant dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; et en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; une trajectoire particulière &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;&lt;/math&gt; entre les deux instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», son vecteur déplacement élémentaire &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ainsi que son vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; étant tangent à &lt;math&gt;\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition du référentiel Rj&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt;  expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail élémentaire des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» nous en déduisons l'expression du &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;états extrêmes&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de la travail des forces intérieures «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;trajectoire de Mi dans le référentiel Rj&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque 3&lt;/u&gt; : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures en général non nulle&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot;&gt; Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot;&gt; Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures nulle pour un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon «  [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est en général non nul mais &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; }}le devient pour un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,&lt;/math&gt; le devient }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; si le système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; est indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; ».

=== Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt; est la puissance cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;&lt;/math&gt;» dans lequel }}&lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir la forme élémentaire }}entre «&lt;math&gt;\;t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t + dt\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» où &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,&lt;/math&gt; est la variation élémentaire d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on multiplie par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{dt}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;&lt;/math&gt;» où }}&lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; quelconque » &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «&lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; galiléen soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,&lt;/math&gt; variation d'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,&lt;/math&gt; }}sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; le travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;on intègre entre &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; pour obtenir «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,&lt;/math&gt; celui des forces intérieures }}sur le même &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;.
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; étant nul quel que soit le mouvement du système » &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}&lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot;&gt; Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.&lt;/ref&gt; en translation » &lt;ref name=&quot;système en translation&quot;&gt; Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt;, tous les points ont le même vecteur vitesse &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; égal à celui du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système, d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation&quot;&gt; Dans cette 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\,t + dt \right],&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;relation fondamentale de la dynamique newtonienne&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; au point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt; est la résultante &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}«}}dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;système en translation&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;signification de l'énergie cinétique d'un système en translation&quot;&gt; Dans cette 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,&lt;/math&gt; C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|&lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. &lt;math&gt;\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;&lt;/math&gt;», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; l'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le cadre de la cinétique newtonienne &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en translation&quot;&gt; Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt;{{, }} &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; nous obtenons :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; étant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}&lt;/math&gt; }}la résultante dynamique s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot;&gt; Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en translation dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système &lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; en translation &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique &lt;math&gt;\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliquée au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[G\,&lt;/math&gt; C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|208}}de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ce théorème &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu &lt;ref&gt; Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du système&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire ou sur durée finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

=== Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Un « système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; tels que la droite &lt;math&gt;\,M_iM_j\,&lt;/math&gt; recoupe l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; perpendiculairement en &lt;math&gt;\,H_{i,\,j}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;les points &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; ayant donc même abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,&lt;/math&gt; on ait &lt;math&gt;\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;donc indépendant de &lt;math&gt;\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,&lt;/math&gt; pour tout instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et pour tout couple &lt;math&gt;\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,&lt;/math&gt; dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, toutefois, &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de points matériels ou un système continu &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Exposé&lt;/u&gt; : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système fermé de matière&quot; /&gt; indéformable, en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen », &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\big[\vec{u}_{\Delta}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}autour de cet axe de rotation &lt;math&gt;\,\Delta\big]\,&lt;/math&gt; d’où les expressions &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot;&gt; Expression ne nécessitant pas que l'axe &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» ne nécessite pas que &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; soit fixe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;&lt;/math&gt;» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; est le moment &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;du travail élémentaire }}avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; est l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, la réécriture &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;,«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;de la variation de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;&lt;/math&gt;» avec, l'énergie cinétique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation autour de &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «&lt;math&gt;\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;»  &lt;ref name=&quot;énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;J_\Delta\,&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}relativement à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot;&gt; Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; d'où, en cinétique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sous forme élémentaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; appliqué à un solide &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme  élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;axe non nécessairement fixe&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
{{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée &lt;math&gt;\,\Delta t\,&lt;/math&gt; soit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient }}avec &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;&lt;/math&gt;» la variation d'énergie cinétique &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}du système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» le travail du système de forces extérieures appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}en rotation  &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt; autour &lt;math&gt;\,\Delta\,&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; encore égal à «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, s'exerçant sur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,&lt;/math&gt; s'obtient avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;« }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; ;
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière &lt;ref name=&quot;discret ou continu&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; en rotation &lt;ref name=&quot;système en rotation autour d'un axe&quot; /&gt;, sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]&lt;/math&gt;, autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; appliqué à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[\theta(t)\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire repérant &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big[\theta}\,&lt;/math&gt; étant l'abscisse angulaire }}à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste&quot; /&gt; avec, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[J_\Delta\,&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t)\,&lt;/math&gt; la vitesse angulaire instantanée de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\big]&lt;/math&gt;.}}
== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;photographié ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

