Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 108 2583 987705 984987 2026-10-24T15:00:09Z Octogénaire 79731 987705 wikitext text/x-wiki {|width=100% border=0 style="background-color: #{{Idfaculté/pastel/langues}};" |width=50% valign="top"| == {{L|[[Grec ancien/Grammaire|1) Grammaire de Grec Ancien]]}} == '''Leçon 1''' [[Grec ancien/Grammaire/Langue grecque/Dialectes|Dialectes]]<br /> '''Leçon 2''' [[Grec ancien/Grammaire/Langue grecque/Alphabet|Alphabet]]<br /> '''Leçon 3''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons/Présentation des cas| Déclinaisons/Présentation des cas]] <br /> '''Leçon 4''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Déclinaison de l’article défini|Déclinaison de l’article défini]] <br /> '''Leçon 5''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms|Déclinaisons des noms, généralités]]<br /> '''Leçon 6'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Deuxième déclinaison|Deuxième déclinaison]]<br /> '''Leçon 7'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Première déclinaison|Première déclinaison]]<br /> '''Leçon 8'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Troisième déclinaison|Troisième déclinaison]]<br /> '''Leçon 9'''[[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des noms/Déclinaisons difficiles|Déclinaisons difficiles]]<br /> '''Leçon 10''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaisons des adjectifs|Déclinaisons des adjectifs]]<br /> '''Leçon 11''' [[Grec ancien/Grammaire Déclinaisons des adjectifs|Adjectifs irréguliers ou hors classe]]<br /> '''Leçon 12''' [[Grec ancien/Grammaire|Adjectifs comparatifs et surperlatifs]]<br /> '''Leçon 13''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaison des pronoms|Déclinaisons des pronoms]]<br /> '''Leçon 14''' [[Grec ancien/Grammaire/Déclinaison des pronoms|Déclinaisons des pronoms relatifs]]<br /> '''Leçon 15''' [[Grec ancien/Grammaire/Prépositions et leurs cas|Prépositions et leurs cas]]<br /> '''Leçon 16''' [[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison]]<br /> '''Leçon 17'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Introduction à la conjugaison|Introduction à la conjugaison]]<br /> '''Leçon 18'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif présent|Indicatif présent]] <br /> '''Leçon 19'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif imparfait|Indicatif imparfait]]<br /> '''Leçon 20'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif aoriste|Indicatif aoriste]]<br /> '''Leçon 21'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif futur|Indicatif futur]]<br /> '''Leçon 22'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif parfait|Indicatif parfait]]<br /> '''Leçon 23'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Indicatif plus-que-parfait|Indicatif plus-que-parfait]]<br /> '''Leçon 24'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Subjontif|Subjonctif]]<br /> '''Leçon 25'''[[Grec ancien/Grammaire/Conjugaison/Optatif|Optatif]] |width=50% valign="top"| == {{L|[[Grec ancien/Vocabulaire|2) Vocabulaire de Grec Ancien]]}} == * [[Grec ancien/Vocabulaire/Dieux|Dieux]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Interjections|Interjections]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Particules|Particules]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Nombres|Nombres]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Animaux|Animaux]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Ville|Ville]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Temps|Temps]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Unités de temps|Unités de temps]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Saisons|Saisons]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Jours de la semaine|Jours de la semaine]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Mois de l'année|Mois de l'année]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Fêtes|Fêtes]] * [[Grec ancien/Vocabulaire/Points cardinaux|Points cardinaux]] |width=50% valign="top"| |} {{Autocat}} q9a4o5ktrcbbxwqmuqydhaxr8pfs12f 0 3394 987679 987677 2026-10-24T12:02:10Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987679 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale : β+σ=ψ=psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/> γ se prononce n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale : δ + σ = σ</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale : δ + σ = σ</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé | côté |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] pfbrnx7p2a5u53hi0ifbtvquwcjxui4 987681 987679 2026-10-24T12:04:15Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987681 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale : β+σ=ψ=psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale : δ + σ = σ</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale : δ + σ = σ</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé | côté |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] jjr0q6rh7zfkajxae4gduoini293pg1 987682 987681 2026-10-24T12:08:12Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987682 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale : β+σ=ψ=psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale : δ + σ = σ</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé | côté |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] sv1bjnve8fto14b0j8daqmzuk76wlec 987683 987682 2026-10-24T12:19:07Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987683 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> ἐν, dans |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé | côté |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] r05a4okwz43tes0s9gf9vlcnis30hjm 987684 987683 2026-10-24T12:21:36Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987684 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé | côté |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 0k5c5tkmxpqvkq24eu9hd2djhtqn1bf 987685 987684 2026-10-24T12:29:23Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987685 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole (pièce d'argent athénienne) ὁ ὀϐολός </small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, la pharmacie : | τὸ φαρμακεῖον, ου |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 5rvjjsxqxcbbv7x48dffsa6cf0g3ktr 987686 987685 2026-10-24T12:55:01Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987686 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th : le '''th'''éâtre : | τὁ θέατρον, ου |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | il (bref), île (long) |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole (pièce d'argent athénienne) ὁ ὀϐολός </small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ occlusive labiale | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον, ου </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ occlusive gutturale | κh <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ consonne double labiale | ps, le psaume : | ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | sotte, sort |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] a3kfzcyrv0k1r2ise7nity1lb8cg4ri 987688 987686 2026-10-24T13:24:15Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987688 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole (pièce d'argent athénienne) ὁ ὀϐολός </small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον, ου </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός, οῦ |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert (sort) | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] ihwtkp0elbafbzz7z02x0d25dqpfhtg 987689 987688 2026-10-24T13:28:15Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987689 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole (pièce d'argent athénienne) ὁ ὀϐολός </small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς,εως - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν | u bref ou û long | <small>y/u (après « α » « ε » « η » « ι » « ο » « υ »)</small> |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον, ου </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] bpkmo2vtxvy8jd5b1jbp34cry0hxxaq 987690 987689 2026-10-24T13:38:14Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987690 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν (litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον, ου </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] t914flvtk4rjstwdleaiv2nus8h4w2b 987691 987690 2026-10-24T13:41:10Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987691 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | ὁ '''ῥ'''ήτωρ, ο'''ρ'''ος |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 71kn1dmemsr5ttopcapr8h6e6t2wrri 987692 987691 2026-10-24T13:59:45Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987692 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | ρ (ϱ) ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) <br> ρ à l'intérieur ou à la fin d'un mot | Rho | Ῥῶ | r (roulé) le '''rh'''éteur : | la rhétorique : ἡ '''ῥ''ήτο''ρ'''ική |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] bte1uyalbrlf7musaoy9g6vdgqykrbi 987693 987692 2026-10-24T14:04:32Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987693 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) <br> ρ à l'intérieur ou à la fin d'un mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ἡτο''ρ'''ική |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 4083eeo8fqfjuj6m87n20drs3yo61if 987694 987693 2026-10-24T14:07:06Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987694 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) <br> ρ à l'intérieur ou à la fin d'un mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | la rhétorique : <br>ἡ '''ῥ'''ητο''ρ'''ική |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] f0vjqt2jjpb1zjxsc8ma5vvcc1qp7cv 987695 987694 2026-10-24T14:10:03Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987695 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) <br> ρ à l'intérieur ou à la fin d'un mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | la rhétorique : <br>ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 14mrc9xyzlude0lw46oaqye0oga3e16 987696 987695 2026-10-24T14:13:16Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987696 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) ρ à l'intérieur ou à la fin d'un mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | la rhétorique : <br>ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] smvxaj1ij424smp81fpm43rbwkje39o 987697 987696 2026-10-24T14:16:10Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987697 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | la rhétorique : <br>ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 9awdbjszbip43lj3btynwzwhtnab9ml 987698 987697 2026-10-24T14:20:40Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987698 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] q01a4atnv425k1mig5rpki54rav4rm1 987699 987698 2026-10-24T14:22:04Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987699 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (toujours avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br>(litt. u mince) | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] 00pwvy7l16zxghkta0ny4i729uasm0o 987700 987699 2026-10-24T14:23:50Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987700 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | <small>ὁ πατήρ, le père</small> |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (toujours avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br><small>(litt. u mince)</small> | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] pix281wh2mhi4vovi5rbed7a70s28fd 987701 987700 2026-10-24T14:27:20Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987701 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | M<br />A<br />J<br />U<br />S<br />C<br />U<br />L<br />E ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν <Br><small> litt. o petit càd bref </small> | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | ὁ πατήρ, le père |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (toujours avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br><small>(litt. u mince)</small> | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] awm0v3n4ug81jiper1xvs09horwya35 987702 987701 2026-10-24T14:37:07Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987702 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | Maj. ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν <Br><small> litt. o petit càd bref </small> | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | ὁ πατήρ, le père |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (toujours avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r (roulé) | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br><small>(litt. u mince)</small> | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] pdxv6yslrx3yuerdfqfda64kcwuswo6 987703 987702 2026-10-24T14:45:40Z Octogénaire 79731 /* Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα */ 987703 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Dialectes/]] }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | Maj. ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν <Br><small> litt. o petit càd bref </small> | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | ὁ πατήρ, le père |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (toujours avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r <small>(roulé) consonne liquide</small> | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br><small>(litt. u mince)</small> | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{Base de page tableau charte}} }} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = [[../Déclinaisons Présentation des cas/]] }} [[Catégorie:Alphabet]] py1ivr6txyobmdc6ik4mzd0xzvk3eu0 987725 987703 2026-10-25T11:16:45Z Geoleplubo 7999 m Bas de page 987725 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Alphabet et prononciation | idfaculté = langues | numéro = 2 | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = }} = = β' '''Δεύτερον''' μάθημα, = = 2 '''Deuxième''' leçon.= = =Τὸ δίγαμα τὸ δεύτερον : deuxième leçon. = == Les 24 lettres, Τα ΔΔΔΠ γραμμἀτα == {{Son|L'alphabet grec|Fr-L'alphabet grec.oga}} {{Son|À vous !|L'alphabet grec solo.ogg}} L'alphabet grec n'est pas le même que l'alphabet latin. L'écriture dite minuscule n'est apparue qu'à partir du IX^e siècle après J.-C. dans les manuscrits byzantins. Beaucoup plus prégnant qu'en français, en grec ancien, le caractère bref ou long des voyelles a de l'importance pour l'accentuation, et les rythmes poétiques sont basés sur des alternances de longues et de brèves. Donc certaines voyelles sont systématiquement brèves (ε, ο), d'autres systématiquement longues (η, ω), d'autres sont parfois longues, parfois brèves (α, ι, υ). Voici l'alphabet grec avec le nom des lettres en français et en grec. Je vous conseille de les apprendre 4 par 4 si vous désirez consulter plus facilement les mots souvent '''polysémiques''' dans le dictionnaire grec. {| class="wikitable" ! scope="col" | Maj. ! scope="col" | Minuscule ! scope="col" | Nom en français ! scope="col" | Nom en grec ancien ! scope="col" | Prononciation et caractéristiques ! scope="col" | Remarques ou exemples |----- | A | α | Alpha | Ἄλφα | a bref ou â long | patte, pâte |- | B | β <small>en début de mot</small> <br /> ϐ <small>à l'intérieur</small> | Bêta | Βῆτα | b <small>occlusive labiale ; <br/>β + σ = ψ = psi</small> | <br />étranger, barbare, <br />càd non grec : βάρϐαρος |----- | Γ | γ | Gamma | Γάμμα | g <small>occlusive gutturale ; <br/>prononcez n devant γ, κ, χ, ξ</small> <br /> ἐγγυς, près de = enngus<br /> |la gangrène :<br /> ἡ γά'''γγ'''ραινα |---- | Δ | δ | Delta | Δέλτα | d <small>occlusive dentale ; <br/>δ + σ = σ = sigma</small> | le delta : ὁ δέλτα |----- | Ε | ε (ϵ/϶) | Epsilon | Ἒ ψιλόν | é (bref fermé) | réserver, blé, dé <br/> dans : ἐν |- | Ζ | ζ (= σ+δ ou δ+σ) | Dzêta | Ζῆτα | zd <small>consonne double dentale</small> | l'animal : τὸ ζῷον |----- | Η | η | Êta | Ἦτα | ê (long ouvert) | fenêtre, fraîche<br/><small>ἤδη, déjà, maintenant, désormais</small> |- | Θ | θ (ϑ) | Thêta | Θῆτα | th occlusive dentale | le '''th'''éâtre : τὁ θέατρον |----- | Ι | ι | Iota | Ἰῶτα | i bref ou î long | <small>l'iris : ἡ ἶρις (arc-en-ciel, partie colorée de l'oeil, plante)</small> |- | Κ | κ (ϰ) | Kappa | Κάππα | k/c consonne gutturale | képi, casser, et : καί |----- | Λ | λ | Lambda | Λάμϐδα | l consonne liquide | |- | M | μ | Mu | Μῦ | m consonne liquide | |----- | Ν | ν | Nu | Νῦ | n consonne liquide | |- | Ξ | ξ (= γσ, κσ, χσ) | Xi | Ξῖ | x consonne double gutturale | axe ; <br/>l'étranger : ὁ ξένος |----- | Ο | ο | Omicron | Ὂ μικρόν <Br><small> litt. o petit càd bref </small> | « o » bref fermé |<small> l'obole : ὁ ὀϐολός </br>(pièce d'argent athénienne)</small> |- | Π | π (ϖ) | Pi | Πῖ | p (<small>labiale : π + σ = ψ = psi</small>) | ὁ πατήρ, le père |----- | Ρ | <small>ῥ Ῥ (toujours avec esprit rude en initiale) <br>ρ intérieur ou fin de mot</small> | Rhô | Ῥῶ | r <small>(roulé) consonne liquide</small> | <small>la rhétorique : ἡ '''ῥ'''ητο'''ρ'''ική <br> le rhinocéros : ὁ ῥινοκέρος</small> |- | Σ | σ <small>au début et à l'intérieur d'un mot</small><br />ς <small>en fin de mot (Ϲ, ϲ/Ͻ, ͻ)</small> | Sigma | Σῖγμα | s : <small>ne jamais prononcer z,</small><br /> <small>la marche, ἡ βασίς - bassisse)</small> | ὁ '''Σ'''ί'''σ'''υφο'''ς''', ου, <br /> Sisyphe |----- | Τ | τ | Tau | Ταῦ | t occlusive dentale | ὁ τόπος : le lieu (topographie) |- | Υ | υ | Upsilon | ῏Υ ψιλόν <br><small>(litt. u mince)</small> | u bref ou û long | le sommeil : ὁ ὕπνος (hypnose) |----- | Φ | φ (ϕ) | Phi | Φῖ | ph ou f, occlusive labiale | <small>la pharmacie : τὸ φαρμακεῖον </small> |---- | Χ | χ | Khi | Χῖ | κh occlusive gutturale <br /> <small>(χ + σ = ξ = xi)</small> | l'herbe verte, Chloé :<br /> ἡ χλόη |----- | Ψ | ψ = βσ, πσ, φσ | Psi | Ψῖ | ps consonne double labiale | le psaume : ὁ ψαλμός |- | Ω | ω | Oméga | Ὦ μέγα | « o » long ouvert | oh ! : ὤ (interjection) |} == Exercices pour maîtriser l'alphabet == Notez que le mot alphabet vient des deux premiers lettres grecques ἄλφα καὶ βῆτα, alpha et bêta. En grec ancien, l'alphabet se traduit littéralement par "les lettres" à savoir τὰ γράμματα. La lettre se dit τὸ γράμμα et donne le français grammaire.<br /> Récitez le nom des 4 premières lettres de l'alphabet, τά γράμματα , svp : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων · ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα/ τὰ μικρότερα γράμματα · α, β, γ, δ/ τὰ μείζονα γράμματα · Α, Β, Γ, Δ}} Puis le nom des 4 suivantes puis répétez les 8 premières lettres soit le tiers de l'alphabet : {{Solution|contenu= τὸ ὄνομα γαλλικός τῶν γραμμάτων · Epsilon, zêta, (prononcer zd^èèta), êta, thêta/ τὸ ὄνομα ἑλληνικόν τῶν γραμμάτων ·ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα ; τὰ μικρότερα γράμματα · ε, ζ, η, θ, /τὰ μείζονα γράμματα · Ε, Ζ, Η, Θ soit ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα, ἔ ψιλόν, ξῆτα, ἦτα, θῆτα/ α β γ δ ε ζ η θ/ τά μείζονα γράματτα · Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ}} Citez les lettres après θῆτα jusqu'à ὂ μικρόν.{{Solution|contenu=ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, , νῦ, ξί , ὄ μικρόν/ ι κ λ μ ν ξ ο/ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο}} Récitez les lettres à partir d'ὄ μικρόν jusqu'à ὖ ψιλόν (u psilonⁿ){{Solution|contenu= οmicron, pî, rhô, sigma, tau (prononcez t^aou), ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ,ὖ ψιλόν; ο, π, ρ, σ, τ, υ / Ο Π Ρ Σ Τ Υ}} Citez les 4 dernières lettres du γράμματα.{{Solution|contenu=phi, khi, psi, oméga, φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα, Φ, Χ, Ψ, Ω}} Récitez l'alphabet en entier et l'écrire en lettres minuscules (γράφειν μείζονα γράμματα) et l'écrire en lettres majuscules (γράφειν μικρότερα γράμματα). {{Solution|contenu=ἄλφα, βῆτα, γάμμα, δέλτα ἔ ψιλόν, ζῆτα, ἦτα, θῆτα; ἰῶτα, κάππα, λάμϐδα, μῦ, νῦ, ξί, ὄ μικρόν, πῖ, ῤο, σῖγμα, ταῦ, ὖ ψιλόν; φῖ, χῖ, ψῖ, ώ μέγα./ τὰ μικρότερα γράματτα · α, β Β, γ, δ, ε, ζ, η, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, φ, χ, ψ, Ω ; τὰ μείζονα γράμματα Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω}} Traduire en français μέγα, ψιλόν, μικρόν {{Solution|contenu= μέγα = grand, haut au neutre singulier, ψιλόν (mot au neutre singulier) : pur, simple par opposition à l'u prononcé ou ; dégarni de cheveux, de poils, de plumes ; simple, seul, non accompagné. Μικρόν, petit, bref, court par opposition à la voyelle toujours longue omega (ω, Ω)}} == Lettres obsolètes == En −403, certaines des lettres suivantes furent abandonnées. {| class="wikitable" ! Majuscules ! Minuscules ! Noms des lettres (français) ! Noms des lettres (grec ancien) ! Prononciation dans l'alphabet latin |----- | Ϝ (Ͷ) | ϝ (ͷ) | Wau/Digamma | Ϝαῦ/Δίγαμμα | w |- | Ϛ | ϛ | Stigma | Ϛῖγμα | st |- | Ͱ/┤ | ͱ/𐌝 | Hêta | Ἧτα | ''h'' aspiré |- | M | ϻ | San | Ϻαν | ''s'' emphatique |- | Ϸ | ϸ | Cho | Ϸο | ''ch'' français |- | Ϙ | ϙ (Ϟ/ϟ) | Koppa | Κόππα | q |- | Ͳ (Ϡ) | ͳ (ϡ) | Sampi | Ͳάμπι/Ϡάμπι | ''s'' long |} == Digrammes == Les [[w:digramme|digrammes]] suivants notent des [[w:Monophtongue|monophtongues]] (un seul son) : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | ει | /eː/ | ῥ'''εῖ''' (''il coule'') |- | ου | /oː/ (a évolué en /uː/ vers 400 {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}}, comme ou français) | ὁ '''οὐ'''ρανός (''le ciel''), <br /> ακ'''ού'''ω (''j'entends'', ''j'écoute'' → acoustique) |} == Les diphtongues, οἰ διφθόγγοι == Le grec ancien comporte des [[w:diphtongue|diphtongues]], c'est à dire un groupe de deux voyelles prononcé d'une seule émission de voix : {| class="wikitable" ! Diphtongue ! Prononciation ! Exemple |----- | αυ | /au̯/ cf. c'''aou'''tchouc (ou très bref) |'''αὐ'''τός (''soi-même'') ⇒ autographe de γράφειν, écrire |- | αι | /ai̯/ cf. évent'''ai'''l | ἐργάζομ'''αι''' (''je travaille'') |- | ευ | /eu̯/ cf. guép'''éou''' (ou très bref) | '''ηὕ'''ρηκα (''j’ai trouvé, je détiens'') |- | οι | /oi̯/ cf. go'''ya'''ve ou anglais v'''oi'''ce | π'''οι'''ῶ (''j'agis'', ''je fais'') |- |} == Iota souscrit et adscrit == «La prononciation du iota (ἰῶτα) '''après une voyelle longue''' (conventionnellement annotée par — sur la voyelle) s'est atténuée jusqu'à disparaître, dès l'époque hellénistique (càd depuis la mort d'Alexandre le Grand en 323 av. J.-C jusqu'à la conquête de l'Égypte). C'est pourquoi, au lieu d'écrire le iota qu'on ne prononçait plus, on introduisit les iotas souscrits ou adscrits à l'époque byzantine (de 529 après J.-C sous Justinien jusqu'à la chute de Constantinople en 1453 ). <br /> Pour les minuscules, le iota est souscrit, à savoir écrit sous la voyelle : '''ᾳ''', '''ῃ''', '''ῳ'''. <br /> Pour les majuscules, le iota est adscrit, càd écrit à côté de la voyelle : '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''. <br /> Dans la prononciation conventionnelle, on admet de prononcer brièvement le iota souscrit et adscrit avec les voyelles longues.»<ref> A. Lukinovich et M. Rousset (2002) Grammaire de Grec Ancien 3e tirage, Ed. Georg</ref> <br />Néanmoins, d'une part, la grammaire grecque d'Allard et Feuillâtre (1972) précise que «lorsque la voyelle longue est une majuscule, l'iota est adscrit; cet iota adscrit ne porte ni l'esprit ni l'accent : Ἅιδης, Ηadès», dieu des Enfers. <br />D'autre part, la grammaire grecque de Ragon et Dain (2008) précise «Avec les majuscules, on peut l'écrire, soit en dessous de la lettre (il est alors souscrit) : ᾼ ; ῌ ; ῼ ; soit à côté '''Αι''', '''Ηι''' , '''Ωι'''; alors c'est un iota adscrit qui, même inscrit ainsi, ne se prononce pas et ne reçoit jamais d'accent.» On rencontre ces graphies dans certaines formes verbales et dans le datif singulier de certaines déclinaisons. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ῷ''' λογ'''ῷ''' : l’étude (datif singulier)}} == '''L'accentuation, ἡ τάσις''' == Contrairement au latin, le grec comporte des '''accents''' et d'autres signes appelés '''esprits'''. === Les esprits, τὰ πνεύματα === Le grec utilise deux signes en forme de demi-cercle à courbure droite ('''esprit doux''' ᾽) ou gauche ('''esprit rude'''). Ces signes peuvent se rencontrer sur toutes les voyelles, diphtongues et la lettre rhô (ῥ) en début de mot. L'esprit doux (ἀ) est sans influence sur la prononciation tandis que l'esprit rude (ἁ, ῥ) indique un h "aspiré", c'est à dire un souffle (πνεῦμα<ref>pneuma, "air expiré' le pneumatique fonctionna par compression d'air d'air</ref>, souffle, vent, t. grammatical esprit) initial (comme dans l'anglais house). Sur une diphtongue, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle comme dans ὑποδείγματα. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>'''ε'''ργάζομαι</s> mais '''ἐ'''ργάζομαι (signifie "je travaille", mais dans les dictionnaires grec - français les verbes sont toujours présentés à la première personne du singulier de l'indicatif et indique en traduction l'infinitif tel "travailler" »)}} Sur le '''ρ''' et le '''υ''', en début de mot, l'esprit est toujours rude. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ἡ '''ῥ'''ίς « le nez », ''Ὑ''ποδείγαματα,Exemple }} L'esprit rude indique que la voyelle est aspirée. Il est transcrit par un ''h'' en français. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τῆς ῥινός (« le nez », génitif singulier), a donné les composés avec "rhino-" en français}} En majuscule, l'esprit se place à gauche de la lettre. Pour les diphtongues en début de mot, l'esprit se place toujours sur la seconde voyelle. {{exemple|titre= Exemple, Ὑποδείγματα :|contenu=ΑΎΤΌΣ,'''αὐ'''τός, soi-même }} === Les trois accents, οἱ τρεῖς τόνοι === Le français ou le grec moderne emploient un '''accent d'intensité''', où l'on force la voix sur la syllabe accentuée. De manière opposée, le grec ancien est très musical et possède donc un '''accent dit de hauteur''' car la voix s'élève avec l'accent aigu (c'est une intonation ascendante) tandis que l'accent grave note l'absence d'élévation de la voix dans le cours de la phrase. Le mot avec accent grave est dit baryton. L'accent circonflexe, lui, souligne une intonation ascendante puis descendante, elle est donc portée que sur les deux dernières voyelles (ou diphtongues) à condition qu'elle soit longue (cela permet la double intonation) Le grec utilise le plus souvent des accents aigus. Exception faite des enclitiques, il ne peut y avoir qu'un unique ou zéro accent par mot. Tout accent aigu porté par la dernière syllabe devient grave si le mot suivant dans la même phrase est accentué ou proclitique. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τ'''ή'''ν (« la », accusatif singulier) mais τ'''ὴ'''ν φωνήν (« la voix », accusatif singulier)}} Le grec utilise aussi l'accent circonflexe, lequel ressemble au tilde espagnol (~). Il n'est porté que par les voyelles longues ('''ᾶ''', '''ῆ''', '''ῖ''', '''ῦ''' et '''ῶ'''), les diphtongues (ex. : '''αῦ''', '''οῖ''') et les voyelles longues à iota souscrit ('''ᾷ''', '''ῇ''' et '''ῷ'''). Comme pour les esprits, c'est la seconde voyelle d'une diphtongue qui porte l'accent. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=<s>κ'''άι'''</s> mais κ'''αί''' (et)}} Les accents aigu et grave se portent à gauche des majuscules et à droite des esprits. Dans de rares mots, le grec utilise des trémas (¨). Ils servent à décomposer une diphtongue. Ils se placent sous les accents. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''εῦ'' se prononce [ˈeu̯ˌ] mais ''εῧ'' se prononce [ˈe.u̯]}} ==== L'accent aigu, τὸ τόνος ὀξύς ==== On le rencontre sur les trois dernières syllabes d’un mot. Celui-ci est : * oxyton (du grec ὀξύτονος, ος, ον) quand l'accent porte sur la dernière syllabe : ἀγαθός, bon. * paroxyton<ref>paroxyton, παρὀξύτονος, ος, ον, c'est à dire qui est à côté, παρά, de l'oxyton mot accentué sur la dernière syllabe </ref>quand l'accent aigu porte sur l'avant-dernière syllabe, ''savamment'' dit : sur la pénultième syllabe : λόγος, parole, mot, terme de logique : proposition, révélation divine, sentence. * proparoxyton quand il porte sur l'avant-avant-syllabe ou l'antépénultième syllabe : ἄνθρωπος Un mot ne peut être proparoxyton que si la dernière syllabe est composée d' une voyelle courte ou se termine par une diphtongue courte non suivie par une consonne (désinence ou terminaison courtes : αι, οι) {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἑργάζομαι, je travaille est proparoxyton. La diphtongue « αι » est considérée comme courte si elle termine le mot. Suivie d’une consonne, elle sera longue.}} {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἵππος, cheval : « ο » est une voyelle courte. Dans son nominatif pluriel (ἵπποι), « οι » est une diphtongue courte car c'est une désinence et elle n'est pas suivie par une consonne. En revanche, dans son datif pluriel (ἵπποις), « οι » est une diphtongue longue car elle est suivie d'une consonne.}} ==== L'accent grave, ὁ τόνος βαρύς ==== On ne le rencontre qu'à la dernière syllabe d'un oxyton, remplaçant l'accent aigu s'il est suivi d’un autre mot qui ne soit pas enclitique (atone). L'accent reste aigu en fin de phrase ou suivi d'une ponctuation. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ὁ ἵππος '''καὶ''' ὁ γεωργός, le cheval et le laboureur (ou le paysan)}} ==== L'accent circonflexe, ὁ τόνος περιστώμενος ==== Il ne se rencontre que sur les deux dernières syllabes du mot. Celui-ci est : * '''périspomène''' quand l'accent est sur la dernière syllabe : ἡ γῆ, la terre ; τῆς γῆς la terre au génitif. * '''propérispomène''' quand il se trouve à la pénultième syllabe : δῆμος, peuple, contrée, territoire Seules les diphtongues et les voyelles longues peuvent recevoir cet accent. Un mot finissant par une voyelle courte ou par les diphtongues '''αι''' et '''οι''', ces dernières employées à titre de terminaison ou de désinence, est obligatoirement propérispomène si la pénultième syllabe est composée par une voyelle ou une diphtongue longues. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=πνεῦμα : on en déduit que le '''α''' est une voyelle courte, et que '''υ''' est longue. <br /> Πνεῦμα, ατος (τὸ), souffle (du vent), de l'homme, d'où haleine, essoufflement ; odeur (d'un parfum) ; t. de grammaire : esprit (rude ou doux). }} === Règle des enclitiques === Un enclitique est un mot atone (c'est à dire sans accent de hauteur) qui prend appui dans la phrase sur le mot accentué le précédant. On doit lire le mot accentué et l'enclitique qui le suit comme s'il n'y avait qu'un seul mot : Donc, sauf très rare exception, un enclitique n'est pas en tête phrase ni derrière une ponctuation car il ne pourrait s'appuyer sur un mot précédant.<br /> Mais comme la langue ancienne attique est fort musicale, cet enclitique peut dans une phrase être accentué exclusivement sur la dernière syllabe pour que la voix remonte. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=''θεός τε καὶ ἄνθρωπος'' signifiant ''dieu et homme'' : l'enclitique 'τε', proposition de coordination dénommée aussi particule dans les grammaires de grec ancien s'appuie sur le précédant θεός (dieu). On prononce donc θεός-τε καὶ ἄνθρωποςτί''}} Devant un enclitique, un mot accentué de l'aigu sur la finale (= un oxyton) conserve cet accent aigu et ne le change pas en grave. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ἀγαθόν ''τι'', ''quelque chose'' de bon}} Précédé d'un paroxyton, un enclitique de deux syllabes reçoit un accent sur la seconde syllabe. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Νέος ''ἑστὶν'', ''il est'' jeune. <br />Λόγων ''τινῶν'', ''quelques'' paroles (au génitif masculin pluriel).<br />Λόγοις ''τισίν'', ''quelques'' paroles (au datif masculin pluriel}} Un enclitique suivi d’un autre enclitique prend un aigu sur la finale. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Δοῦλος τίς ''ἐστὶ'' τίνι Ἀθηναίῳ, un quelconque athénien possède un esclave (avec le datif l'auxiliaire ''être'' marque la possession)}} Certains mots ordinairement sans accent : <br />- les articles (ὁ, ἡ, οἱ, αἱ,) (le, la, les - masculin pluriel - et les -féminin pluriel-), <br />- les prépositions ἐν + datif (dans), εἰς + accusatif (vers), <br />- la négation οὐ, <br /> prennent un accent aigu s'ils sont suivis d'un enclitique. Ce sont les '''proclitiques'''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=Ἔν τίνι οἰκίᾳ, dans une (quelconque) maison<br /> εἴς τίνα ἀγρόν, vers un champ<br /> οὔ φημί, je ne dis pas, je n'affirme pas}} Devant les consonnes '''γ''', '''κ''', '''ξ''' et '''χ''', le '''γ''' se prononce ''n''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=ὁ ἄ'''γγ'''ελος, ου (ὀ, ἠ) : le messager ou la messagère → ange}} Devant les consonnes '''β''', '''γ''', '''δ''' et '''μ''', le '''σ''' se prononce ''z''. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu=τὸ φά'''σ'''μα, ατος : forme, simulacre, apparition, fantôme, signe des dieux, présage }} Le groupe de consonnes «ττ» du dialecte attique traditionnellement étudié est remplacé en dialecte ionien et dans la langue commune (κοινὴ διἀλεκτος ou κοινή tout court) par « σσ ». {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= ἡ θάλα'''ττ'''α, ης (attique)/ἡ θάλα'''σσ'''α, ης (ionien, koinè) : la mer}} Les groupes « κχ », « πφ » et « τθ » se prononcent respectivement [kʰː], [pʰː] et [tʰː]. {{exemple|titre= Exemple, ὑποδείγματα :|contenu= : }} Notez que cette prononciation est appelée « prononciation érasmienne », parce qu'elle a été établie par [[w:Érasme|Érasme]] à la Renaissance. Des travaux de linguistes essayent de retrouver la prononciation exacte du grec ancien. Néanmoins, quoique [[wikt:scolaire|scolaire]], la prononciation érasmienne reste la plus utilisée. En revanche on accentue « οὐκ ἐστί(ν), il n'existe pas, il n'est pas. » == La ponctuation, ἡ διάστιξις == Certains signes de ponctuation sont les mêmes qu'en français : le point (.), la virgule (,). D'autres signes sont propres au grec : le point-virgule (;) remplace le point d'interrogation, et le point en haut (·) remplace les deux points et le point-virgule. Les guillemets (« ») et le point d'exclamation (!) n'ont pas d'équivalents en grec ancien. == Présentation des mots dans tous les dictionnaires grec-français == Comme en allemand, le grec possède trois genres : masculin, féminin, neutre. Tous les noms, substantifs, articles, pronoms, participes présents et passés se déclinent et il existe des modèles de déclinaison. Selon sa fonction dans la phrase, le mot est décliné dans l'un des 5 cas : nominatif, vocatif, accusatif, génitif, datif. A partir de la désinence (ou terminaison) du génitif, on peut retrouver le modèle de déclinaison. * Le mot "parole" (n. f.) se présente ainsi : ''λόγος, ου (ὀ)'' soit parole au nominatif, suivi de la désinence au génitif (ici : oυ, on en déduit λόγου au génitif) et entre parenthèses est indiqué l'article : ὁ pour le masculin, ἠ pour le féminin, τὸ pour le neutre toujours au nominatif puisque les articles se déclinent aussi. * Le verbe grec est toujours présenté à la première personne du singulier du présent de l'indicatif. Ainsi τρήχω qui signifie (je cours) a pour traduction dans le dictionnaire notre infinitif "courir" alors que l'infinitif de courir en grec se dit τρέχειν. Si vous désirez passer des examens au lycée ou en faculté, apprenez l'alphabet et entraînez-vous à chercher les mots dans le dictionnaire grec-français toujours autorisé lors des examens. == Conclusion et Vocabulaire à retenir == Pour retenir les lettres difficiles : <br /> Le mot grec ΧΡΗ, χρέ, signifiant ''il faut'' se prononce ''chrè''. '''Écrire plusieurs fois''' : <br /> χρη, χρέ, il faut ; ΘΕΟΔΩΡΟΣ, Θέοδορος, Théodore <br />(⇒ ϑεός, οῦ (ὀ) : dieu ; δώρον, ου (τὸ) : don, cadeau, d'où Théodore : don de dieu). <br /> ΠΥΡΦΟΡΟΣ, πυρφόρος, ος, oν : porteur ou lanceur de feux <br />(⇒π'''ῦ'''ρ, πύρος (ὁ) : le feu d'où la p'''y'''rothecnie.)<br /> ΨΙΛΑΞ, ψίλαξ, ψίλακος (au génitif) l'imberbe (nom sous lequel Bacchus était honoré)<br /> ΨΥΧΡΟΣ, ψυχρός, froid (masculin) ; ψυχρά, froide (féminin) ; ψυχρόν (froid, neutre) : ψυχρός, ά, όν .<br /> ΓΕ, γε, du moins, certes (particule ou mot de liaison pas toujours traduit). <br />L'accentuation et l'ordre des mots dans les phrases sont très différents du français, langue sans déclinaison. Il est donc important de ne pas négliger l'apprentissage des accents pour éviter les contre-sens : <br /> Αἰ, les (article nominatif singulier féminin) mais αἵ, qui (pronom relatif féminin pluriel). <br /> Δῆμος, ου (ὁ), contrée, pays, terre ; peuple. Mais δημός, oῦ (ὁ) graisse des animaux, en particulier des bœufs et des brebis. <br /> Une page sera donc consacrée aux homonymes. {| class="wikitable" |+ Du français au grec, on obtient |- ! Lettres !! ch !! th !! ph !! rh !! c,k,q !! ng, nc, nch, nx !! y !! h initial |- | minuscule || χ || ϑ ||φ || ῥ|| κ ||γγ,γκ,γχ, γξ|| υ || (esprit rude) |- | majuscule || Χ || Θ || Φ || Ῥ || Κ || ΓΓ,ΓΚ,ΓΧ, ΓΞ || Υ || (Πνεύναμα δασύ) ὁ ἱππεύς, le cavalier |- |} {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Dialectes/]] | suivant = }} == Exercice == Lister par catégorie (nom, verbe, pronom, adjectif, adverbe, préposition, particule) le vocabulaire rencontré dans cette deuxième leçon relative à la grammaire du grec ancien. {| class="wikitable sortable" |+ Le vocabulaire rencontré dans la leçon Alphabet |- !Nominatif, <br />désinence !!<small>art</small>!! Traduction !!type !!commentaire |- |μικρός, ά, όν ||- ||petit, bref || adjectif ||micro-scope (de σκοπεῖν examiner |- | πατήρ, πατρός||ὁ ||père, au pl. parents ||nom||patrie |- | βασίς, εως||ὁ||la marche, endroit où l'on pose le pied d'où base||nom||base |- | θέατρον, ου ||τὸ ||théâtre||nom || ἡ θέα,vue, spectacle ; <br />τρον suffixe pour les lieux |- |<small>βάρβαρος, oς, ov</small>||<small>οἰ βάρϐαρο</small>ι||barbare, les étrangers||nom/adj. ||celui qui ne parle pas grec |- | γάγγαινα, ης|| ἠ ||gangrène||nom ||- |- | ἐγγυς||-||proche, près ||adv./prép. ||- |- | ῤήτορ, ορος||ὁ ||rhéteur || nom || rhétorique |- | Σισυφος || ὁ || Sisyphe ||nom|| υ = y |- |φαρμακοῖον, ου || τὸ ||pharmacie||nom|| |- | χόρος, ου ||ὁ ||choeur || nom || chorégraphie |- | μέγας, μέγαλη; μέγα || - || grand || adjectif || mégalomanie |- |ψαλμός, ου ||ὁ ||psaume ||nom ||psalmodie |- |ῤεῖ || - || il (elle) coule ||verbe ||grâce à la désinence le pronom est inutile |- |ἡ ῥις, ῤινος ||ὁ || nez || nom || génitif ⇒ rhinocéros (corne, χέρας sur le nez) |- |ούρανος, ου || ὁ ||ciel || nom ||⇒ Uranus, la planète |- | ἀκούω || - || j'écoute ||verbe ||acoustique |- | ηὕρηκα||- ||j'ai trouvé || verbe ||à l'indicatif parfait |- |έργάξομαι ||- || je travaille || verbe || |- | ποιῶ||- ||je fais, j'agis || verbe || |----- | λόγος, ου||ὁ ||parole, étude, raison ||nom ||logo-rrhée (ῥεῖ, je coule) |--- | καί ||- || aussi, même ; et || adv./prép. || |----- | ἄγγελος, ου||ὁ/ἡ|| messager ||nom ||ange |--- | ἐστί(ν) ||- ||il est || verbe || le ν éphelcystique ou euphonique devant une consonne |--- | οὐ, οὐκ, oὐχ ||- ||ne...pas || prép.|| οὐκ devant voyelle, <br />οὐχ devant esprit rude |---- | πνεῦμα, ατος || ὁ|| air expiré, souffle, esprit|| nom|| pneumatique, apnée |---- |φάσμα, ατος||τὸ ||forme, simulacre, apparition,<br /> '''fantôme''', signe des dieux, présage||nom |--- |φημι || || je dis, j'affirme||verbe || |--- | πῦρ, πυρός|| τὸ || feu || nom ||⇒pyromane |--- | θάλαττα, ἡς || ἡ || mer || nom ||⇒thalassothérapie (θ = th) |--- |δώρον, ου || τὸ || cadeau, don || nom || |---- | Θέος, ου|| ὁ ||dieu || nom ||⇒ théologie (λόγος, étude) |--- | ΓΕ, γε, || ||du moins, certes || adv/particule || |--- |ψυχρός, ά, όν || ||froid ||adjectif || |--- |δῆμος, ου || ὁ ||contrée, pays, terre ; peuple ||nom || |--- |δημός, oῦ || ὁ ||graisse d'animaux ||nom || attention homonymie |--- |τρήχω || -||courir (dans le dictionnaire)<br /> je cours|| verbe ||τρήκειν, courir (infinitif) |--- |ἵππος, ου || ὁ ||cheval ||nom || esprit rude "h" hippique |--- | ἱππεύς, έως||ὁ || cavalier ||nom ||⇒hippophage |--- |ἀγρός, οῦ || ὀ ||champ, campagne ||nom ||⇒agriculture |--- |} {{Solution|contenu= {{Entête tableau charte}} {{!}}+ Tableau de vocabulaire grec {{!}}- {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} # {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Mot en grec {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Article {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Traduction {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Type de mot {{!}}align="center" bgcolor="#CCCCCC" {{!}} Commentaires {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 1 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 2 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 3 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 4 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}}- {{!}}align="center" {{!}} 5 {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} {{!}} <!--{{Base de page tableau charte}}--> }} }} [[Catégorie:Alphabet]] evlt181fd5wei0ovcvgcha5f970n1ay 0 16962 987708 978566 2026-10-24T15:16:59Z Octogénaire 79731 987708 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 2 | titre = Les déclinaisons | idfaculté = langues | département = grec ancien | leçon = [[../|Grammaire grecque]] | numéro = 4 | précédent = [[../Pronoms personnels/]] | suivant = [[../Déclinaison de l'article/]] }}Comme en français, l'adjectif grec s'accorde en genre et en nombres avec le mot auquel il se rapporte : "la belle maison ou le beau château" et comme les noms, les adjectifs se déclinent selon le cas. Les adjectifs grecs se répartissent en trois classes. La première classe des adjectifs se déclinent comme les noms de la 2e déclinaison au masculin et au neutre et comme les noms de la 1ère déclinaison pour les adjectifs féminins. {| style="float:center;border:1px solid #AAAACC;margin-left:0.5em;margin-bottom:0.5em;text-align:center;" rules="all" cellpadding="3" cellspacing="0" ! colspan="4" bgcolor="#A1ADEA" | SINGULIER |- ! bgcolor="#A1BDEA" | '''Cas''' ! bgcolor="#A1BDEA" | Masculin ! bgcolor="#A1BDEA" | Féminin ! bgcolor="#A1BDEA" | Neutre |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Nominatif''' | align="left" | καλός | align="left" | καλή | align="left" | καλόν |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Vocatif''' | align="left" | καλέ | align="left" | καλή | align="left" | καλόν |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Accusatif''' | align="left" | καλόν | align="left" | καλήν | align="left" | καλόν |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Génitif''' | align="left" | καλοῦ | align="left" | καλῆς | align="left" | καλοῦ |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Datif''' | align="left" | καλῷ | align="left" | καλῇ | align="left" | καλῷ |- ! colspan="4" bgcolor="#A1ADEA" | PLURIEL |- ! bgcolor="#A1BDEA" | '''Cas''' ! bgcolor="#A1BDEA" | Masculin ! bgcolor="#A1BDEA" | Féminin ! bgcolor="#A1BDEA" | Neutre |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Nominatif''' | align="left" | καλοί | align="left" | καλαί | align="left" | καλά |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Vocatif''' | align="left" | καλοί | align="left" | καλαί | align="left" | καλά |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Accusatif''' | align="left" | καλούς | align="left" | καλάς | align="left" | καλά |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Génitif''' | align="left" | καλῶν | align="left" | καλῶν | align="left" | καλῶν |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Datif''' | align="left" | καλοῖς | align="left" | καλαῖς | align="left" | καλοῖς |- ! colspan="4" bgcolor="#A1ADEA" | DUEL |- ! bgcolor="#A1BDEA" | '''Cas''' ! bgcolor="#A1BDEA" | Masculin ! bgcolor="#A1BDEA" | Féminin ! bgcolor="#A1BDEA" | Neutre |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Nominatif''' | align="left" | καλώ | align="left" | καλά | align="left" | καλώ |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Accusatif''' | align="left" | καλώ | align="left" | καλά | align="left" | καλώ |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Génitif''' | align="left" | καλοῖν | align="left" | καλαῖν | align="left" | καλοῖν |- | bgcolor="#BED9ED" | '''Datif''' | align="left" | καλοῖν | align="left" | καλαῖν | align="left" | καλοῖν |} == Bas de page == {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|Grammaire grecque]] | précédent = [[../Déclinaisons difficiles/]] | suivant = [[../Déclinaison de l'article/]] }} [[Catégorie:Déclinaison|Grec ancien]] n9aafdflsxhydfea8q0i1lxgr9aks12 0 29956 987713 987669 2026-10-24T22:04:16Z Geoleplubo 7999 m Bas de page 987713 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 1 | titre = Les dialectes grecs | idfaculté = langues | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaires/]] | suivant = [[../Alphabet/]] }} Il n'existe pas une seule et unique langue grecque durant l'Antiquité, mais de nombreux dialectes (dont le plus étudié chez les plus novices est l'attique). On ne les connait pas tous pareillement. == Liste == On distingue : * groupe arcado-cypriote : ** mycénien ** arcadien, cypriote, pamphylien * groupe ionien-attique : ** attique (grec ancien) *** koinè (moyen grec commun) **** grec moderne **** yévanique **** grec chypriote *** pontique (parlé par les Pontiques) *** cappadocien *** romano-grec ** ionien (d'Asie, insulaire, d'Eubée) * groupe éolien (béotien (dialecte)|béotien, lesbien, thessalien) * groupe occidental ** dorien (laconien, argien, corinthien, etc.) *** tsakonien *** griko (parlé dans des villages du Sud de l'Italie) ** éléen, étolien, locrien, phocidien ** ancien macédonien (avec des traits du thessalien (<ref>M. Hatzopoulos, « Le parler des anciens Macédoniens », ''La Macédoine, Géographie historique, Langue, Cultes et croyances, Institutions'', De Boccard, Paris, 2006, p. 35-51.</ref>) == Dialectes littéraires == * Attique : ** Historiens : Thucydide, Xénophon... ** Orateurs attiques : Démosthène, Eschine, Isocrate, Lysias... ** Philosophes : Aristote, Platon... ** Poètes comiques : Aristophane, Eupolis, Phrynichos... ** Poètes tragiques (avec des dorismes) : Eschyle, Sophocle, Euripide. * Dorien : ** Alcman ** Théocrite * Béotien : ** Corinne * Ionien : ** Hérodote. ** Hésiode (avec des éolismes). ** Homère (langue archaïsante qui utilise aussi des éolismes). ** Poètes iambiques, lyriques et méliques : Archiloque, Tyrtée, Ibycos, Stésichore, Anacréon, Mimnerme, Hipponax, Solon, Hérondas ** Simonide, Pindare, Bacchylide (ionien mâtiné de dorismes conventionnels) * Eolien : ** Alcée de Mytilène (Mytilène est la cité principale de l'île de Lesbos) ** Sappho de Lesbos == Distribution == [[Fichier:AncientGreekDialects (Woodard) fr.svg|thumb|350px|center|Distribution des dialectes grecs à l'époque classique.]] == Références == <references /> == Bibliographie == * [[w:Dialectes du grec ancien|Page wikipédia]] {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../|Sommaires/]] | suivant = [[../Alphabet/]] }} ni9mamghlb0mlgv09i9h2p6yoce73x0 0 58573 987678 987670 2026-10-24T12:00:10Z Marvoir 1746 /* Problème 2 */ Ai donné solution du point 6° du problème 2. La suite pour bientôt. 987678 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 33 | chapitre = [[../../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives/]] | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''k'' un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins ''k'' éléments, soit ''x'' un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G_x le stabilisateur de ''x'' dans G. Pour tout élément ''g'' de G_x et tout élément ''y'' de X-{x}, ''gy'' appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G_x opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où ''gy'' correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1° l'action de G sur X est k-transitive;<br /> 2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G_x sur X-{x} est (k-1)-transitive. {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°.<br /> Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive.<br /> Soient a₁, ..., a_k-1 (resp. b₁, ..., b_k-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément ''g'' de G_x tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1. Cela revient à prouver qu’il existe un élément ''g'' de G tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1 et gx = x. Or cela est bien vrai, puisque a₁, ..., a_k-1, x sont ''k'' différents éléments de X, que b₁, ..., b_k-1, x sont eux aussi ''k'' différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°. Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.<br /> Soient a₁, ..., a_k (resp. b₁, ..., b_k) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément ''g'' de G tel que :(thèse 1) ga₁ = b₁, ..., ga_k = b_k. D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément ''h'' de G tel que :(2) ha₁ = x. De même, il existe un élément h' de G tel que :(3) h'b₁ = x. Les k-1 éléments ha₂, ..., ha_k de X sont distincts entre eux et distincts de ha₁, autrement dit de ''x''. Donc ha₂, ..., ha_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> De même, h'b₂, ..., h'b_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément ''f'' de G_x tel que :fha₂ = h'b₂, ..., fha_k = h'b_k, ce qui peut s'écire :h'^-1fha₂ = b₂, ..., h'^-1fha_k = b_k. Donc si nous posons g = h'^-1 f h, nous avons :(4) g a₂ = b₂, ..., g a_k = b_k. De plus, g a₁ = h'^-1 f h a₁, d'où, d’après (2), :g a₁ = h'^-1 f x. Comme ''f'' appartient à G_x, cela revient à :g a₁ = h'^-1 x, ou encore, d’après (3), à :ga₁ = b₁. Joint à (4), cela prouve la thèse (1). }} Remarques. 