{{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «&lt;math&gt;\;C\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec }}positions de masselottes identiques &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf pour la couleur&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; de part et d'autre du point &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils&quot;&gt; On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big(}&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\color{transparent}{\big)}\,&lt;/math&gt; avec positions de masselottes identiques }}&lt;math&gt;\,\big(C\,&lt;/math&gt; point d’attache des deux fils de torsion sur la tige&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;remarque&lt;/u&gt; : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en absence de masselottes&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici l'extrémité supérieure &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;2\,\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;repéré sur le cercle gradué lié à &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}&lt;/math&gt;, position de référence du cercle gradué&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; en pratique, après quelques oscillations, la tige &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir vérification ci-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;également repéré &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;dans le pendule du chap.7 }}par rapport à &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\big)&lt;/math&gt;, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle &lt;math&gt;\,\theta_1&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot;&gt; Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et &lt;br&gt;{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; quand il subit une translation dans le sens &lt;math&gt;\,+\,&lt;/math&gt; de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.&lt;math&gt;24&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d'un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot;&gt; L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{A_0B_0}\;&lt;/math&gt;»}} est lié à l'extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; du fil supérieur et «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{AB}\;&lt;/math&gt;» à l’extrémité mobile &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; par rapport à son extrémité &lt;math&gt;\,O_{\text{sup}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite &lt;ref name=&quot;hélice droite ou gauche&quot; /&gt; d’un angle «&lt;math&gt;\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;angle de torsion d'un fil&quot; /&gt; par rapport à l’extrémité &lt;math&gt;\;O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|2}}{{Transparent|vérification &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;u&gt;Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;ensemble solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition de DeltaC&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; est le support des fils de torsion.&lt;/ref&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemb}}le solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, d'abscisse angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure &lt;math&gt;\,O_{\text{inf}}\,&lt;/math&gt; du fil de torsion inférieur.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;ensemble solide étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, }}de vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments scalaires relativement à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\parallel\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; de moments vectoriels relativement à &lt;math&gt;\,C\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)\;&lt;/math&gt;» d'où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;les poids des masselottes &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\parallel}\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\Delta_C}\,&lt;/math&gt; }}de moments scalaires par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; nuls &lt;ref&gt; La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;&lt;/math&gt;» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;tige, &lt;math&gt;\,\Delta_C\big)&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon  « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion supérieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot;&gt; Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur &lt;math&gt;\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot;&gt; L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «&lt;math&gt;\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; par ce couple étant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'action que le fil de torsion inférieur }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance développée par un couple sur un solide en rotation&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; où &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, «}}&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\,\Delta_C\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,&lt;/math&gt; soit, après développement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, se définit selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}&lt;u&gt;établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe &lt;math&gt;\,\Delta_C\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; ou, par report des expressions établies ci-dessus, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Ce qui suppose que &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(t)\,&lt;/math&gt; est non identiquement nulle &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» ou, après simplification, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;» soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;», équation différentielle linéaire &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; à cœfficients constants sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;non amorti&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;1ère définition d'un oscillateur harmonique non amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.&lt;/ref&gt; de rotation ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;&lt;u&gt;non amorti&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;représenté ci-dessus à droite&lt;/u&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ;

[[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;les fils de torsion supérieur et inférieur &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan de la figure ne peuvent y être représentés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\theta(t)}\,&lt;/math&gt; du }}&lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;voir vue de dessus partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique ==

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant non amorti à un degré de liberté &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;schématisé ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique.

{{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; du solide en rotation autour de l’axe horizontal &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;liaison pivot du pendule&quot;&gt; Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Non Amorti.&lt;/ref&gt; à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; a une trajectoire circulaire de centre &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par le vecteur unitaire «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et de rayon «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant repéré, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par son abscisse angulaire «&lt;math&gt;\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;noté «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en «&lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt;» du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; mais si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par le poids étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» et
* la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Conditions Initiales.&lt;/ref&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrirait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;», la puissance instantanée développée à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt; soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du pendule pesant amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir coupe partielle représentée ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; non nul dans un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; il faut, dans un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt;, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» soit,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt; ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nulle, l'équation différentielle &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en normalisant, l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;une solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil ==

{{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et bien sûr d’être capable de le retrouver&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

=== Caractère conservatif du couple de torsion ===

{{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; lors d’une torsion élémentaire «&lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta\big]\;&lt;/math&gt; étant défini selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; étant la composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; liée à l'angle de torsion algébrisé par «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;&lt;/math&gt;» et par suite «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque &lt;math&gt;\;\overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt; à partir du point d'application &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}&lt;/math&gt;, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\ldots\;&lt;/math&gt; et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt;» C.Q.E.R. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;Ce Qui Est Réalisé&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction &lt;ref&gt; Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de &lt;math&gt;\;d \alpha\;&lt;/math&gt; ne dépend que de &lt;math&gt;\;\alpha&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, on en déduit le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion&lt;/u&gt;.

=== Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion ===

{{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt; dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;&lt;/math&gt; est définie par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;&lt;/math&gt;» soit, en intégrant «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.&lt;/ref&gt; quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. &lt;math&gt;\;\alpha = 0\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt; d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement ===

[[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;]]
{{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de  la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orientée}} par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;&lt;/math&gt; étant le couple de torsion de moment vectoriel «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du moment vectoriel du couple de torsion /&gt;, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence : fil non tordu &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, l'énergie cinétique du pendule au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;J_{CO_{\text{sup}}}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt; on en déduit &lt;center&gt;l'énergie mécanique du pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;non amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; selon &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt;.

[[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]]
{{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont la photographe est ci-contre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils de torsion :
* le couple de torsion du fil supérieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil supérieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt;» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot;&gt; Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot;&gt; Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, du fil au point d'attache du solide.&lt;/ref&gt; et
* le couple de torsion du fil inférieur &lt;math&gt;\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; de moment scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;fil inférieur&quot; /&gt; dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta&lt;/math&gt;, s'écrivant «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-C\; \theta(t)\;d \theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. une différentielle de fonction&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouve le &lt;u&gt;caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur&lt;/u&gt;, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt;»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;&lt;/math&gt; soit, en prenant pour référence de &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;&lt;/math&gt; se réécrit &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;&lt;/math&gt;}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «&lt;math&gt;E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;&lt;/math&gt;» ou encore {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;»}} s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\alpha\;&lt;/math&gt; dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui &lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; exemple de pendule de torsion du même paragraphe &lt;br&gt;{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la &lt;u&gt;2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition d’un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement est donc une &lt;u&gt;ellipse décrite dans le sens horaire&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

== Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme ==

=== Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant ===

{{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle&quot; /&gt; avec «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;&lt;/math&gt;» d’où &lt;math&gt;\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « la position d'équilibre stable de ce dernier &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous de ce dernier.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser &lt;math&gt;\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;&lt;/math&gt; avec pour position d'équilibre stable &lt;math&gt;\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : la position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
=== Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement ===

{{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est le moment d'inertie du solide par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;, on en déduit l'expression, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le champ de pesanteur «&lt;math&gt;E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation&quot; /&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;&lt;/math&gt;» dans lequel «&lt;math&gt;\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;&lt;/math&gt;» s'exprimant finalement selon «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la &lt;u&gt;conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «&lt;math&gt;\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» si les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sont «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\theta}(0) = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt; 
=== Quelques commentaires ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Constatant que le diagramme d’énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en fonction du paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;  n'est pas parabolique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais sinusoïdal&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, nous pouvons affirmer que &lt;u&gt;le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; n'est pas un oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;quand il est en situation d'osciller&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