1° L'énoncé de ce problème revient à dire que si ''k'' est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins ''k'' éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément ''x'' de X, G_x désigne le stabilisateur de ''x'' dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :<br /> a) l'action de G sur X est k-transitive;<br /> b) l'action de G sur X est transitive et pour tout élément ''x'' de X, l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive;<br /> c) l'action de G sur X est transitive et il existe un élément ''x'' de X tel que l'action de G_x sur X - {x} soit (k-1)-transitive.<br /> 2° Selon D.J.S. Robinson<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in th Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, p. 193.</ref>, l'énoncé qui précède est fondamental et permet de nombreux raisonnements par récurrence. == Problème 2 == On va prouver que si un groupe G opère transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments, si ''x'' est un élément de E, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> (Rappelons que dans le chapitre [[../../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], nous avons défini un sous-groupe maximal d'un groupe G comme un sous-groupe ''propre'' M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe L de G tel que M < L < G.) 1° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soit B un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. Prouver que pour tout élément ''g'' de G, g.B est un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit B un bloc, soit ''g'' un élément de G; prouvons que g.B est un bloc.</br> Pour cela, il s'agit de prouver que :pour tout élément ''h'' de G, <math>h.(g.B) \cap g.B</math> est vide ou <math>h.(g.B) = g.B</math> Cette thèse revient à dire que pour tout élément ''h'' de G, :(g{{exp|-1}}hg B)<math>\cap B</math> est vide ou (g{{exp|-1}}hg) B = B, ce qui est vrai, puisque B est un bloc.</br> Nous avons donc prouvé que si B est un bloc, alors, pour tout élément ''g'' de G, gB est un bloc.</br> Pour un élément ''g'' donné de G, l'application :<math>E \rightarrow E : x \mapsto gx</math> est une permutation de E (voir le chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]), donc :<math>\vert g.B \vert = \vert B \vert</math> et, d'autre part, la relation gB = E équivaut à la relation B = E, donc si B est un bloc non trivial, g.B en est un lui aussi. }} 2° Soit G un groupe opérant transitivement et non primitivement sur un ensemble E, soit ''x'' un élément de E. Prouver que l'opération de G sur E admet un bloc non trivial qui comprend ''x''. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque, par hypothèse, l'opération de G sur E est transitive et non primitive, nous pouvons choisir un bloc non trivial B pour cette opération. Alors B est non vide, donc nous pouvons choisir un élément ''b'' de B. Puisque l'opération de G sur E est supposée transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que gb = x. Alors ''gB'' comprend ''x'' et, d'après le point 1°, est un bloc non trivial, ce qui prouve le point 2°. }} 3° Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non vide de cette opération. Désignons par <math>StS_G (B)</math> le stabilisateur strict de B dans G (défini au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]). (La notation <math>StS_G (B)</math> n'est pas standard.) Prouver que l'application <math>StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b</math> (application qui est évidemment correctement définie) est une opération transitive de <math>StS_G (B)</math> sur B. {{clr}} {{Solution | contenu = Soient <math>b_1</math> et <math>b_2</math> des éléments de B. Puisque B est supposé non vide, il s'agit de prouver :(thèse 1) qu'il existe un élément ''s'' de <math>StS_G (B)</math> tel que <math>s b_1 = b_2</math>. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, l'opération de G sur E est transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que :(2) <math>g b_1 = b_2</math>. Alors <math>b_2</math> appartient à <math>B \cap gB</math>, donc <math>B \cap gB</math> est non vide, donc, puisque B est un bloc pour l'opération de G sur E, gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à <math>StS_G (B)</math>. Donc le résultat (2) prouve la thèse (1) (avec ''s'' = ''g''). }} 4° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que <math>G_x \leq H</math>, où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Prouver que H.x est un bloc pour l'opération considérée de G sur E. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit ''k'' un élément de G tel que :(hyp. 1) <math>H.x \cap k.(H.x)</math> soit non vide. Pour prouver l'énoncé, nous avons à prouver que :(thèse 2) <math>H.x = k.(H.x)</math>. Il suffit évidemment de prouver que :(thèse 3) ''k'' appartient à H. L'hypothèse (1) revient à dire qu'il existe des éléments h, h' de H tels que :kh'.x = h.x, d'où :h{{exp|-1}}kh'.x = x, :h{{exp|-1}}kh’ <math>\in G_x</math>. D'après l'hypothèse <math>G_x \leq H</math> de l'énoncé, nous avons donc :h{{exp|-1}}kh’ <math>\in H</math>, d'où <math>k \in H</math>, ce qui prouve notre thèse (3) et donc l'énoncé. }} 5° Au problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que G.x = H.x; alors <math>H G_x = G</math> (où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G).</br> À l'aide de cet énoncé et du point 4° du présent exercice, prouver l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que <math>G_x < H < G</math>, où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Alors H.x est un bloc non trivial pour l'opération considérée de G sur E. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point 4°, H.x est un bloc.</br> Puisque, par hypothèse, <math>G_x < H</math>, il y a au moins un élément de H qui ne fixe pas ''x'', donc H.x comprend au moins un élément de E autre que ''x''. Joint au fait que H.x comprend 1.x = x, cela montre que :<math>\vert H.x \vert \geq 2.</math> Pour prouver que H.x est un bloc non trivial, il reste donc à prouver que :(thèse 1) <math>H.x \neq E</math>. Supposons que, par absurde, on ait :(hyp. 2) H.x = E. Alors, puisque G.x contient H.x, on a évidemment G.x = E et donc (toujours d'après l'hypothèse 2) :H.x = G.x, donc, d'après le problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], qui a été rappelé plus haut, :(3) <math>H G_x = G</math>. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, <math>G_x</math> est contenu dans H, le membre gauche de (3) est égal à H, donc H = G, ce qui contredit l'hypothèse H < G de l'énoncé. Donc notre hypothèse (2) est absurde, donc H.x < E, ce qui prouve la thèse (1). Comme on l'a vu, l'énoncé en résulte. }} 6° Au problème 0bis de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit X une partie de E distincte de Ø et de E. Alors le stabilisateur de X dans G n'est pas G tout entier. (A fortiori, le stabilisateur strict de X dans G n'est pas G tout entier.) À l'aide de cet énoncé, du point 3° du présent exercice et de la section ''Relations entre orbite et stabilisateur'' du chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], prouver l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non trivial pour cette opération (opération qui n'est donc pas primitive), soit ''x'' un élément de B. Alors :<math>G_x < StS_G (B) < G</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point 3°, <math>StS_G (B)</math> opère transitivement sur B. Plus précisément, :(1) l'application <math>StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b</math> est une opération transitive de <math>StS_G (B)</math> sur B. Pour alléger les notations, posons <math>S = StS_G (B)</math>. Donc, d'après ce qui précède, :S agit transitivement sur B. Donc (chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]], section ''Relations entre orbite et stabilisateur'') :(2) <math>\vert B \vert = \vert S : S_x \vert</math>. Si ''g'' est un élément de <math>G_x</math>, alors x = g.x, donc ''x'' appartient à g.B; puisque ''x'' appartient à B, il appartient donc à <math>B \cap gB</math>, donc <math>B \cap gB</math> n'est pas vide, donc, puisque B est un bloc, :gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à <math>S = StS_G (B)</math>. Cela étant démontré pour tout élément ''g'' de <math>G_x</math>, nous avons donc :<math>G_x \leq S = StS_G (B)</math>. A fortiori, <math>G_x \leq S_x</math> et, puisque l'inclusion réciproque est évidente, :(3) <math>G_x = S_x</math>. Donc (2) peut s'écrire :(4) <math>\vert B \vert = \vert S : G_x \vert</math>. Puisque B, étant un bloc non trivial, a au moins deux éléments, on a donc :(5) <math>G_x < S</math>. De plus, puisque B, étant un bloc non trivial, n'est ni vide ni égal à E, nous avons (d'après le problème 0bis de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], rappelé plus haut) :S < G, d'où, d'après (5) :<math>G_x < S < G</math>, ce qui prouve l'énoncé. }} 7° Soit G un groupe G opérant transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments. Prouver l'énoncé principal du présent problème 2, à savoir que les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> Indication. La suite pour bientôt. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] }} b3z9d6cif0ps2tz829wqig2tyl3dbxq 987680 987678 2026-10-24T12:02:19Z Marvoir 1746 /* Problème 2 */ détails de mise en page 987680 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 33 | chapitre = [[../../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives/]] | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''k'' un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins ''k'' éléments, soit ''x'' un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G_x le stabilisateur de ''x'' dans G. Pour tout élément ''g'' de G_x et tout élément ''y'' de X-{x}, ''gy'' appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G_x opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où ''gy'' correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1° l'action de G sur X est k-transitive;<br /> 2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G_x sur X-{x} est (k-1)-transitive. {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°.<br /> Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive.<br /> Soient a₁, ..., a_k-1 (resp. b₁, ..., b_k-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément ''g'' de G_x tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1. Cela revient à prouver qu’il existe un élément ''g'' de G tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1 et gx = x. Or cela est bien vrai, puisque a₁, ..., a_k-1, x sont ''k'' différents éléments de X, que b₁, ..., b_k-1, x sont eux aussi ''k'' différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°. Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.<br /> Soient a₁, ..., a_k (resp. b₁, ..., b_k) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément ''g'' de G tel que :(thèse 1) ga₁ = b₁, ..., ga_k = b_k. D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément ''h'' de G tel que :(2) ha₁ = x. De même, il existe un élément h' de G tel que :(3) h'b₁ = x. Les k-1 éléments ha₂, ..., ha_k de X sont distincts entre eux et distincts de ha₁, autrement dit de ''x''. Donc ha₂, ..., ha_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> De même, h'b₂, ..., h'b_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément ''f'' de G_x tel que :fha₂ = h'b₂, ..., fha_k = h'b_k, ce qui peut s'écire :h'^-1fha₂ = b₂, ..., h'^-1fha_k = b_k. Donc si nous posons g = h'^-1 f h, nous avons :(4) g a₂ = b₂, ..., g a_k = b_k. De plus, g a₁ = h'^-1 f h a₁, d'où, d’après (2), :g a₁ = h'^-1 f x. Comme ''f'' appartient à G_x, cela revient à :g a₁ = h'^-1 x, ou encore, d’après (3), à :ga₁ = b₁. Joint à (4), cela prouve la thèse (1). }} Remarques. 1° L'énoncé de ce problème revient à dire que si ''k'' est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins ''k'' éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément ''x'' de X, G_x désigne le stabilisateur de ''x'' dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :<br /> a) l'action de G sur X est k-transitive;<br /> b) l'action de G sur X est transitive et pour tout élément ''x'' de X, l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive;<br /> c) l'action de G sur X est transitive et il existe un élément ''x'' de X tel que l'action de G_x sur X - {x} soit (k-1)-transitive.<br /> 2° Selon D.J.S. Robinson<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in th Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, p. 193.</ref>, l'énoncé qui précède est fondamental et permet de nombreux raisonnements par récurrence. == Problème 2 == On va prouver que si un groupe G opère transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments, si ''x'' est un élément de E, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> (Rappelons que dans le chapitre [[../../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], nous avons défini un sous-groupe maximal d'un groupe G comme un sous-groupe ''propre'' M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe L de G tel que M < L < G.) 1° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soit B un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. Prouver que pour tout élément ''g'' de G, g.B est un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit B un bloc, soit ''g'' un élément de G; prouvons que g.B est un bloc.</br> Pour cela, il s'agit de prouver que :pour tout élément ''h'' de G, <math>h.(g.B) \cap g.B</math> est vide ou <math>h.(g.B) = g.B</math> Cette thèse revient à dire que pour tout élément ''h'' de G, :(g{{exp|-1}}hg B)<math>\cap B</math> est vide ou (g{{exp|-1}}hg) B = B, ce qui est vrai, puisque B est un bloc.</br> Nous avons donc prouvé que si B est un bloc, alors, pour tout élément ''g'' de G, gB est un bloc.</br> Pour un élément ''g'' donné de G, l'application :<math>E \rightarrow E : x \mapsto gx</math> est une permutation de E (voir le chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]), donc :<math>\vert g.B \vert = \vert B \vert</math> et, d'autre part, la relation gB = E équivaut à la relation B = E, donc si B est un bloc non trivial, g.B en est un lui aussi. }} 2° Soit G un groupe opérant transitivement et non primitivement sur un ensemble E, soit ''x'' un élément de E. Prouver que l'opération de G sur E admet un bloc non trivial qui comprend ''x''. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque, par hypothèse, l'opération de G sur E est transitive et non primitive, nous pouvons choisir un bloc non trivial B pour cette opération. Alors B est non vide, donc nous pouvons choisir un élément ''b'' de B. Puisque l'opération de G sur E est supposée transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que gb = x. Alors ''gB'' comprend ''x'' et, d'après le point 1°, est un bloc non trivial, ce qui prouve le point 2°. }} 3° Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non vide de cette opération. Désignons par <math>StS_G (B)</math> le stabilisateur strict de B dans G (défini au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]). (La notation <math>StS_G (B)</math> n'est pas standard.) Prouver que l'application <math>StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b</math> (application qui est évidemment correctement définie) est une opération transitive de <math>StS_G (B)</math> sur B. {{clr}} {{Solution | contenu = Soient <math>b_1</math> et <math>b_2</math> des éléments de B. Puisque B est supposé non vide, il s'agit de prouver :(thèse 1) qu'il existe un élément ''s'' de <math>StS_G (B)</math> tel que <math>s b_1 = b_2</math>. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, l'opération de G sur E est transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que :(2) <math>g b_1 = b_2</math>. Alors <math>b_2</math> appartient à <math>B \cap gB</math>, donc <math>B \cap gB</math> est non vide, donc, puisque B est un bloc pour l'opération de G sur E, gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à <math>StS_G (B)</math>. Donc le résultat (2) prouve la thèse (1) (avec ''s'' = ''g''). }} 4° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que <math>G_x \leq H</math>, où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Prouver que H.x est un bloc pour l'opération considérée de G sur E. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit ''k'' un élément de G tel que :(hyp. 1) <math>H.x \cap k.(H.x)</math> soit non vide. Pour prouver l'énoncé, nous avons à prouver que :(thèse 2) <math>H.x = k.(H.x)</math>. Il suffit évidemment de prouver que :(thèse 3) ''k'' appartient à H. L'hypothèse (1) revient à dire qu'il existe des éléments h, h' de H tels que :kh'.x = h.x, d'où :h{{exp|-1}}kh'.x = x, :h{{exp|-1}}kh’ <math>\in G_x</math>. D'après l'hypothèse <math>G_x \leq H</math> de l'énoncé, nous avons donc :h{{exp|-1}}kh’ <math>\in H</math>, d'où <math>k \in H</math>, ce qui prouve notre thèse (3) et donc l'énoncé. }} 5° Au problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que G.x = H.x; alors <math>H G_x = G</math> (où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G).</br> À l'aide de cet énoncé et du point 4° du présent exercice, prouver l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que <math>G_x < H < G</math>, où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Alors H.x est un bloc non trivial pour l'opération considérée de G sur E. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point 4°, H.x est un bloc.</br> Puisque, par hypothèse, <math>G_x < H</math>, il y a au moins un élément de H qui ne fixe pas ''x'', donc H.x comprend au moins un élément de E autre que ''x''. Joint au fait que H.x comprend 1.x = x, cela montre que :<math>\vert H.x \vert \geq 2.</math> Pour prouver que H.x est un bloc non trivial, il reste donc à prouver que :(thèse 1) <math>H.x \neq E</math>. Supposons que, par absurde, on ait :(hyp. 2) H.x = E. Alors, puisque G.x contient H.x, on a évidemment G.x = E et donc (toujours d'après l'hypothèse 2) :H.x = G.x, donc, d'après le problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], qui a été rappelé plus haut, :(3) <math>H G_x = G</math>. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, <math>G_x</math> est contenu dans H, le membre gauche de (3) est égal à H, donc H = G, ce qui contredit l'hypothèse H < G de l'énoncé. Donc notre hypothèse (2) est absurde, donc H.x < E, ce qui prouve la thèse (1). Comme on l'a vu, l'énoncé en résulte. }} 6° Au problème 0bis de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit X une partie de E distincte de Ø et de E. Alors le stabilisateur de X dans G n'est pas G tout entier. (A fortiori, le stabilisateur strict de X dans G n'est pas G tout entier.) À l'aide de cet énoncé, du point 3° du présent exercice et de la section ''Relations entre orbite et stabilisateur'' du chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], prouver l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non trivial pour cette opération (opération qui n'est donc pas primitive), soit ''x'' un élément de B. Alors :<math>G_x < StS_G (B) < G</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point 3°, <math>StS_G (B)</math> opère transitivement sur B. Plus précisément, :(1) l'application <math>StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b</math> est une opération transitive de <math>StS_G (B)</math> sur B. Pour alléger les notations, posons <math>S = StS_G (B)</math>. Donc, d'après ce qui précède, :S agit transitivement sur B. Donc (chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]], section ''Relations entre orbite et stabilisateur'') :(2) <math>\vert B \vert = \vert S : S_x \vert</math>. Si ''g'' est un élément de <math>G_x</math>, alors x = g.x, donc ''x'' appartient à g.B; puisque ''x'' appartient à B, il appartient donc à <math>B \cap gB</math>, donc <math>B \cap gB</math> n'est pas vide, donc, puisque B est un bloc, :gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à <math>S = StS_G (B)</math>. Cela étant démontré pour tout élément ''g'' de <math>G_x</math>, nous avons donc :<math>G_x \leq S = StS_G (B)</math>. A fortiori, <math>G_x \leq S_x</math> et, puisque l'inclusion réciproque est évidente, :(3) <math>G_x = S_x</math>. Donc (2) peut s'écrire :(4) <math>\vert B \vert = \vert S : G_x \vert</math>. Puisque B, étant un bloc non trivial, a au moins deux éléments, on a donc :(5) <math>G_x < S</math>. De plus, puisque B, étant un bloc non trivial, n'est ni vide ni égal à E, nous avons (d'après le problème 0bis de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], rappelé plus haut) :S < G, d'où, d'après (5) :<math>G_x < S < G</math>, ce qui prouve l'énoncé. }} 7° Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments. Prouver l'énoncé principal du présent problème 2, à savoir que les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> Indication.</br> La suite pour bientôt. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] }} jjcwbm7w54p9rb1g9cagydvd95wpz8i 987720 987680 2026-10-25T08:07:29Z Marvoir 1746 /* Problème 2 */ Terminé. 987720 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 33 | chapitre = [[../../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives/]] | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''k'' un nombre naturel ≥ 2, soit X un ensemble d'au moins ''k'' éléments, soit ''x'' un élément de X, soit G un groupe opérant (à gauche) sur X. Désignons par G_x le stabilisateur de ''x'' dans G. Pour tout élément ''g'' de G_x et tout élément ''y'' de X-{x}, ''gy'' appartient à X-{x}, de sorte que le groupe G_x opère sur l’ensemble X-{x} par (g, y) ↦ gy (où ''gy'' correspond à l'action de G sur X). Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1° l'action de G sur X est k-transitive;<br /> 2° l'action de G sur X est transitive et l'action de G_x sur X-{x} est (k-1)-transitive. {{clr}} {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°.<br /> Puisque l'opération de G sur X est supposée k-transitive, elle est transitive. Pour prouver 2°, il reste à prouver que l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive.<br /> Soient a₁, ..., a_k-1 (resp. b₁, ..., b_k-1) des éléments deux à deux distincts de X - {x}; il s'agit de prouver qu’il existe un élément ''g'' de G_x tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1. Cela revient à prouver qu’il existe un élément ''g'' de G tel que :ga₁ = b₁, ..., ga_k-1 = b_k-1 et gx = x. Or cela est bien vrai, puisque a₁, ..., a_k-1, x sont ''k'' différents éléments de X, que b₁, ..., b_k-1, x sont eux aussi ''k'' différents éléments de X et que, d’après l'hypothèse 1°, le G-ensemble X est k-transitif. Nous avons donc prouvé que 1° entraîne 2°. Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°.<br /> Soient a₁, ..., a_k (resp. b₁, ..., b_k) des éléments deux à deux distincts de X; il s'agit de prouver qu' il existe un élément ''g'' de G tel que :(thèse 1) ga₁ = b₁, ..., ga_k = b_k. D'après l'hypothèse 2°, le G-ensemble X est transitif, donc il existe un élément ''h'' de G tel que :(2) ha₁ = x. De même, il existe un élément h' de G tel que :(3) h'b₁ = x. Les k-1 éléments ha₂, ..., ha_k de X sont distincts entre eux et distincts de ha₁, autrement dit de ''x''. Donc ha₂, ..., ha_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> De même, h'b₂, ..., h'b_k sont k-1 différents éléments de X - {x}.<br /> Puisque, d’après l'hypothèse 2°, l'opération de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive, il existe donc un élément ''f'' de G_x tel que :fha₂ = h'b₂, ..., fha_k = h'b_k, ce qui peut s'écire :h'^-1fha₂ = b₂, ..., h'^-1fha_k = b_k. Donc si nous posons g = h'^-1 f h, nous avons :(4) g a₂ = b₂, ..., g a_k = b_k. De plus, g a₁ = h'^-1 f h a₁, d'où, d’après (2), :g a₁ = h'^-1 f x. Comme ''f'' appartient à G_x, cela revient à :g a₁ = h'^-1 x, ou encore, d’après (3), à :ga₁ = b₁. Joint à (4), cela prouve la thèse (1). }} Remarques. 1° L'énoncé de ce problème revient à dire que si ''k'' est un nombre naturel ≥ 2, si X est un ensemble d'au moins ''k'' éléments, si G est un groupe opérant sur X, si pour tout élément ''x'' de X, G_x désigne le stabilisateur de ''x'' dans G, alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :<br /> a) l'action de G sur X est k-transitive;<br /> b) l'action de G sur X est transitive et pour tout élément ''x'' de X, l'action de G_x sur X - {x} est (k-1)-transitive;<br /> c) l'action de G sur X est transitive et il existe un élément ''x'' de X tel que l'action de G_x sur X - {x} soit (k-1)-transitive.<br /> 2° Selon D.J.S. Robinson<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in th Theory of Groups'', seconde édition, Springer, 1996, p. 193.</ref>, l'énoncé qui précède est fondamental et permet de nombreux raisonnements par récurrence. == Problème 2 == On va prouver que si un groupe G opère transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments, si ''x'' est un élément de E, alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> (Rappelons que dans le chapitre [[../../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], nous avons défini un sous-groupe maximal d'un groupe G comme un sous-groupe ''propre'' M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe L de G tel que M < L < G.) 1° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soit B un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. Prouver que pour tout élément ''g'' de G, g.B est un bloc (resp. un bloc non trivial) pour cette opération. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit B un bloc, soit ''g'' un élément de G; prouvons que g.B est un bloc.</br> Pour cela, il s'agit de prouver que :pour tout élément ''h'' de G, <math>h.(g.B) \cap g.B</math> est vide ou <math>h.(g.B) = g.B</math> Cette thèse revient à dire que pour tout élément ''h'' de G, :(g{{exp|-1}}hg B)<math>\cap B</math> est vide ou (g{{exp|-1}}hg) B = B, ce qui est vrai, puisque B est un bloc.</br> Nous avons donc prouvé que si B est un bloc, alors, pour tout élément ''g'' de G, gB est un bloc.</br> Pour un élément ''g'' donné de G, l'application :<math>E \rightarrow E : x \mapsto gx</math> est une permutation de E (voir le chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]), donc :<math>\vert g.B \vert = \vert B \vert</math> et, d'autre part, la relation gB = E équivaut à la relation B = E, donc si B est un bloc non trivial, g.B en est un lui aussi. }} 2° Soit G un groupe opérant transitivement et non primitivement sur un ensemble E, soit ''x'' un élément de E. Prouver que l'opération de G sur E admet un bloc non trivial qui comprend ''x''. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque, par hypothèse, l'opération de G sur E est transitive et non primitive, nous pouvons choisir un bloc non trivial B pour cette opération. Alors B est non vide, donc nous pouvons choisir un élément ''b'' de B. Puisque l'opération de G sur E est supposée transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que gb = x. Alors ''gB'' comprend ''x'' et, d'après le point 1°, est un bloc non trivial, ce qui prouve le point 2°. }} 3° Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non vide de cette opération. Désignons par <math>StS_G (B)</math> le stabilisateur strict de B dans G (défini au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]). (La notation <math>StS_G (B)</math> n'est pas standard.) Prouver que l'application <math>StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b</math> (application qui est évidemment correctement définie) est une opération transitive de <math>StS_G (B)</math> sur B. {{clr}} {{Solution | contenu = Soient <math>b_1</math> et <math>b_2</math> des éléments de B. Puisque B est supposé non vide, il s'agit de prouver :(thèse 1) qu'il existe un élément ''s'' de <math>StS_G (B)</math> tel que <math>s b_1 = b_2</math>. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, l'opération de G sur E est transitive, nous pouvons choisir un élément ''g'' de G tel que :(2) <math>g b_1 = b_2</math>. Alors <math>b_2</math> appartient à <math>B \cap gB</math>, donc <math>B \cap gB</math> est non vide, donc, puisque B est un bloc pour l'opération de G sur E, gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à <math>StS_G (B)</math>. Donc le résultat (2) prouve la thèse (1) (avec ''s'' = ''g''). }} 4° Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que <math>G_x \leq H</math>, où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Prouver que H.x est un bloc pour l'opération considérée de G sur E. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit ''k'' un élément de G tel que :(hyp. 1) <math>H.x \cap k.(H.x)</math> soit non vide. Pour prouver l'énoncé, nous avons à prouver que :(thèse 2) <math>H.x = k.(H.x)</math>. Il suffit évidemment de prouver que :(thèse 3) ''k'' appartient à H. L'hypothèse (1) revient à dire qu'il existe des éléments h, h' de H tels que :kh'.x = h.x, d'où :h{{exp|-1}}kh'.x = x, :h{{exp|-1}}kh’ <math>\in G_x</math>. D'après l'hypothèse <math>G_x \leq H</math> de l'énoncé, nous avons donc :h{{exp|-1}}kh’ <math>\in H</math>, d'où <math>k \in H</math>, ce qui prouve notre thèse (3) et donc l'énoncé. }} 5° Au problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant sur un ensemble E, soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que G.x = H.x; alors <math>H G_x = G</math> (où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G).</br> À l'aide de cet énoncé et du point 4° du présent exercice, prouver l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. (On ne suppose pas que cette opération soit transitive.) Soient ''x'' un élément de E et H un sous-groupe de G tel que <math>G_x < H < G</math>, où <math>G_x</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G. Alors H.x est un bloc non trivial pour l'opération considérée de G sur E. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point 4°, H.x est un bloc.</br> Puisque, par hypothèse, <math>G_x < H</math>, il y a au moins un élément de H qui ne fixe pas ''x'', donc H.x comprend au moins un élément de E autre que ''x''. Joint au fait que H.x comprend 1.x = x, cela montre que :<math>\vert H.x \vert \geq 2.</math> Pour prouver que H.x est un bloc non trivial, il reste donc à prouver que :(thèse 1) <math>H.x \neq E</math>. Supposons que, par absurde, on ait :(hyp. 2) H.x = E. Alors, puisque G.x contient H.x, on a évidemment G.x = E et donc (toujours d'après l'hypothèse 2) :H.x = G.x, donc, d'après le problème 0 de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], qui a été rappelé plus haut, :(3) <math>H G_x = G</math>. Puisque, par hypothèse de l'énoncé, <math>G_x</math> est contenu dans H, le membre gauche de (3) est égal à H, donc H = G, ce qui contredit l'hypothèse H < G de l'énoncé. Donc notre hypothèse (2) est absurde, donc H.x < E, ce qui prouve la thèse (1). Comme on l'a vu, l'énoncé en résulte. }} 6° Au problème 0bis de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], on a démontré l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit X une partie de E distincte de Ø et de E. Alors le stabilisateur de X dans G n'est pas G tout entier. (A fortiori, le stabilisateur strict de X dans G n'est pas G tout entier.) À l'aide de cet énoncé, du point 3° du présent exercice et de la section ''Relations entre orbite et stabilisateur'' du chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], prouver l'énoncé suivant : :Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E, soit B un bloc non trivial pour cette opération (opération qui n'est donc pas primitive), soit ''x'' un élément de B. Alors :<math>G_x < StS_G (B) < G</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = D'après le point 3°, <math>StS_G (B)</math> opère transitivement sur B. Plus précisément, :(1) l'application <math>StS_G (B) \times B \rightarrow B : (s, b) \mapsto s.b</math> est une opération transitive de <math>StS_G (B)</math> sur B. Pour alléger les notations, posons <math>S = StS_G (B)</math>. Donc, d'après ce qui précède, :S agit transitivement sur B. Donc (chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]], section ''Relations entre orbite et stabilisateur'') :(2) <math>\vert B \vert = \vert S : S_x \vert</math>. Si ''g'' est un élément de <math>G_x</math>, alors x = g.x, donc ''x'' appartient à g.B; puisque ''x'' appartient à B, il appartient donc à <math>B \cap gB</math>, donc <math>B \cap gB</math> n'est pas vide, donc, puisque B est un bloc, :gB = B, ce qui revient à dire que ''g'' appartient à <math>S = StS_G (B)</math>. Cela étant démontré pour tout élément ''g'' de <math>G_x</math>, nous avons donc :<math>G_x \leq S = StS_G (B)</math>. A fortiori, <math>G_x \leq S_x</math> et, puisque l'inclusion réciproque est évidente, :(3) <math>G_x = S_x</math>. Donc (2) peut s'écrire :(4) <math>\vert B \vert = \vert S : G_x \vert</math>. Puisque B, étant un bloc non trivial, a au moins deux éléments, on a donc :(5) <math>G_x < S</math>. De plus, puisque B, étant un bloc non trivial, n'est ni vide ni égal à E, nous avons (d'après le problème 0bis de la série d'exercices [[../Action de groupe|Action de groupe]], rappelé plus haut) :S < G, d'où, d'après (5) :<math>G_x < S < G</math>, ce qui prouve l'énoncé. }} 7° Soit G un groupe opérant transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments. Prouver l'énoncé principal du présent problème 2, à savoir que les deux conditions suivantes sont équivalentes :</br> a) l'opération de G sur E est primitive;</br> b) le stabilisateur de x dans G est un sous-groupe maximal de G.