: {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« oscillatoire quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« révolutive quand quand &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» puis &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique, la nature « périodique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;oscillatoire ou révolutive&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Les portraits de phase d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ayant pour équation implicite l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;énergétique&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt;, diffèrent suivant &lt;math&gt;\;E_{m,\,0}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; : 

: {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de &lt;/u&gt;{{Nobr|&lt;u&gt;symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;}} lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;pour &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; 2\;m\;g\;\mathfrak{a}&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, son portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|10}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|10}}les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus de ce dernier.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

== « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti ==

{{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt;, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.&lt;/ref&gt;, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, 
* celles qui sont conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; dont le travail pendant cette durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* celles qui sont non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; dont le travail pendant cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; est noté «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}d'où «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l’énergie potentielle «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;&lt;/math&gt;» dont on déduit «&lt;math&gt;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}en basculant «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» dans le membre de gauche et &lt;br&gt;{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;», à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, dans le champ des forces conservatives par «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide &lt;math&gt;\;\mathcal{S}\;&lt;/math&gt;» sur la durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt;» et le travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; sur cette même durée finie &lt;math&gt;\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen&lt;/center&gt;
{{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme des forces de frottement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; :  
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale au travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la variation élémentaire d'énergie mécanique &lt;math&gt;\;E_m\;&lt;/math&gt; d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_m\;&lt;/math&gt;» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;».

=== Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; 

{{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t + dt&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «&lt;math&gt;\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» puis, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|5}}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, par les forces extérieures non conservatives «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}nous obtenons «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique d’un solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dérivant de l'énergie potentielle &lt;math&gt;\;U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt; d'où la définition de l'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;K\;&lt;/math&gt; étant l'énergie cinétique du solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au solide &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable &lt;ref name=&quot;solide au sens de la mécanique&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas particulier&lt;/u&gt; : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple absence de frottements solide ou fluide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; quelconque se réduit à « la nullité, pour tout &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou ne travaillant pas&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ».

=== Application au cas d’un solide amorti ===

{{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » &lt;ref&gt; Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;même}} minimes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.&lt;/ref&gt; comme les forces de frottement fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou solide&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; s’écrivant «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt; au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude.

==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{tors}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification équilibre&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» établi au chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre qu'il est non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot;&gt; En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; ou soit constant mais en aucun cas dépendant de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun &lt;math&gt;\;\Delta_C\;&lt;/math&gt; des deux fils &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ====

{{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, 

{{Al|5}}à la force extérieure «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec référence &lt;ref name=&quot;référence de l'énergie potentielle&quot; /&gt; : position d'équilibre stable du solide &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;équilibre stable du P.P.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;, il convient d'ajouter 

{{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big[H\;&lt;/math&gt; étant une constante positive exprimée en «&lt;math&gt;\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;&lt;/math&gt;» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; montre que ces forces de frottement est un système non conservatif &lt;ref name=&quot;raison du caractère non conservatif&quot; /&gt;, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à son axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de rotation &lt;ref name=&quot;moment d'inertie relativement à un axe&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; on en déduit aisément, dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; et à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, la puissance mécanique du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en formant &lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; puis

{{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance mécanique&quot; /&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;E_m(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» soit encore, 

{{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\!(t)\;&lt;/math&gt;», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]]
  | suivant   = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]]
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      <comment>Eric.LEWIN a déplacé la page [[Catégorie:Mathématiques en sixième]] vers [[Catégorie:Mathématiques en sixième (France)]] : Manque le(s) pays concerné(s)</comment>
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== Présentation ==

Je suis '''Arianne Galfre''', praticienne indépendante en arts divinatoires, auteure, créatrice de ressources pédagogiques et chercheuse indépendante, établie à '''Albi, dans le Tarn (Occitanie, France)'''.

Je suis également connue sous le nom professionnel '''Arianne G Voyance''', cabinet indépendant que j'ai fondé en 2017.

Mon parcours associe une expérience de terrain de plus de vingt ans dans les arts divinatoires, une formation en sciences humaines, des activités d'écriture et de transmission, ainsi qu'une démarche personnelle de documentation et de recherche sur les pratiques divinatoires contemporaines.

Mes travaux et centres d'intérêt portent notamment sur l'histoire des arts divinatoires, leurs systèmes symboliques, leurs usages sociaux et culturels, les processus d'interprétation, la psychologie des croyances et les questions éthiques associées aux pratiques consultatives.

En parallèle de mes publications, je développe des ressources documentaires, des guides, des supports pédagogiques et des outils numériques consacrés à ces domaines.

Ma présence sur '''Wikiversité''' s'inscrit dans une démarche de partage des connaissances, de documentation, d'apprentissage et de participation à des travaux collaboratifs.

== Domaines d'intérêt et de contribution ==

Mes principaux domaines d'intérêt et de contribution sont les suivants :

* '''Arts divinatoires''' : histoire, évolution, classification et étude des pratiques divinatoires traditionnelles et contemporaines.
* '''Tarot et cartomancie''' : histoire des jeux, iconographie, symbolisme, systèmes d'interprétation et usages culturels.
* '''Astrologie et numérologie''' : histoire des traditions, systèmes symboliques, terminologie et réception sociale.
* '''Anthropologie et ethnologie''' : étude des croyances, traditions, représentations collectives et pratiques culturelles.
* '''Psychologie des croyances''' : perception, intuition, interprétation, biais cognitifs, rapport à l'incertitude et processus de décision.
* '''Histoire de l'ésotérisme''' : courants historiques, transmission des savoirs et évolution des pratiques.
* '''Éthique des pratiques consultatives''' : responsabilité, libre arbitre, transparence, prévention des abus et limites professionnelles.
* '''Bibliographie et documentation''' : identification, vérification et organisation de sources, d'ouvrages et de publications.
* '''Humanités numériques''' : ressources pédagogiques interactives, documentation numérique, classification et accessibilité des connaissances.