</br> Indication. Pour prouver que a) entraîne b), utiliser le point 5°; pour prouver que b) entraîne a), utiliser les points 2° et 6°. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque l'action de G sur E est supposée transitive et que E est supposé comprendre au moins deux éléments, nous avons clairement :(1) <math>G_x < G</math>. Supposons que :(hyp. 2) <math>G_x</math> ne soit pas un sous-groupe maximal de G. Alors, d'après (1), :il existe un sous-groupe H de G tel que <math>G_x < H < G</math>. D'après le point 5°, l'ensemble H.x est un bloc non trivial, donc l'action de G sur E n'est pas primitive.</br> Nous avons donc prouvé que si (hyp. 2) <math>G_x</math> n'est pas un sous-groupe maximal de G, alors l'action de G sur E n'est pas primitive. Par contraposition, cela revient à dire que si l'action de G sur E est primitive, alors <math>G_x</math> est un sous-groupe maximal de G. Nous avons donc prouvé que :(3) la condition a) de l'énoncé entraîne la condition b). Prouvons maintenant que la condition b) entraîne la condition a). (On cesse de faire l'hypothèse (2) ).</br> Supposons que :(hyp. 4) l'action de G sur E n'est pas primitive. Alors, vu les hypothèses de l'énoncé, l'action de G sur E est transitive et non primitive. Donc, d'après le point 2°, nous pouvons choisir :(5) un bloc non trivial B qui comprend ''x''. Alors, d'après le point 6°, :<math>G_x < StS_G (B) < G</math>, donc <math>G_x</math> n'est pas un sous-groupe maximal de G.</br> Nous avons déduit cela de l'hypothèse (4) de la démonstration, donc nous avons prouvé que si l'action de G sur E n'est pas primitive, alors <math>G_x</math> n'est pas un sous-groupe maximal de G. Par contraposition, cela revient à dire que si <math>G_x</math> est un sous-groupe maximal de G, alors l'action de G sur E est primitive. Autrement dit, nous avons prouvé que la condition b) de l'énoncé entraîne la condition a), ce qui, joint au résultat (3), montre que les conditions a) et b) de l'énoncé sont équivalentes, ce qui achève la démonstration. }} Remarques. 1° L'énoncé revient à dire que si un groupe G agit transitivement sur un ensemble E d'au moins deux éléments, les trois conditions suivantes sont équivalentes : :- cette action est primitive; :- il existe dans E un élément dont le stabilisateur est un sous-groupe maximal de G; :- tout élément de E a pour stabilisateur un sous-groupe maximal de G. 2° Si on ne suppose pas que E comprend au moins deux éléments, l'énoncé du point 7° devient faux, car le stabilisateur de ''x'' est alors G tout entier et n'est donc pas un sous-groupe maximal de G. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall/]] | suivant = [[../Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs/]] }} jpoko31e7ad0aj0hjz2svs5eg90fc7v 14 77327 987723 827145 2026-10-25T09:41:02Z Xqbot 53589 Correction d’une double redirection depuis [[Catégorie:Mathématiques en première STI2D]] vers [[Catégorie:Mathématiques en première STI2D (France)]] 987723 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[:Catégorie:Mathématiques en première STI2D (France)]] p8q3p3voqoosdowxuhnft01qt1hgdi8 0 77633 987721 834314 2026-10-25T09:40:52Z Xqbot 53589 Correction d’une double redirection depuis [[Mathématiques en première STI2D]] vers [[Mathématiques en première STI2D (France)]] 987721 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Mathématiques en première STI2D (France)]] g5iuyyw4mbsi77uadhznr8ppf8pds5r 1 77641 987722 834330 2026-10-25T09:40:57Z Xqbot 53589 Correction d’une double redirection depuis [[Discussion:Mathématiques en première STI2D]] vers [[Discussion:Mathématiques en première STI2D (France)]] 987722 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion:Mathématiques en première STI2D (France)]] hd9y6yoloxuj6vve3t8ykf90jkys5f2 0 87390 987687 987668 2026-10-24T13:16:38Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987687 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 6f600bqim9sy11ihmossqxytfyb4fap 987704 987687 2026-10-24T14:58:32Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987704 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d'élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} a099vshcghstxxn1pk4rndz2jnk5abh 987706 987704 2026-10-24T15:02:23Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987706 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d'élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} og8vfa41at0pdaddiqeb6fx6cbzg3so 987707 987706 2026-10-24T15:05:20Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987707 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} kwirxfib4sps55n9801ut0vcs7boifi 987709 987707 2026-10-24T15:18:17Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987709 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe .</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} guvzwnh3p5kmze6r87bonprtpxze1z0 987710 987709 2026-10-24T15:26:38Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987710 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} m4to1qwvg374pvegbjlddck7hv2ls78 987711 987710 2026-10-24T18:49:11Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987711 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 0d044wk58qwjje1qs5k9hq6852bfgbo 987712 987711 2026-10-24T18:53:26Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987712 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math></math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} armjg9w7srnzwzp7bbmv2r5m1thov93 987714 987712 2026-10-24T22:30:09Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987714 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} mxjk6r0dsti8srhhrwuhefgir960f5y 987715 987714 2026-10-24T23:10:03Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987715 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule pesant"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} fmp5kvlxuqbj2jq75kevqjd2ysr0jqf 987716 987715 2026-10-24T23:12:26Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987716 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule pesant"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} nyrj0wmjzjurnp4t06hodzzne53kem6 987717 987716 2026-10-25T05:39:19Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987717 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule pesant"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} fmvpwhztvna679ipwj7bt8g5cvfazh4 987718 987717 2026-10-25T05:49:50Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987718 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule pesant"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l'équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 6xbjrymggmtn3ris5uen4udfi00j1ud 987719 987718 2026-10-25T06:21:50Z Phl7605 31541 /* Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique */ 987719 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} eg8grqwmtai6v45t6a1pls4n11oaub0 987724 987719 2026-10-25T10:56:01Z Phl7605 31541 /* « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil */ 987724 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 87ircs0c9djuezyq2jqa4um3y1peua9 987727 987724 2026-10-25T11:51:31Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif du couple de torsion */ 987727 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale <ref name="forme intégrée de forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> « théorème de la puissance <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » }}cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> entre }}l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="infiniment proches"> Instants infiniment proches.</ref>, son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\,\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\,\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\,\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\,</math> développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> en <math>\,M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« chaque point <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> entre «<math>\;\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\;</math>» }}son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> étant aussi tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces extérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit être évidemment <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2</math>.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\,\mathcal{F}\,</math> du même système » <ref name="états extrêmes" /> sachant que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir }}le système des forces intérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\;,\; 2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 et 2" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant de définir le système des forces intérieures }}est défini comme « l'ensemble des forces <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\,</math> que chaque point <math>\,M_j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i,\;\;i \neq j\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» <ref name="système de forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant }}on définit d’abord <math>\bullet\;</math>le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\,M_i\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\,</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\,M\,</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\,</math> est tangent à <math>\,\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord }}<math>\bullet\;</math>le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le travail des forces intérieures }}en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\,t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» correspondant à une intégration sur un intervalle soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but étant on définit d’abord <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures }}peut aussi être défini à partir de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : Le travail élémentaire des forces intérieures peut aussi être défini }}selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants de l'« état initial <math>\,\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\,\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}peut se calculer à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> peut se calculer }}par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="définition du référentiel Rj"> Le référentiel «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» est le référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-55|⁵⁵]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj"> Le point <math>\,M_i\,</math> décrivant dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>lié à <math>\,M_j\,</math> et en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> une trajectoire particulière <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre les deux instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\,\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> <math>\,\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\,</math> étant tangent à <math>\,\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail élémentaire des forces intérieures «}}<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : De l'expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures exercées sur un système de matière" />{{,}} <ref name="définition du référentiel Rj" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 1^ère conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail élémentaire des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t\,</math> et <math>\,t + dt\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail élémentaire des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la puissance des forces intérieures }}à partir de la « 2^ème conclusion de la remarque 1 » ci-dessus «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» nous en déduisons l'expression du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la }}travail des forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math><ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : de la 2^ème expression de la travail des forces intérieures «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="trajectoire de Mi dans le référentiel Rj" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nulle <ref name="puissance des forces intérieures en général non nulle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (1^ère conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures nulle pour un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude (3^ème conséquence) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : La puissance des forces intérieures appliquées à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> pour <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> le devient }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est en général non nul mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> }}le devient pour un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque 3 : le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> sur <math>\,\color{transparent}{\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]}\,</math> le devient }}«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ». === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> dans un référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans lequel <math>\,\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la puissance cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> la puissance développée par les forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\;</math>» dans lequel }}<math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> celle développée par les forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on multiplie par <math>\,dt\,</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir la forme élémentaire }}entre «<math>\;t\,</math> et <math>\,t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» où <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\,</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on multiplie par <math>\,\color{transparent}{dt}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}}\;</math>» où }}<math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur le même <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique }}<math>\bullet\;</math>on intègre entre <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique }}entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> galiléen soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec <math>\,\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\,</math> variation d'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\,</math> }}sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> le travail des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> le travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> celui des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème de la puissance cinétique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre entre <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{I}}}\,</math> et <math>\,\color{transparent}{t_{\mathcal{F}}}\,</math> pour obtenir «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\;</math>» avec <math>\,\color{transparent}{W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}}\,</math> celui des forces intérieures }}sur le même <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les instants <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> étant nul quel que soit le mouvement du système » <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul }}<math>\Rightarrow</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou <br>{{Al|17}}{{Transparent|Le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière indéformable étant nul <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide }}sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière"> Système fermé discret fermé de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du système, d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <ref name="signification du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées à un système en translation"> Dans cette 3^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» est aussi « le travail élémentaire qui serait développé, sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\,t + dt \right],</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\,\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\,</math> au point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}«}}dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» <ref> Voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\delta W_{\text{int},\,\text{syst. en transl.