Ces domaines sont abordés dans une perspective documentaire, historique, culturelle, interdisciplinaire et critique.

== Démarche de recherche et de transmission ==

En tant que chercheuse indépendante, je m'intéresse à l'observation et à la compréhension des pratiques divinatoires contemporaines, notamment à travers leurs dimensions symboliques, narratives, sociales et professionnelles.

Mon approche associe l'expérience de terrain, la consultation de sources documentaires, la réflexion déontologique et l'étude des usages contemporains.

Je porte une attention particulière à la distinction entre :

* les connaissances établies et documentées ;
* les hypothèses et propositions d'interprétation ;
* les traditions, croyances et représentations culturelles ;
* les observations et expériences personnelles ;
* les résultats issus de démarches de recherche structurées.

Les expériences professionnelles et les observations personnelles peuvent alimenter une réflexion, mais ne constituent pas, à elles seules, une validation scientifique.

Je considère également que les pratiques divinatoires peuvent être étudiées comme des phénomènes historiques, anthropologiques, symboliques et sociaux, indépendamment de toute adhésion personnelle aux croyances qui leur sont associées.

Mes travaux indépendants ne doivent pas être confondus avec des recherches menées sous l'autorité ou avec la validation d'un établissement universitaire.

== Contributions envisagées sur Wikiversité ==

Je souhaite participer, dans la mesure de mes compétences et de mes disponibilités, à l'enrichissement des ressources pédagogiques de Wikiversité.

Mes contributions pourront notamment concerner :

* l'amélioration de ressources pédagogiques existantes ;
* la clarification de définitions et de notions spécialisées ;
* la documentation historique des pratiques et traditions divinatoires ;
* l'étude comparative de systèmes symboliques ;
* la recherche de sources bibliographiques et documentaires ;
* l'identification et la présentation critique de publications ;
* les échanges interdisciplinaires en sciences humaines et sociales ;
* la contribution à des travaux collectifs et à des ressources d'apprentissage.

Je souhaite privilégier des contenus accessibles, clairement structurés, vérifiables et ouverts à la discussion.

Toute participation à des travaux de recherche originaux devra respecter le cadre prévu par Wikiversité et présenter explicitement ses méthodes, ses sources et ses limites.

== Transparence et déclaration d'intérêts ==

Je suis directement liée aux sujets suivants :

* [[d:Q141594713|'''Arianne Galfre''']] (Q141594713), élément Wikidata me concernant personnellement ;
* [[d:Q141593990|'''Arianne G Voyance''']] (Q141593990), cabinet indépendant dont je suis la fondatrice ;
* [[d:Q141593475|'''Arianne G Voyance Publications''']] (Q141593475), branche consacrée à l'édition, aux publications, aux activités d'autrice et aux travaux de recherche indépendants ;
* les ouvrages, travaux, ressources pédagogiques et publications dont je suis l'auteure ou la contributrice ;
* les créations, applications, logiciels et outils numériques associés à mes activités professionnelles.

Mes éventuelles contributions concernant ces sujets peuvent présenter un '''conflit d'intérêts personnel ou professionnel'''.

Je m'engage à :

* déclarer clairement mes liens avec les personnes, organismes et sujets auxquels je suis directement associée ;
* respecter les règles et recommandations de Wikiversité ;
* adopter une démarche factuelle, rigoureuse et non promotionnelle ;
* privilégier les sources fiables, indépendantes et vérifiables ;
* distinguer les connaissances établies, les hypothèses, les croyances et les expériences personnelles ;
* ne pas utiliser Wikiversité comme support publicitaire ou commercial ;
* respecter les droits d'auteur, les licences et les conditions de réutilisation des ressources ;
* accueillir les observations, corrections et contributions des autres membres de la communauté ;
* participer aux échanges dans un esprit de respect, de coopération et d'ouverture critique.

Ma présence sur Wikiversité est indépendante de mes activités commerciales et ne constitue ni une affiliation universitaire ni une reconnaissance scientifique ou institutionnelle de mes pratiques professionnelles.

== Identité et identifiants publics ==

* '''Nom''' : Arianne Galfre
* '''Nom professionnel''' : Arianne G Voyance
* '''Localisation''' : Albi, Tarn, Occitanie, France
* '''Statut''' : praticienne, auteure et chercheuse indépendante
* '''Langue principale''' : français
* '''Autre langue''' : anglais
* '''Élément Wikidata personnel''' : [[d:Q141594713|Arianne Galfre (Q141594713)]]
* '''Profil utilisateur Wikidata''' : [[d:User:Arianne_Galfre|Utilisateur:Arianne Galfre]]
* '''ORCID''' : 0009-0004-5793-9489
* '''ISNI''' : 0000 0005 3051 6363

Ces identifiants permettent de distinguer mon identité personnelle de mes activités professionnelles et de mes publications.

== Participation à la communauté ==

Je considère Wikiversité comme un espace de partage, d'apprentissage et de construction collective des connaissances.

Je suis favorable aux échanges interdisciplinaires, à la confrontation respectueuse des points de vue et à l'amélioration progressive des ressources par la collaboration.

Les questions, propositions de collaboration, suggestions bibliographiques ou remarques relatives à mes contributions peuvent être adressées sur ma [[Discussion utilisateur:Arianne_Galfre|page de discussion]].

* [[Spécial:Contributions/Arianne_Galfre|Consulter mes contributions sur Wikiversité]]</text>
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        <username>Arianne Galfre</username>
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== Présentation ==

Je suis '''Arianne Galfre''', praticienne indépendante en arts divinatoires, auteure, créatrice de ressources pédagogiques et chercheuse indépendante, établie à '''Albi, dans le Tarn (Occitanie, France)'''.

Je suis également connue sous le nom professionnel '''Arianne G Voyance''', cabinet indépendant que j'ai fondé en 2017.

Mon parcours associe une expérience de terrain de plus de vingt ans dans les arts divinatoires, une formation en sciences humaines, des activités d'écriture et de transmission, ainsi qu'une démarche personnelle de documentation et de recherche sur les pratiques divinatoires contemporaines.