}} = 0\;</math>» <ref name="système en translation" />{{,}} <ref name="nullité du travail des forces intérieures appliquées à un solide" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}<math>\bullet\;</math>de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\,G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\,</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\,\mathcal{R}\,</math>»}} <math>\,\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\,G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\,G\big\}</math>.</ref> l'énergie cinétique <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, dans le cadre de la cinétique newtonienne <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en translation"> Voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> en translation », reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique }}appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" />{{, }} <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> nous obtenons : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> dans un référentiel <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière en translation <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> et <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire est égale au travail élémentaire «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =}</math> }}la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\,</math> ou <math>\,dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> avec <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\,</math>».}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en translation dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système <ref name="système fermé de matière" /> en translation <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique d’un système en translation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} =</math> <math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail effectué par la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> appliquée au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail effectué par la résultante dynamique }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\,\big[G\,</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|208}}de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <ref> Sans doute ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. car on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\,\big(</math>le C.D.I. <math>\,G\,</math> du système<math>\big)\,</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme <math>\;\ldots</math></ref>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Préliminaire : un « système <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » }}il est, en pratique, indéformable et est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous s'applique à un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels ou un système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Dans un « système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen », <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\big[\vec{u}_{\Delta}\,</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}autour de cet axe de rotation <math>\,\Delta\big]\,</math> d’où les expressions <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\,\Delta\,</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel intervenant quand ce dernier est galiléen et quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes <math>\,\big\{</math>par exemple le théorème de l'énergie cinétique établi dans ce paragraphe mais le traavail élémentaire déveeloppé par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» ne nécessite pas que <math>\,\Delta\,</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)</math>}} <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right] = \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \right]\;dt\;</math>» puis, en faisant la somme membre à membre de façon à définir le travail élémentaire du sytème des forces extérieures s'exerçant sur le système en rotation «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t)\;dt\;</math>».</ref> où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> est le moment <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» ou, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>du travail élémentaire }}avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta\;</math>» dans lequel <math>\,\theta(t)\,</math> est l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t</math>, la réécriture <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>,«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}<math>\bullet\;</math>de la variation de l'énergie cinétique de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec, l'énergie cinétique, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation autour de <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le cadre de la cinétique newtonienne «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique newtonienne d'un système en rotation autour d'un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;J_\Delta\,</math> le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où, en cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Exposé : Dans un « système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable, en rotation }}reportant ces expressions dans le théorème de l'énergie cinétique <math>\,\big(</math>sous forme élémentaire<math>\big)\,</math> appliqué à un solide <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\Rightarrow</math> : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d'un système }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique }}est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au }}«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> avec «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et «<math>\;\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique est égale au « }}l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <math>\,\overline{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{dK_{\text{syst. en rot.}} = \dfrac{d}{dt} \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t) \right\rbrace dt}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}<math>= \dot{\theta}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\,\Delta t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient }}avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}}) = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>» la variation d'énergie cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}du système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» le travail du système de forces extérieures appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour <math>\,\Delta\,</math> fixe dans <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> encore égal à «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>avec <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, s'exerçant sur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\,\color{transparent}{\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}}\,</math> s'obtient avec <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}<math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> et <math>\,\theta(t)\,</math> l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" />, sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, autour d'un axe fixe <math>\,\Delta</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation d'énergie cinétique }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}est égale au travail des forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale }}au travail du moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\,\Delta</math>, <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\,</math> appliqué à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation est égale au travail du }}«<math>\;W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[\theta(t)\,</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|La variation est égale au travail du «<math>\;\color{transparent}{W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta(t)}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big[\theta}\,</math> étant l'abscisse angulaire }}à la date <math>\,t\big]</math> <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit, }}en dynamique newtonienne, «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <math>\,\big[J_\Delta\,</math> étant le moment d'inertie de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> par rapport à <math>\,\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|soit, en dynamique newtonienne, «<math>\;\color{transparent}{K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = 2\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)}\;</math>» <math>\,\big[</math>}}<math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\big]</math>.}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] <math>\,\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Ci-contre le [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec }}positions de masselottes identiques <math>\,\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\,</math> de part et d'autre du point <math>\,C\,</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\,\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait que ces deux grandeurs sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>non amorti<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> avec positions de masselottes identiques }}<math>\,\big(C\,</math> point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre <math>\,\big(</math>en absence de masselottes<math>\big)\,</math> diffère du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » par <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici l'extrémité supérieure <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil de torsion supérieur est mobile au lieu d'être fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur étant dans les deux fixe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre }}<math>\bullet\;</math>ici la torsion initiale est fournie par rotation propre de <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> d'un angle «<math>\;2\,\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>repéré sur le cercle gradué lié à <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle gradué<math>\big)\,</math> <math>\Rightarrow</math> en pratique, après quelques oscillations, la tige <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>ici }}acquiert la position d'équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>voir vérification ci-dessous<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|pendule du chap.7]] la torsion initiale est fournie par rotation de la tige d'un angle «<math>\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big(</math>également repéré <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : le pendule ci-contre <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans le pendule du chap.7 }}par rapport à <math>\,O_{\text{inf}}\big)</math>, la position d'équilibre de la tige étant repérée par l'angle nul ; {{Al|5}}<u>vérification de la position d'équilibre de la tige dans le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}orientant les deux fils de torsion du bas vers le haut, quand la tige acquiert la position repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\,\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\,</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\,+\,</math> de l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\,\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\,\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\,C\,</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à son extrémité <math>\,O_{\text{sup}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion supérieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}<math>\bullet\;</math>le fil de torsion inférieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche" /> d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|vérification <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le fil de torsion inférieur }}il exerce un couple de torsion sur la tige de vecteur moment «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur la tige vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérification la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur }}la tige est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <math>\,\big\{</math>ensemble solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC"> L'axe <math>\,\Delta_C\,</math> est le support des fils de torsion.</ref> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemb}}le solide étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles"> Repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\,O_{\text{inf}}\,</math> du fil de torsion inférieur.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et masselottes » du pendule ci-dessus à droite : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>ensemble solide étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des masselottes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des masselottes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des masselottes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{masselotte}}}(t) \wedge m_{\,\text{masselotte}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation"> Il s'agit de l'application de la puissance instantanée développée par un système de forces extérieures sur un solide en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_d'un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> quand le système de forces extérieures est équivalent à un couple <math>\,\big[</math>c.-à-d. un système dont la résultante est nulle et dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe de rotation définit le moment scalaire du couple<math>\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-16|¹⁶]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> à l'instant <math>\,t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\,</math> par ce couple étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur l'ensemble <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d'un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math> est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + masselottes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et masselottes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et masselottes » en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_C\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre"> Ce qui suppose que <math>\,\dot{\theta}(t)\,</math> est non identiquement nulle <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\theta(t)\,</math> n'est pas une constante c.-à-d. que le solide n'est pas à sa position d'équilibre.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] ci-dessus à droite «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>», équation différentielle linéaire <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|3}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du pendule de torsion ci-dessus à droite « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_non_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition non énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_-_bis_(PCSI)|Signaux physiques - bis (PCSI)]] », la présence d'un 2^nd membre constant signifiant que le paramètre caractérisant l'oscillateur dans l'espace n'est pas nul à l'équilibre.</ref> de rotation ; {{Al|5}}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>non amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ; [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige <math>\,\big(</math>les fils de torsion supérieur et inférieur <math>\,\perp\,</math> au plan de la figure ne peuvent y être représentés<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] amorti <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du }}<math>\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule de torsion amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre étant écarté initialement comme celui de début de paragraphe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, le pendule ci-contre étant écarté initialement }}la tige acquiert donc une position d'équilibre repérée par l'angle <math>\,\theta_1</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-contre</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}l'ensemble « tige et ailettes » étant un solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="définition de DeltaC" /> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant }}le solide est, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\;</math><ref name="repérage des angles" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures l'ensemble « tige et ailettes » étant le solide est, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}les actions extérieures sont <math>\bullet\;</math>le poids de la tige et les tensions des fils de torsion porté(e)s par <math>\,\Delta_C\,</math> de moments <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaires relativement à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}les poids des ailettes <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta_C\,</math> de moments vectoriels relativement à <math>\,C\,</math> «<math>\,\overrightarrow{CG_{\text{ailettte}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g}\,\perp\,</math> au plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les poids des ailettes <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> à <math>\,\color{transparent}{\Delta_C}\,</math> }}de moments scalaires par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> nuls <ref> La définition du moment scalaire du poids d'une des ailettes par rapport <math>\,\Delta_C\,</math> étant «<math>\;\left[ \overrightarrow{CG_{\text{ailette}}}(t) \wedge m_{\,\text{ailette}}\,\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_C}\;</math>» correspond à un produit mixte nul, les trois vecteurs étant contenus dans le plan vertical <math>\,\big(</math>tige, <math>\,\Delta_C\big)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur <math>\,\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\,</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion inférieur }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" />, la puissance développée par ce couple à la date <math>\,t\,</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'action que le fil de torsion supérieur }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="puissance développée par un couple sur un solide en rotation" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu dans lequel se déplace le [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] exercent sur les ailettes, modélisées par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_C\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="couple de frottement fluide linéaire sur pendule de torsion"> voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple }}<math>\big[H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>supposé linéaire<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> couple <math>\big[</math>}}et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures les actions extérieures sont <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement fluide la puissance instantanée }}selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,t</math>, «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, «}}<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\,</math> est le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\,\Delta_C\;</math><ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,t</math>, se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t) \right]\,</math> soit, après développement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique la puissance cinétique du solide « tige + ailettes », à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, se définit selon «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t)}</math>}}<math>\;= J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) de l'ensemble « tige et ailettes » du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide « tige et ailettes » en rotation autour de <math>\,\Delta_C\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + ailettes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, par report des expressions établies ci-dessus, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) + 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application }}du [[w:Pendule_de_torsion|pendule]] étudié «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>», équation <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}différentielle linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> à cœfficients constants hétérogène à excitation constante c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du pendule étudié « }}équation différentielle d'un <u>oscillateur harmonique</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><ref name="1ère définition d'un oscillateur harmonique" /> de rotation ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>résolution de l'équation différentielle du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]]</u><math>\;\big(</math><u>amorti</u><math>\big)\;</math><u>représenté ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : résolution }}revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté <math>\,\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> }}on se propose de la retrouver par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />. {{Al|5}}Ci-contre schéma de face du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié <math>\,\big(</math>non amorti<math>\big)\,</math> avec une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\,\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation imposé par la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] du solide avec l'axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté }}son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,O</math>, d'axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\,\color{transparent}{O}</math>, }}de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» avec, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|remarque : le P.P.N.A. à un degré de liberté son C.D.I. }}<math>G\,</math> repéré par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <ref name="noté theta"> Noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté.</ref> ; {{Al|5}}<u>Actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant, à l'instant <math>\,t</math>, d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>étant, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> s'identifiant à <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\;\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, dans le cas où <math>\,\theta\,</math> est <math>\,> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> mais si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d'axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> et de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la réaction du point <math>\,O\,</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> s'écrirait <math>\,\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même <math>\,\big[</math>sans que cela ait été exposé dans le chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> que la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>».</ref> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\,\perp\,</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O</math>.</ref> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée à la date <math>\,t\,</math> par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée développée à la date <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}sans terme du 1^er ordre ; {{Al|5}}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’élongations_angulaires_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'élongations angulaires non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="solution analytique dans le cas d'élongations petites"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures, <math>\,I\,</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, }}retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti <math>\,\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : On peut également, retrouver l’équation différentielle }}établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>actions extérieures exercées sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] ci-contre</u> : <math>\,\big\{</math>solide en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O\;</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, le solide <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures exercées sur le solide du pendule ci-contre : <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étant d'abscisse angulaire <math>\,\theta(t)\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids <math>\,m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> }}de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,t\;</math><ref name="puissance instantanée développée par une force s'exerçant sur un point en mouvement circulaire" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>son poids <math>\,\color{transparent}{m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z}\,</math> de puissance instantanée développée à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)}</math> }}<math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>la réaction <math>\,\vec{R}(t)\,</math> de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] sur le solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]] lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction }}«<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O" /> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul" /> où s'ajoute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le couple de réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe" /> donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le couple de réaction du pivot }}de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la puissance instantanée développée par la réaction du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et son couple de réaction étant, à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de frottement fluide <math>\,\big(</math>supposé linéaire<math>\big)\,</math> que le milieu où se déplace le [[w:Pendule_pesant|pendule]] exercent sur ce dernier, modélisées par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}un couple <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t)\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_O}(t) = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un pendule pesant amorti" />{{,}} <ref name="définition de H"> <math>\,H\,</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule]], de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frotte le solide.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement }}la puissance instantanée développée par le couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\,t</math>, selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les actions de frottement la puissance instantanée }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>puissance cinétique du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Amorti.</ref> à l'instant <math>\,t\,</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : puissance cinétique }}la puissance cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\,t\,</math> se définit selon «<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>établissement de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti ci-dessus à droite par théorème de la puissance cinétique</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle }}l'application du théorème de la puissance cinétique au solide du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta_O\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide en rotation" /> ou, en explicitant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\dot{\theta}(t)\;</math><ref name="hors position d'équilibre" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule]] étudié <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la }}«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>», équation différentielle non linéaire du 2^nd ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Remarque : établissement de l'équation différentielle l'application du théorème de la «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», équation différentielle non linéaire }}avec terme linéaire du 1^er ordre ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>absence de résolution analytique de l'équation différentielle en θ(t) du solide du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti étudié</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de }}l'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" /> dans le cas général <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_2ème_partie#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, il faut procéder à une résolution numérique <math>\,\big(</math>non exposée ici<math>\big)\;</math><ref name="résolution numérique - bis"> Revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarque : absence de résolution analytique de l'équation différentielle n'ayant pas }}une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petite <ref name="absence de résolution analytique pour un P.P.A." />. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » }}il me semble souhaitable de le retenir <math>\,\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t) = -C\;\alpha(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <ref name="définition de Delta et alpha sur le fil de torsion"> <math>\,\Delta\,</math> étant la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et orienté par <math>\,\vec{u}_\Delta</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion }}étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>», <math>\,\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt}\;</math>», <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\,\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math><ref> <math>\,\overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> étant la composante de <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> et la puissance instantanée <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t)\,</math> développée par <math>\,\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\,</math> se calculant selon <math>\,\mathcal{P}_{\text{tors}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors}}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\,</math> avec <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> vitesse angulaire instantanée du solide à l'instant <math>\,t\,</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#cite_note-puissance_développée_par_un_couple_sur_un_solide_en_rotation-50|⁵⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le travail élémentaire d’un couple de torsion étant défini selon }}«<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» correspondant à une différentielle de fonction <math>\Rightarrow</math> le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u> <ref> Pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\,\overrightarrow{dM}\,</math> à partir du point d'application <math>\,M\,</math> de la force ; <br>{{Al|3}}lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|lorsqu'il s'agit d'un couple }}dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\,\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\,\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\,\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 1fipd1awbk0u68m64y8wi4ynm1vu1gd 14 87417 987726 2026-10-25T11:20:35Z Geoleplubo 7999 N 987726 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Grec ancien/Grammaire]] 0hu3axyxcnl2nghabdqeitm05q5oiv1