Mes travaux et centres d'intérêt portent notamment sur l'histoire des arts divinatoires, leurs systèmes symboliques, leurs usages sociaux et culturels, les processus d'interprétation, la psychologie des croyances et les questions éthiques associées aux pratiques consultatives.

En parallèle de mes publications, je développe des ressources documentaires, des guides, des supports pédagogiques et des outils numériques consacrés à ces domaines.

Ma présence sur '''Wikiversité''' s'inscrit dans une démarche de partage des connaissances, de documentation, d'apprentissage et de participation à des travaux collaboratifs.

== Domaines d'intérêt et de contribution ==

Mes principaux domaines d'intérêt et de contribution sont les suivants :

* '''Arts divinatoires''' : histoire, évolution, classification et étude des pratiques divinatoires traditionnelles et contemporaines.
* '''Tarot et cartomancie''' : histoire des jeux, iconographie, symbolisme, systèmes d'interprétation et usages culturels.
* '''Astrologie et numérologie''' : histoire des traditions, systèmes symboliques, terminologie et réception sociale.
* '''Anthropologie et ethnologie''' : étude des croyances, traditions, représentations collectives et pratiques culturelles.
* '''Psychologie des croyances''' : perception, intuition, interprétation, biais cognitifs, rapport à l'incertitude et processus de décision.
* '''Histoire de l'ésotérisme''' : courants historiques, transmission des savoirs et évolution des pratiques.
* '''Éthique des pratiques consultatives''' : responsabilité, libre arbitre, transparence, prévention des abus et limites professionnelles.
* '''Bibliographie et documentation''' : identification, vérification et organisation de sources, d'ouvrages et de publications.
* '''Humanités numériques''' : ressources pédagogiques interactives, documentation numérique, classification et accessibilité des connaissances.

Ces domaines sont abordés dans une perspective documentaire, historique, culturelle, interdisciplinaire et critique.

== Démarche de recherche et de transmission ==

En tant que chercheuse indépendante, je m'intéresse à l'observation et à la compréhension des pratiques divinatoires contemporaines, notamment à travers leurs dimensions symboliques, narratives, sociales et professionnelles.

Mon approche associe l'expérience de terrain, la consultation de sources documentaires, la réflexion déontologique et l'étude des usages contemporains.

Je porte une attention particulière à la distinction entre :

* les connaissances établies et documentées ;
* les hypothèses et propositions d'interprétation ;
* les traditions, croyances et représentations culturelles ;
* les observations et expériences personnelles ;
* les résultats issus de démarches de recherche structurées.

Les expériences professionnelles et les observations personnelles peuvent alimenter une réflexion, mais ne constituent pas, à elles seules, une validation scientifique.

Je considère également que les pratiques divinatoires peuvent être étudiées comme des phénomènes historiques, anthropologiques, symboliques et sociaux, indépendamment de toute adhésion personnelle aux croyances qui leur sont associées.

Mes travaux indépendants ne doivent pas être confondus avec des recherches menées sous l'autorité ou avec la validation d'un établissement universitaire.

== Contributions envisagées sur Wikiversité ==

Je souhaite participer, dans la mesure de mes compétences et de mes disponibilités, à l'enrichissement des ressources pédagogiques de Wikiversité.

Mes contributions pourront notamment concerner :

* l'amélioration de ressources pédagogiques existantes ;
* la clarification de définitions et de notions spécialisées ;
* la documentation historique des pratiques et traditions divinatoires ;
* l'étude comparative de systèmes symboliques ;
* la recherche de sources bibliographiques et documentaires ;
* l'identification et la présentation critique de publications ;
* les échanges interdisciplinaires en sciences humaines et sociales ;
* la contribution à des travaux collectifs et à des ressources d'apprentissage.

Je souhaite privilégier des contenus accessibles, clairement structurés, vérifiables et ouverts à la discussion.

Toute participation à des travaux de recherche originaux devra respecter le cadre prévu par Wikiversité et présenter explicitement ses méthodes, ses sources et ses limites.

== Transparence et déclaration d'intérêts ==

Je suis directement liée aux sujets suivants :

* [[d:Q141594713|'''Arianne Galfre''']] (Q141594713), élément Wikidata me concernant personnellement ;
* [[d:Q141593990|'''Arianne G Voyance''']] (Q141593990), cabinet indépendant dont je suis la fondatrice ;
* [[d:Q141593475|'''Arianne G Voyance Publications''']] (Q141593475), branche consacrée à l'édition, aux publications, aux activités d'autrice et aux travaux de recherche indépendants ;
* les ouvrages, travaux, ressources pédagogiques et publications dont je suis l'auteure ou la contributrice ;
* les créations, applications, logiciels et outils numériques associés à mes activités professionnelles.

Mes éventuelles contributions concernant ces sujets peuvent présenter un '''conflit d'intérêts personnel ou professionnel'''.

Je m'engage à :

* déclarer clairement mes liens avec les personnes, organismes et sujets auxquels je suis directement associée ;
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* adopter une démarche factuelle, rigoureuse et non promotionnelle ;
* privilégier les sources fiables, indépendantes et vérifiables ;
* distinguer les connaissances établies, les hypothèses, les croyances et les expériences personnelles ;
* ne pas utiliser Wikiversité comme support publicitaire ou commercial ;
* respecter les droits d'auteur, les licences et les conditions de réutilisation des ressources ;
* accueillir les observations, corrections et contributions des autres membres de la communauté ;
* participer aux échanges dans un esprit de respect, de coopération et d'ouverture critique.

Ma présence sur Wikiversité est indépendante de mes activités commerciales et ne constitue ni une affiliation universitaire ni une reconnaissance scientifique ou institutionnelle de mes pratiques professionnelles.

== Identité et identifiants publics ==

* '''Nom''' : Arianne Galfre
* '''Nom professionnel''' : Arianne G Voyance
* '''Localisation''' : Albi, Tarn, Occitanie, France
* '''Statut''' : praticienne, auteure et chercheuse indépendante
* '''Langue principale''' : français
* '''Autre langue''' : anglais
* '''Élément Wikidata personnel''' : [[d:Q141594713|Arianne Galfre (Q141594713)]]
* '''Profil utilisateur Wikidata''' : [[d:User:Arianne_Galfre|Utilisateur:Arianne Galfre]]
* '''ORCID''' : 0009-0004-5793-9489
* '''ISNI''' : 0000 0005 3051 6363

Ces identifiants permettent de distinguer mon identité personnelle de mes activités professionnelles et de mes publications.

== Participation à la communauté ==

Je considère Wikiversité comme un espace de partage, d'apprentissage et de construction collective des connaissances.

Je suis favorable aux échanges interdisciplinaires, à la confrontation respectueuse des points de vue et à l'amélioration progressive des ressources par la collaboration.

Les questions, propositions de collaboration, suggestions bibliographiques ou remarques relatives à mes contributions peuvent être adressées sur ma [[Discussion utilisateur:Arianne_Galfre|page de discussion]].

* [[Spécial:Contributions/Arianne_Galfre|Consulter mes contributions sur Wikiversité]]

== Mes contributions et travaux ==

=== Travaux de recherche ===

* [[Recherche:Les pratiques divinatoires contemporaines : objet d'étude, méthodes et limites|Les pratiques divinatoires contemporaines : objet d'étude, méthodes et limites]] (2026) — Proposition méthodologique consacrée à l'analyse historique, anthropologique et critique des pratiques divinatoires contemporaines.</text>
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    <title>Recherche:Les pratiques divinatoires contemporaines : objet d'étude, méthodes et limites</title>
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      <contributor>
        <username>Arianne Galfre</username>
        <id>81119</id>
      </contributor>
      <comment>Création d'un travail de recherche méthodologique sur l'étude des pratiques divinatoires contemporaines, avec grille d'analyse et références bibliographiques.</comment>
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      <text bytes="17884" sha1="8fe0fvzimcba4esq4gn19vx85npgfys" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
| idfaculté = socio-anthropologie
| titre = Les pratiques divinatoires contemporaines : objet d'étude, méthodes et limites
}}


'''Domaines étudiés :''' [[d:Q1043197|Divination]] · [[d:Q126645|Tarot divinatoire]]

'''Nature du travail :''' proposition méthodologique indépendante, ouverte à la discussion et à l'amélioration collaborative.

''Étude méthodologique consacrée à l'analyse historique, anthropologique et critique des pratiques divinatoires contemporaines.''

== Résumé ==

Les pratiques divinatoires constituent un objet d'étude interdisciplinaire qui peut être abordé sous différents angles : histoire des croyances, anthropologie, sociologie, étude des symboles et analyse des usages sociaux.

Ce travail propose un cadre méthodologique destiné à documenter et à comparer les pratiques divinatoires contemporaines, notamment le tarot, la cartomancie, l'astrologie et la voyance.

L'objectif n'est pas de démontrer l'existence de capacités prédictives, mais de préciser les conditions dans lesquelles ces pratiques peuvent être décrites, étudiées et comparées de manière critique.

La démarche repose sur trois principes : distinguer les croyances des connaissances établies, expliciter les méthodes d'observation et prendre en considération les limites des sources disponibles.

Une grille d'analyse documentaire est proposée afin de faciliter de futures études comparatives.

'''Mots-clés :''' divination, arts divinatoires, anthropologie, histoire des croyances, tarot, astrologie, pratiques consultatives, méthodologie, éthique.

== 1. Introduction ==

La divination recouvre des pratiques variées par lesquelles des personnes cherchent à interpréter des signes, à obtenir des indications sur une situation ou à appréhender des événements incertains.

Ces pratiques ont été étudiées dans différents contextes historiques et culturels.

Dans son étude consacrée aux Azandé, Edward E. Evans-Pritchard analyse notamment la place des oracles, des croyances et des pratiques magiques dans l'organisation sociale et les raisonnements des personnes concernées.&lt;ref name=&quot;evans&quot;&gt;Evans-Pritchard, Edward E. (1937). ''Witchcraft, Oracles and Magic among the Azande''. Oxford : Clarendon Press.&lt;/ref&gt;

Sarah Iles Johnston étudie les méthodes divinatoires de la Grèce antique et leurs relations avec les pratiques religieuses et la société.&lt;ref name=&quot;johnston&quot;&gt;Johnston, Sarah Iles (2008). ''Ancient Greek Divination''. Wiley-Blackwell.&lt;/ref&gt;

Lisa Raphals propose une comparaison historique des pratiques de divination et de prédiction dans la Chine ancienne et la Grèce antique, en examinant notamment les acteurs, les méthodes, les questions posées et les contextes d'utilisation.&lt;ref name=&quot;raphals&quot;&gt;Raphals, Lisa (2013). ''Divination and Prediction in Early China and Ancient Greece''. Cambridge : Cambridge University Press.&lt;/ref&gt;

Ces travaux montrent l'intérêt d'étudier la divination comme un phénomène historique et culturel, sans limiter l'analyse à la question de la validité des prédictions.

L'étude des pratiques contemporaines exige toutefois de prendre en compte des contextes différents : transformations des supports, usages numériques, relations consultatives et modalités actuelles de transmission des savoirs.

== 2. Problématique et objectifs ==

=== 2.1. Question centrale ===

Comment construire une méthode documentaire permettant d'étudier les pratiques divinatoires contemporaines tout en distinguant les traditions, les discours des praticiens, les expériences des consultants et les connaissances établies ?

=== 2.2. Questions complémentaires ===

Plusieurs questions peuvent orienter l'analyse :

# Comment une pratique divinatoire est-elle définie et présentée dans ses différentes sources ?
# Quels supports matériels, visuels, textuels ou numériques mobilise-t-elle ?
# Quels usages et quelles attentes lui sont associés ?
# Comment les résultats et les interprétations sont-ils formulés ?
# Quels changements peut-on observer dans ses formes contemporaines ?
# Quelles précautions méthodologiques et éthiques sont nécessaires à son étude ?

=== 2.3. Objectifs ===

Ce travail poursuit quatre objectifs :

* proposer des critères descriptifs communs à plusieurs pratiques ;
* faciliter les comparaisons sans effacer leurs différences historiques et culturelles ;
* identifier les limites des matériaux documentaires disponibles ;
* préparer de futures recherches reposant sur des sources explicites et des données recueillies selon une méthode définie.

Il s'agit d'une proposition de méthode, et non d'une enquête empirique achevée.

== 3. Délimitation de l'objet d'étude ==

=== 3.1. Pratiques considérées ===

Le champ envisagé comprend notamment :

* le tarot divinatoire et ses différentes méthodes de tirage ;
* la cartomancie fondée sur des jeux de cartes ;
* l'astrologie dans ses usages interprétatifs et consultatifs ;
* la numérologie appliquée aux dates, aux noms ou à d'autres données symboliques ;
* les pratiques de voyance et de médiumnité revendiquées par leurs praticiens ;
* les dispositifs numériques proposant des interprétations automatisées.

Ces catégories constituent un périmètre de travail. Elles ne supposent pas que les pratiques mentionnées possèdent une origine commune, des méthodes identiques ou une efficacité démontrée.

=== 3.2. Échelles d'analyse ===

Une même pratique peut être étudiée à plusieurs niveaux :

* '''historique''' : apparition, circulation et transformation des pratiques ;
* '''culturel''' : représentations, traditions et significations attribuées aux symboles ;
* '''social''' : profils des acteurs, modalités de transmission et contextes d'utilisation ;
* '''discursif''' : vocabulaire, récits et formulations interprétatives ;
* '''technique''' : supports, procédures et dispositifs employés ;
* '''éthique''' : information, consentement, confidentialité et responsabilité.

Il convient de préciser l'échelle retenue avant toute comparaison.

== 4. Proposition d'une grille d'analyse ==

La grille suivante constitue un instrument descriptif proposé pour organiser un corpus documentaire.

Elle n'est pas présentée comme un instrument statistique validé ni comme une échelle de mesure de l'efficacité divinatoire.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Dimension
! Questions documentaires
! Points de vigilance
|-
| Origines et contexte
| Quelles sources permettent de retracer l'histoire de la pratique ?
| Éviter les généalogies supposées et les traditions reconstruites sans preuves.
|-
| Acteurs et transmission
| Qui pratique, enseigne ou utilise le dispositif ? Comment les connaissances sont-elles transmises ?
| Distinguer les déclarations personnelles des informations documentées.
|-
| Supports et procédures
| Quels objets, images, nombres ou logiciels sont employés ? Quelles opérations sont décrites ?
| Ne pas confondre description d'une procédure et validation de ses résultats.
|-
| Questions et attentes
| Quels types de questions sont posés ? Quels usages sont rapportés ?
| Ne pas généraliser à partir d'un témoignage isolé.
|-
| Langage et interprétation
| Comment les signes sont-ils interprétés ? Quelle place est donnée à l'incertitude ?
| Distinguer interprétation symbolique, affirmation factuelle et prédiction.
|-
| Cadre consultatif
| Comment se déroule l'interaction ? Quels rôles sont attribués aux participants ?
| Respecter la confidentialité et éviter les conclusions psychologiques non fondées.
|-
| Responsabilité
| Quelles limites sont annoncées ? Comment sont traités le consentement, l'autonomie et les situations sensibles ?
| Ne pas présumer qu'une déclaration éthique garantit son application effective.
|}

Cette grille permet d'identifier les informations disponibles, les informations manquantes et les points nécessitant une vérification complémentaire.

== 5. Méthodes documentaires envisageables ==

=== 5.1. Analyse bibliographique ===

La première étape consiste à constituer un corpus de références portant sur l'histoire, l'anthropologie et les usages des pratiques étudiées.

Chaque référence devrait comporter, lorsque ces éléments existent :

* l'identité de l'auteur ;
* le titre et la date de publication ;
* le type de document ;
* l'éditeur ou l'organisme responsable ;
* le contexte géographique et historique ;
* les méthodes employées ;
* les limites reconnues par l'auteur.

Les études scientifiques, les sources historiques, les ouvrages de praticiens et les témoignages doivent être identifiés selon leur nature.

Un manuel de tarot peut, par exemple, constituer une source permettant de documenter les méthodes enseignées par son auteur. Il ne constitue pas nécessairement une preuve scientifique de l'efficacité de ces méthodes.

=== 5.2. Analyse comparative ===

Une comparaison pertinente suppose de définir des critères communs et de conserver les particularités de chaque pratique.

Comparer un système astrologique, un tirage de cartes et une consultation intuitive exige notamment de distinguer :

* les supports matériels ou conceptuels ;
* les procédures d'interprétation ;
* les sources de légitimité invoquées ;
* les relations entre praticiens et consultants ;
* les modalités de transmission.

L'existence de ressemblances dans les fonctions attribuées à ces pratiques ne suffit pas à démontrer une origine commune.

=== 5.3. Observation qualitative ===

Une recherche ultérieure pourrait mobiliser des entretiens, des observations ou des questionnaires, sous réserve de définir préalablement un protocole.

Il serait alors nécessaire de préciser :

* la question de recherche ;
* les critères de sélection des participants ;
* la méthode de recueil des données ;
* les règles d'information et de consentement ;
* les modalités de protection des informations personnelles ;
* la méthode d'analyse ;
* les limites de généralisation.

Aucune donnée d'entretien, aucun résultat de questionnaire et aucune observation de participants ne sont présentés dans le présent travail.

== 6. Exemple d'application de la grille ==

Considérons un manuel décrivant un tirage de tarot à trois cartes.

L'objectif documentaire n'est pas de déterminer si ce tirage permet effectivement de prédire un événement, mais d'examiner comment le manuel définit et organise la pratique.

L'analyse pourrait comporter les étapes suivantes :

# Identifier l'auteur, l'édition et le contexte de publication du manuel.
# Décrire les cartes et les règles de disposition proposées.
# Relever la fonction attribuée à chaque position du tirage.
# Étudier les correspondances symboliques mobilisées.
# Examiner le vocabulaire employé pour présenter les interprétations.
# Repérer les éventuelles affirmations prédictives et les limites exprimées.
# Comparer ces éléments à ceux d'autres manuels, en précisant les différences.

Cet exemple illustre une procédure possible. Il ne correspond pas à l'analyse effective d'un corpus constitué.

== 7. Précautions épistémologiques ==

=== 7.1. Distinguer les niveaux d'affirmation ===

Il est utile de différencier au moins quatre niveaux :

* '''Description''' : un document indique qu'une carte possède une certaine signification.
* '''Croyance''' : une personne considère que cette signification possède une portée particulière.
* '''Interprétation''' : un praticien attribue un sens à un symbole dans une situation donnée.
* '''Affirmation empirique''' : une proposition soutient qu'un phénomène produit un effet observable ou prédit un événement.

Les trois premiers niveaux peuvent faire l'objet d'une étude descriptive sans que le quatrième soit démontré.

Une affirmation empirique portant sur l'efficacité d'une prédiction nécessite des données et un protocole appropriés permettant d'en évaluer la validité.

=== 7.2. Identifier les biais possibles ===

L'étude des pratiques divinatoires nécessite une vigilance particulière face à plusieurs difficultés :

* sélection de témoignages favorables ;
* généralisation d'expériences individuelles ;
* interprétation rétrospective des événements ;
* absence de comparaison avec d'autres explications possibles ;
* confusion entre satisfaction déclarée et efficacité démontrée ;
* influence des convictions personnelles du chercheur ou du praticien.

Le chercheur doit également examiner les biais que ses propres attentes pourraient introduire dans le choix des sources et dans leur interprétation.

=== 7.3. Adopter une démarche réflexive ===

Une personne qui étudie un domaine dans lequel elle exerce professionnellement possède une connaissance située de certaines pratiques.

Cette proximité peut faciliter la compréhension du vocabulaire et des procédures, mais elle peut aussi introduire des intérêts et des biais spécifiques.

La déclaration des liens professionnels, la transparence des méthodes et la confrontation des interprétations à des sources indépendantes constituent alors des précautions nécessaires.

L'expérience du terrain ne dispense pas d'une évaluation critique des affirmations étudiées.

== 8. Considérations éthiques ==

Les recherches impliquant des personnes doivent prendre en considération leur autonomie, leur confidentialité et leur éventuelle vulnérabilité.

Dans le domaine des consultations divinatoires, une attention particulière peut être accordée aux situations d'incertitude personnelle, aux attentes affectives et aux décisions importantes.

Une éventuelle enquête devra définir des règles adaptées concernant :

* le consentement libre et éclairé ;
* la collecte minimale de données personnelles ;
* la protection des échanges confidentiels ;
* la possibilité de se retirer d'une enquête ;
* la présentation non trompeuse des objectifs ;
* la distinction entre activité de recherche et prestation commerciale ;
* la prévention des situations de pression ou de dépendance.

Les consultations divinatoires ne doivent pas être présentées comme des substituts aux interventions de professionnels qualifiés dans les domaines médical, psychologique, juridique ou financier.

== 9. Limites du présent travail ==

Cette proposition présente plusieurs limites.

Premièrement, la grille d'analyse n'a pas été évaluée au moyen d'une enquête empirique structurée.

Deuxièmement, elle rassemble des dimensions susceptibles d'être pertinentes pour plusieurs pratiques, sans établir leur caractère universel.

Troisièmement, les travaux historiques et anthropologiques cités concernent des contextes distincts des pratiques professionnelles contemporaines. Leur intérêt comparatif ne justifie pas une transposition automatique de leurs conclusions.

Enfin, l'étude documentaire ne permet pas, à elle seule, de mesurer les effets psychologiques, sociaux ou décisionnels éventuellement associés à une consultation.

Ces limites doivent être prises en compte avant toute utilisation de la grille dans une recherche empirique.

== 10. Perspectives de recherche ==

Plusieurs prolongements sont envisageables :

* constituer un corpus bibliographique de différentes périodes ;
* comparer les méthodes de description de plusieurs systèmes divinatoires ;
* analyser la place de l'incertitude dans les discours consultatifs ;
* documenter l'évolution des supports numériques ;
* étudier les formulations professionnelles relatives à la responsabilité et au libre arbitre ;
* soumettre la grille à une relecture interdisciplinaire ;
* tester son utilité descriptive sur un corpus délimité et documenté.

Ces perspectives constituent des possibilités de recherche, et non des travaux déjà réalisés.

== Conclusion ==

L'étude des pratiques divinatoires contemporaines peut être menée sans présupposer la validité des croyances qui leur sont associées ni réduire leur intérêt à la seule question de la prédiction.

Une démarche documentaire et critique permet d'en examiner les dimensions historiques, sociales, symboliques et professionnelles.

La grille proposée vise à faciliter cette analyse en distinguant les sources, les acteurs, les procédures, les usages et les enjeux éthiques.

Sa pertinence devra être discutée et, le cas échéant, évaluée dans le cadre de recherches ultérieures.

Ce travail constitue ainsi une première proposition méthodologique ouverte à la critique, à la révision et à l'enrichissement collectif.

== Contribution et transparence ==

Cette proposition méthodologique a été initialement rédigée et mise à disposition sur Wikiversité par [[Utilisateur:Arianne_Galfre|'''Arianne Galfre''']], praticienne, auteure et chercheuse indépendante établie à Albi, en France.

'''Identification Wikidata :'''
* [[d:Q141594713|Arianne Galfre]] — identité personnelle de la contributrice.

'''Déclaration d'intérêts :'''

La contributrice déclare être directement liée aux entités suivantes :

* [[d:Q141593990|Arianne G Voyance]] — cabinet indépendant dont elle est la fondatrice ;
* [[d:Q141593475|Arianne G Voyance Publications]] — structure associée à ses activités d'édition, de publication et de recherche indépendante.

Ces liens sont indiqués dans un souci de transparence. Ils ne constituent ni une affiliation universitaire ni une validation scientifique du présent travail.

Le document est proposé comme une contribution ouverte à la discussion, à la critique et à l'amélioration collective. Les connaissances établies, les observations professionnelles, les hypothèses et les croyances doivent y rester clairement distinguées.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;</text>
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    </revision>
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